広島大 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 専門科目Ⅰ・Ⅱ 一般B（2024年1月実施） 院試 過去問 解答例・解説（全11問）

像と核の見方

像の次元は行列の階数であり、核の次元は零空間の次元である。今回は $A$ が $2\times 3$ 行列なので、階数が $2$ と分かれば階数・退化次数の定理からも $$\dim\operatorname{Ker}f=3-2=1$$ と確認できる。

実対称行列であることの使い方

後半では、単に固有値・固有ベクトルが与えられているだけでなく、$B$ が実対称である点が重要である。実対称行列では、異なる固有値に属する固有空間が直交するため、未知の固有ベクトルは既知の2本に直交する方向として求められる。固有ベクトルを正規化してから $$B=\sum_i \lambda_i e_i e_i^{\mathsf T}$$ を用いると、行列 $B$ を直接復元できる。

固定する変数の選び方

関数は $(x+y)$ と $\sqrt{z^2+1}$ の積である。球面条件では $x,y$ が $x^2+y^2=1-z^2$ という円上を動くので、まず $z$ を固定して $x+y$ の取り得る範囲を見ると計算が短くなる。

等号条件

Cauchy--Schwarz の等号条件は $(x,y)$ が $(1,1)$ の定数倍であること、すなわち $x=y$ である。最大値では $x=y>0$、最小値では $x=y<0$ を選ぶ。境界 $z=\pm1$ では $x=y=0$ となり関数値は $0$ なので、最大・最小ではない。

最大値と最小値

最大値の分布関数では「全てが $y$ 以下」と言い換える。最小値では「少なくとも1つが $z$ 以下」を直接扱うより、補集合の「全てが $z$ より大きい」を使う方が簡単である。

指数分布の和

同じ率 $\lambda$ をもつ独立な指数分布を2つ足すと、形状母数 $2$、率母数 $\lambda$ のガンマ分布になる。密度の形は $\lambda^2s e^{-\lambda s}$ であり、$s<0$ で $0$ とする点を書き落とさないことが重要である。

直積

直積 $X\times Y$ では、左成分は必ず $X$ から、右成分は必ず $Y$ から選ぶ。したがって要素数は $|X||Y|=3\cdot2=6$ になる。

同値類の基本事実

同値関係は集合を互いに交わらない部分集合へ分割する。この部分集合が同値類である。(A) は「同値な代表元から作った同値類は同じ」という主張、(B) は「異なる同値類は交わらない」という主張である。どちらも反射律・対称律・推移律をそれぞれどこで使うかを明示すると、採点上も確実な証明になる。

条件付きエントロピー

入力が $x_1$ でも $x_2$ でも、出力確率の集合は同じである。そのため $H(Y\mid X=x_1)$ と $H(Y\mid X=x_2)$ が等しくなり、入力確率 $r$ は $H(Y\mid X)$ から消える。

容量の直観

消失が起きたとき、その出力は入力の $0/1$ を区別しない。したがって非消失確率 $1-q$ の分だけ有効な2元対称通信路が残り、その中で誤り率が $p/(1-q)$ になる。この見方からも $$C=(1-q)\{1-h_2(p/(1-q))\}$$ が得られる。

彩色を示すとは

具体的なグラフの彩色可能性は、色の割当表を1つ提示し、全ての辺で両端の色が異なることを述べれば十分である。図を写す必要はなく、頂点番号ごとの色で答案にできる。

貪欲彩色

最大次数が $\Delta$ であれば、ある頂点が同時に禁止される色は高々 $\Delta$ 色である。色が $\Delta+1$ 色あれば必ず1色余る、という数え上げが証明の中心である。

奇数閉路

閉路を2色で交互に塗ると、長さが偶数なら最後に矛盾しないが、奇数なら始点に戻る辺で同じ色が隣接してしまう。このため奇数閉路は2彩色不可能である。

ループ版の反転

`prev` はすでに反転済みの先頭、`current` はこれから処理する先頭、`next` はリンクを張り替える前に退避しておく次ノードである。`current->next = prev` によって1本ずつ向きを反転する。

再帰版の反転

`reverseListR(head->next)` が、先頭を除いた部分リストを反転して返す。その後 $$\texttt{head->next->next = head}$$ により元の2番目のノードの後ろに元の先頭をつなぎ、 $$\texttt{head->next = NULL}$$ で元の先頭を末尾にする。出力問題では、どの時点で `printf` が呼ばれるかを再帰の戻り順まで追う必要がある。

NOR の完全性

NOR は単独で完全系になる。試験では、いきなり「完全系である」と書くより、 $$\neg x=f(x),\qquad x\vee y=f(f(x,y)),\qquad x\wedge y=f(f(x),f(y))$$ の3式を示すと説得力がある。

真理値表から式を作る

値が $1$ になる行から DNF を作る方法もあるが、この問題の $g$ は値が $0$ になる行が3つだけなので、$g=0$ となる条件を先に書き、その否定を取る方が短くなる。

回帰係数の意味

この設計では、母集団 $A$ の行は説明変数が $0$、母集団 $B$ の行は説明変数が $1$ である。したがって $\beta_1$ は群 $A$ の平均、$\beta_2$ は群 $B$ と群 $A$ の平均差を表す。最小二乗推定量でも同じ構造になり、$\hat\beta_2=\bar b-\bar a$ が得られる。

通常の2標本 z 検定との一致

符号を反対にして $(\bar a-\bar b)/(\sigma\sqrt{2/n})$ と書いても、両側検定では同じである。回帰で導いた統計量は、既知分散・独立2標本の z 検定と一致する。

過学習の答案で必要な要素

単に「訓練データを覚えること」と書くだけでは弱い。訓練誤差と汎化誤差の差、モデル容量、データ量、ノイズの関係まで述べると採点しやすい答案になる。

教師あり・教師なしの対比

違いはラベルの有無だけでなく、目的関数の意味にもある。教師あり学習では予測誤差を小さくする。教師なし学習ではクラスタ内距離、再構成誤差、尤度など、データ自身から定義される基準を最適化する。

研究として見える書き方

「何をしたか」だけでなく，「なぜその方法を選んだか」「何で評価したか」を書くと研究らしくなる。異常検知なら再構成誤差，分類なら正解率や F 値，検索なら再現率や適合率のように，評価の軸を一つ入れるとよい。

最近の話題を選ぶとき

新しい話題ほど，利点だけを書くと宣伝文に見える。連合学習なら非独立同分布データ，通信コスト，プライバシー漏洩，RAGなら検索品質や根拠提示のように，技術的な課題も併記すると答案の密度が上がる。

避けたい答案

「AIに興味がある」「セキュリティが重要だと思う」だけでは抽象的である。対象データ，アルゴリズム，評価指標，未解決課題のうち少なくとも二つを入れる。