筑波大 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 物理 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

選択の目安

[A] では問1・問3・問5が計算だけで完結し、最も短時間で確実に得点できる。問2は固有値が複素数になるため、固有ベクトルの成分に $i$ が現れることに戸惑いやすい。問4は「像がどんな領域か」を答える設問なので、境界の対応と内部の1点の確認まで書くかどうかで差が出る。

問1の別解と検算

対角行列 $D=\operatorname{diag}(a,b,c)$ と全成分が1の行列 $J=\vec u\,\vec u^{\,t}$（$\vec u=(1,1,1)^t$）を使うと $$\det(D+\vec u\vec u^{\,t})=\det D\,(1+\vec u^{\,t}D^{-1}\vec u) =abc\left(1+\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)$$ となり同じ結果が出る。検算は $a=b=c=1$ が早く、行列式は $4$、公式も $1+3=4$ で一致する。$a=0$ とすると $bc$ が残ることも、第1列と第2列の関係から確かめられる。

問3の分枝

$-1+i=\sqrt2\,e^{3\pi i/4}$ なので平方根は $2^{1/4}e^{3\pi i/8}$ とその符号を変えたものの2つである。主値をとれば $a=2^{1/4}\cos\frac{3\pi}{8},\ b=2^{1/4}\sin\frac{3\pi}{8}$ で、これは上の根号表示と一致する。答案では「解は2つあり複号同順」と書き添えると、条件 $2ab=1$ を使い切ったことが伝わる。

問4の書き方

$|w|<1$ と結論するだけでは、上半平面が単位円板全体に移る（全射である）ことが示せていない。逆変換を書いて $\operatorname{Im}z>0$ を確認するか、境界 $\operatorname{Im}z=0$ が単位円周に移り、代表点 $z=i\mapsto w=0$ が内部に来ることを述べる。一次分数変換は円・直線を円・直線に移すという性質を使うと後者が正当化できる。

失点しやすい点

問5で留数を $\cos z$ の微分と取り違える誤りが多い。1位の極 $z=z_0$ をもつ $g(z)/(z-z_0)$ 型では留数は分子の $z_0$ での値であり、微分は2位以上の極のときに現れる。問2では $b=0$ の場合に固有ベクトルが定まらないことへの一言があると丁寧である。

方針

[B] は問6が計算問題、残り4題が証明問題である。証明問題では「どの恒等式を使ったか」「どこで仮定を使ったか」を明示することが得点に直結する。問7・問8はいずれも $r$ 依存性を $\partial r/\partial x_j=x_j/r$ で処理する点が共通で、この1本を書けるかどうかで所要時間が変わる。

問7の別解

球対称関数に対するラプラシアンの公式 $$\vec\nabla^2 f(R)=\frac{1}{R^2}\frac{d}{dR}\left(R^2\frac{df}{dR}\right)$$ を使えば、$f=1/R$ に対し $R^2f'=-1$ が定数なので微分して $0$ と即座に分かる。ただし公式を証明なしに使う場合は、原点 $\vec r=\vec a$ を除外していることを明記する。実際 $\vec\nabla^2(1/R)=-4\pi\delta^3(\vec R)$ であり、除外点でだけ発散が生じる。

問9の等号条件の詰め方

判別式が $0$ というだけでは等号条件の記述として不十分で、「$\varphi(t_0)=0$ かつ被積分関数が非負連続」から $f+t_0g\equiv0$ を導く一段が要る。また $\int g^2=0$ の場合を別扱いすることも忘れやすい。結論は「$f$ と $g$ が線形従属」であり、$g\equiv0$ の場合も含めるにはこの言い方が安全である。

問10の検算

得られた式で $k\to0$ とすると $\sin kr/(kr)\to1$ となり $F(0)=4\pi\int r^2f\,dr=\int d^3r\,f$ となって定義と整合する。具体例として $f=e^{-\alpha r}$ をとれば $F=8\pi\alpha/(\alpha^2+k^2)^2$ が得られ、確かに $k$ のみの関数である。

この設問が試していること

[B] はいずれも「対称性を使って計算量を減らす」訓練になっている。問8は角運動量的な量 $\vec A\times\vec r$ の湧き出しがないこと、問10は回転対称性が保存されることを述べており、後の力学・電磁気の設問（中心力、球対称ポテンシャル）と同じ構造をもつ。

