広島大 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 専門科目Ⅰ・Ⅱ 一般B（2025年1月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全11問）

固有値を先に見る

この行列は「対角成分だけが $c$，非対角成分がすべて $1$」という形なので， 成分和の方向と，成分和が $0$ になる部分空間に分けるのが最短である。 行基本変形で行列式を計算することもできるが，固有値が一度分かれば階数，行列式， 正定値条件がまとめて得られる。

正定値条件と二次形式

実対称行列では「固有値がすべて正」と「正定値」は同値である。したがって $c>1$ の仮定のもとで $x^{\mathsf T}Ax=0$ が成り立つなら，正定値性から $x=0$ と結論できる。ここで $c=1$ や $c<-3$ のような境界を混ぜると，零固有値や 負の固有値が現れるので，(5) では必ず (4) の条件を使う。

変化する境界だけを積分する

領域は長方形を双曲線 $st=1/2$ で切った形である。$xy>1/2$ なので，右上角は 切り落とされている。したがって $x$ 方向の増分では右端のうち $st\le 1/2$ を満たす 部分だけが増え，$y$ 方向の増分では上端のうち $st\le 1/2$ を満たす部分だけが増える。 この見方をすると，二重積分を完全に計算しなくても偏導関数が求まる。

極限で効くのは面積の一次成長部分

$F(u^2,u)$ では $x=u^2$ が大きく，$y=u$ に依存する補正項は $u^2$ で割ると消える。 したがって極限は $x$ に関する増加率 $\partial F/\partial x=\operatorname{artanh}(1/2)$ だけで決まる。

対称性を使う

この分布は平均 $0$ のラプラス分布であり，密度が偶関数である。そのため奇数次モーメントは 積分を計算する前に $0$ と分かる。偶数次では正の半直線の積分だけを見ればよく， ガンマ積分 $$\int_0^\infty x^k e^{-x}\,dx=k!$$ に帰着する。

二乗変換では二つの根を足す

$Y=X^2$ の密度を求めるとき，$x=\sqrt y$ だけでなく $x=-\sqrt y$ も同じ $y$ に写る。 この二つの寄与を足すことと，ヤコビアン $1/(2\sqrt y)$ を掛けることが採点上の要点である。

含意と連言の違い

$P(x)\to Q(x)$ は「$P$ ならば $Q$」であり，$P$ でない人については条件を課していない。 一方，$P(x)\land Q(x)$ は「$P$ かつ $Q$」なので，全称量化すると定義域の全員が二つの性質を 同時に持つことになる。この差を日本語で明確に書けるかが問われている。

否定の作り方

$\exists x(P(x)\land \lnot Q(x))$ の否定は，存在記号を全称記号に替え，中身を否定して $$\forall x\,\lnot(P(x)\land \lnot Q(x))$$ とする。ド・モルガンの法則で $\lnot P(x)\lor Q(x)$ となり，これは $P(x)\to Q(x)$ と同値である。

シンドロームの意味

符号語 $x$ は $Hx^{\mathsf T}=0$ を満たす。受信語が $y=x+e_i$ なら $Hy^{\mathsf T}=He_i^{\mathsf T}=h_i$ となるので，シンドロームは誤り位置の列をそのまま示す。 この対応を列ベクトルで照合するだけで，1ビット誤り訂正ができる。

2ビット誤りを訂正できない理由

(7,4) ハミング符号は1ビット誤り訂正用の符号である。2ビット誤りのシンドロームは 二つの列の和になり，それが別の1列と同じ値になるため，通常の復号手順は誤った1ビット訂正をしてしまう。 「誤りが1ビット以下」という仮定が解答の前提であることを明記するとよい。

開番地法の見方

衝突が起きたら $i=1,2,\ldots$ と増やして次の候補を調べる。$m=10$ で刻み幅が $3$ の場合， $3$ と $10$ は互いに素なので，最大10回のプローブで全スロットを巡回できる。 一方，刻み幅が $5$ だと2個の添字を往復するだけになり，探索範囲が表全体にならない。

探索の終了条件

探索では目的の値を見つければその添字を返し，$\mathrm{NIL}$ に出会えば未挿入と判断して $\mathrm{NIL}$ を返す。したがって $22$ は最初に調べる添字 $2$ が $\mathrm{NIL}$ であるため， それ以降の位置を調べない。

ポインタ演算で配列アクセスしている

arr[i] は *(arr + i) と同じ意味である。読み込みでは scanf に格納先アドレスを渡すため arr + i，出力や比較では値を読むため *(arr + i) を使う。この区別を押さえると空欄 5，7，9 が自然に決まる。

重複削除の添字

ソート済み配列では，同じ値は隣り合う。したがって「最後に確定した重複なし要素」 は添字 unique\_count - 1 にある。現在値がそれと異なるときだけ， 現在値を添字 unique\_count に書き込み，個数を1増やす。

計算量

入力，重複削除，出力はいずれも $O(N)$ であるが，バブルソートは比較回数が $$(N-1)+(N-2)+\cdots+1=\frac{N(N-1)}{2}$$ となるため $O(N^2)$ である。よって全体も $O(N^2)$ になる。

通常のIEEE形式ではない

この形式では，指数部がすべて $0$ の場合やすべて $1$ の場合にも特別な意味を与えない。 したがって $00000000$ はゼロではなく $2^{-3}$ を表す。IEEE 754 の非正規数や無限大の規則を 持ち込まないことが重要である。

仮数部の刻み

同じ指数 $e$ の中では，$f$ が1増えるごとに値は $$2^{e-3}\cdot\frac{1}{16}$$ ずつ増える。$2.3$ 付近では $e=4$ なので刻みは $1/8=0.125$ であり， $2.25$ と $2.375$ を比較すれば最近値が決まる。

期待度数の作り方

独立性の検定では，行合計と列合計は観測されたまま固定し，「もし独立なら各セルに何人入るか」 を期待度数として計算する。$2\times2$ 表では自由度が1になるため，与えられた臨界値のうち 自由度1の $3.84$ を使う。

検定結果の言い方

棄却できるのは「独立である」という帰無仮説であって，「強い因果関係がある」とまでは言えない。 この問題では，観測度数が独立仮定から見て十分ずれているため，5\%水準では独立とは考えにくい， と述べるのが適切である。

交差エントロピーとシグモイドの組合せ

交差エントロピーの微分では分母に $y_n(1-y_n)$ が出る。一方，ロジスティックシグモイドの微分は $y_n(1-y_n)$ である。連鎖律で掛け合わせるとこの因子が打ち消し合い， 勾配が $\sum (y_n-t_n)x_n$ という非常に簡単な形になる。

符号の確認

$y_n>t_n$ のとき，予測確率が目標より大きいので，勾配の係数 $y_n-t_n$ は正になる。 勾配降下法では $w$ からこの勾配方向を引くため，予測を下げる向きに更新される。 符号を確認することで，微分計算のミスを見つけやすい。

空欄式の答案にしない

旧来の「対象を入れる」「方法を入れる」という型だけでは，購入者が実際に書く答案の密度を判断しにくい。答案例では，データ，特徴量，手法，結果，限界を具体語で示すとよい。

一貫性

背景で述べた課題と，最後の関心が対応していることが重要である。ログ分析なら利用者支援，RAGなら根拠提示や回答保留のように，最初の問題意識へ戻る形で締める。

短くする方法

字数が超える場合は，社会的意義よりも技術的要点を優先する。方法名と課題が入っていれば，背景説明は1文で十分である。