方針

静電場のガウスの法則 $\vec\nabla\cdot\vec E=\rho_e/\varepsilon_0$ と、万有引力は $1/(4\pi\varepsilon_0)\to-G$ の置き換えで対応する。符号（引力なので負）と、$\vec F$ が質量 $m$ を含む「力」であって場ではないことの2点だけ注意すれば、問1・問2は数行で書ける。

問3の論理の型

「安定 $\Rightarrow$ 小球面上で力が一様に内向き $\Rightarrow$ 面積分が負」と「真空 $\Rightarrow$ 面積分がゼロ」を突き合わせる背理法である。これは静電場に対するアーンショーの定理と同じ議論で、電磁気の設問でもそのまま使える。答案では、$\varepsilon$ を十分小さくとれば近傍が真空であることを一言添えると論理が閉じる。

失点しやすい点

問2で「$V$ の内部の質量」ではなく「全空間の質量」を書いてしまう誤りが目立つ。外部質量の寄与は面積分の中で相殺し、正味の値には現れない。また問3で「力がゼロ」だけを条件にすると不安定な釣り合い（鞍点）を排除できない。復元力という条件を面積分の符号に翻訳する段が要である。

方針

[B] は「一様球の内部では万有引力が $-m\omega^2\vec r$ になる」という問1の結果に尽きる。ここから先はすべて等方調和振動子の性質で、軌道は原点中心の楕円、周期は振幅によらず $2\pi/\omega$ である。問4で $y_0$ が消えるのも、単振動の周期が振幅によらないという同じ事実の現れである。

問3で書くべきこと

答えが $v=0$ と単純なので、結論だけでは点にならない。(i) 拘束力が速度に垂直で仕事をしない、(ii) 万有引力が保存力である、(iii) 両端はともに $r=R$ でポテンシャルが等しい、の3点を順に書くこと。設問が「保存量の表式を書き、それが保存する理由を簡潔に述べよ」と要求しているのは、この (i) と (ii) を答えさせるためである。

問4の検算

地球の平均密度 $\rho\simeq5.5\times10^{3}\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ と $G=6.67\times10^{-11}$ を入れると $t\simeq2.5\times10^{3}\,\mathrm{s}$、およそ42分となる。よく知られた「重力トンネルの片道42分」と一致する。別の見方として、球面すれすれの円軌道の周期 $2\pi\sqrt{R^3/(GM)}$ の半分がこの時間に等しいことも確かめられる（$M=\frac43\pi R^3\rho$ を代入すればよい）。

問2(c)の答え方

「楕円」とだけ書くと、中心が原点であること、長半径が $R$ であることが伝わらない。$x,y$ の一般解が同じ角振動数の正弦振動であることを述べ、$t=0$ を通過点 $(R,0,0)$ に合わせると係数が $R$ と $A$ に決まる、という流れで書く。$A=R$ なら円軌道、$A=0$ なら球の中心を通る直線振動という極端な場合も式に含まれている。

つまずきやすい点

問1で球殻定理を使わずに全質量 $\frac43\pi R^3\rho$ を用いると、内部でも $1/r^2$ の力になってしまい以降がすべて崩れる。内部では「自分より内側の質量だけが効き、外側の球殻は力を及ぼさない」ことを、問2で書いた積分形から述べておくと安全である。

方針

3題とも「4次元のヒルベルト空間で固有値を全部並べる」だけで済む。問1は積の演算子なので $\hat s^z$ の直積基底が固有基底、問2・問3は合成スピンの基底が固有基底になる。どちらの基底で対角化されるかを最初に決めると、計算せずに答えが出る。

問3の縮退度

最大値 $5/4$ を与えるのは $M=1$ の状態だけなので縮退はない。ここで $-3/4$ が三重項の $M=-1$ と一重項の両方から出て2重に縮退することにも気付けると、4状態の固有値の内訳（$5/4,\,1/4,\,-3/4,\,-3/4$）がすべて説明できる。和が $2\cdot\frac14+\ldots$ となる検算として、演算子のトレースが $4\times0+0=0$ であることを使える。実際 $\frac54+\frac14-\frac34-\frac34=0$ である。

失点しやすい点

$\hat{\vec s}_1\cdot\hat{\vec s}_2$ を $\hat s^z_1\hat s^z_2$ と混同すると問1と問3が同じ答えになってしまう。前者はスカラー積で $\hat s^x\hat s^x+\hat s^y\hat s^y+\hat s^z\hat s^z$ を含み、直積基底では非対角成分（スピン交換）をもつ。合成スピンの2乗を経由して評価するのが最短である。

方針

[B] は「消滅演算子型の条件 $(\alpha\hat a+\beta\hat a^\dagger)|\psi\rangle=0$ を座標表示に直すと1階の線形微分方程式になり、ガウス型が出る」という一本の筋で貫かれている。問2・問4・問6はすべてこの型で、係数 $\alpha,\beta$ が違うだけである。したがって問4を解いた時点で、問6は係数を差し替えるだけで済む。

問3の交換関係の意味

$\hat n\hat a=\hat a(\hat n-1)$ は「$\hat a$ を右から作用させてから数を数えるのと、数を数えてから1を引くのが同じ」という関係で、$\hat a$ が量子数を1つ下げる演算子であることの言い換えである。ハイゼンベルク描像では $\hat a(t)=\hat ae^{-i\omega t}$ となり、古典的な複素振幅 $x+ip/(m\omega)$ が角振動数 $\omega$ で回転することに対応する。

問6の物理的な意味

問4の状態は幅が $e^{-r}$ 倍に絞られたガウス波束（スクイズド真空）である。$t=\pi/(2\omega)$ は周期の $1/4$ で、位相空間での回転が $90^\circ$ 進む時刻にあたる。そのため $x$ 方向に絞られていた分布が $p$ 方向に絞られた分布へ移り、指数の肩が $e^{2r}$ から $e^{-2r}$ に入れ替わる。位置の分散は $e^{-2r}\hbar/(2m\omega)$ から $e^{2r}\hbar/(2m\omega)$ へと変わるが、$x$ と $p$ の分散の積は最小不確定のまま保たれる。

検算

問4・問6の結果は $r\to0$ でともに真空状態 $e^{-m\omega x^2/2\hbar}$ に帰着する。また問5の $\hat A(t)$ は $|c_1|^2-|c_2|^2=\cosh^2r-\sinh^2r=1$ を満たし、$\hat A$ が正準変換（ボゴリューボフ変換）で得られる消滅演算子であること、すなわち $[\hat A,\hat A^\dagger]=1$ が保たれていることが確かめられる。

失点しやすい点

問5で $\hat A(t)$ の定義に現れる指数の符号を、問3の結果とそろえずに代入すると $c_1,c_2$ の位相が逆になる。$\hat A(t)$ では $e^{-i\hat Ht/\hbar}$ が左にあるので、問3の $t$ を $-t$ に置き換えて使う、と明記して代入するのが安全である。

問1(b)の要点

電場と磁場が同じ向きなので、運動は「磁場に垂直な面内の円運動」と「磁場方向の等加速度運動」に完全に分離する。らせん運動のピッチが時間とともに伸びていく状況である。速度の初期値 $v_x(0)=0$ を明記しないと $t$ が一意に決まらないので、円運動の速度が磁場に垂直であることを一言添える。

答案の書き方

[A] は基本問題なので、結果だけでなく根拠を1行ずつ添えると差がつく。問2なら「電流を $I=C\,dV/dt$ で求め、振幅の比をとる」、問3なら「球対称性から $\vec E$ が動径方向で大きさが $r$ のみに依存する」という前提の明示である。特に問3は「ガウスの法則を用いて」と指定されているので、対称性の議論を省くと減点対象になりやすい。

方針

鏡像法の要点は「導体を取り除き、代わりに球の内部に置いた点電荷で境界条件（球面が等電位）を再現する」ことである。接地なら球面の電位は $0$、孤立中性なら球面は等電位だが値は $0$ でなく全電荷が $0$、という違いが問1と問2を分ける。中心に置く $Q_{\mathrm C}$ は球面上で一定の電位しか与えないので、等電位条件を壊さずに全電荷だけを調整できる。

問2の仕事の求め方

誘導電荷は点電荷の位置に応じて分布が変わるので、静電エネルギーを「2つの点電荷の相互作用エネルギー」として素朴に書くと係数 $1/2$ を誤る。安全なのは、各位置 $x$ での力 $F(x)$ を像電荷から求め、$W=-\int_\ell^\infty F\,dx$ と積分することである。積分は $\int x^{-3}dx=-1/(2x^2)$ と $\int x(x^2-R^2)^{-2}dx=-1/\{2(x^2-R^2)\}$ の2本で終わる。

問2の検算

$R\to0$ では $W\to0$（導体球がなければ仕事は不要）、$\ell\to R^+$ では $W\to\infty$（表面に貼り付いた電荷を引き離すのに無限の仕事）となり、いずれも妥当である。$\ell\gg R$ では $W\simeq Q^2R^3/(8\pi\varepsilon_0\ell^4)$ となり、これは中性導体球が誘起される双極子と点電荷の相互作用が $1/\ell^4$ で減衰するという分極の描像と一致する。

問5の別解（像電荷による）

一様電場を $\pm Q$ の極限として作ったのだから、接地球の像も問1をそのまま2回使える。$+Q$ の像は $-\frac{R}{\ell}Q$ が $x=R^2/\ell$ に、$-Q$ の像は $+\frac{R}{\ell}Q$ が $x=-R^2/\ell$ にできる。この2つは原点にある双極子で、双極子モーメントは $$p'=\left(-\frac{R}{\ell}Q\right)\frac{R^2}{\ell}+\left(\frac{R}{\ell}Q\right)\left(-\frac{R^2}{\ell}\right) =-\frac{2QR^3}{\ell^2}$$ である。双極子場 $E_r=2p'\cos\theta/(4\pi\varepsilon_0r^3)$ を計算すると、上の解の $2R^3/r^3$ の項に一致する。境界条件から係数を決める方法と像電荷を使う方法のどちらでもよいが、答案では一方をきちんと最後まで書く。

失点しやすい点

問4で電場の向きを取り違えやすい。$+Q$ が正の $x$ 側にあると原点の電場は $-x$ 向きであり、$-Q$ が負の $x$ 側にあるときの寄与も $-x$ 向きで、2つは打ち消し合わずに足し合う。問3は逆に $r\gg\ell$ の遠方場なので、同じ配置でも近似の向きが正反対であることに注意する。どちらの極限を使っているかを冒頭で宣言すると混乱しない。

方針

4題とも定義の確認である。カノニカル分布 $(N,V,T)$、ミクロカノニカル分布 $(N,V,E)$、グランドカノニカル分布 $(\mu,V,T)$ という3つの組を整理して覚えておけば、問1は即答でき、後半 [B] でグランドカノニカル分布に移る意味も見通せる。

示強性・示量性の判定

迷ったときは「同じ系を2つ並べて1つの系とみなす」操作を考える。粒子数・体積・エネルギー・エントロピーは足し算されるので示量性、温度と化学ポテンシャルは2つの系が平衡なら等しい値のままなので示強性である。示量量どうしの比（密度やモル体積）は示強量になる、という点も押さえておきたい。

この設問が試していること

問3の $F=-kT\log Z$ は [B] 問1・問3で実際に使う関係であり、[A] は [B] の前振りになっている。短答であっても、$Z$ が「状態和」であって「エネルギーの和」ではないことなど、定義の言葉づかいを正確に書くこと。

方針

[B] の流れは「気体側で $\mu$ と $P$ の関係を作る（問1〜問3）」「吸着側で $\mu$ と被覆率の関係を作る（問4・問5）」「共通の $\mu$ を消去して $P$ と $\Theta$ を結ぶ（問6）」の3段である。最後に $\mu$ を消すことが目的だと分かっていれば、問3で $P$ を $\mu$ の式として残す意味がはっきりする。

問1で書き落としやすい因子

$1/N!$（同種粒子の数え過ぎの補正）と $1/h^{3N}$（位相空間の量子的な単位胞）の2つは、示せという設問である以上、根拠を一言添えて書く必要がある。前者を落とすとギブスのパラドックスが生じ、$F$ が示量的にならない。最後に $h=2\pi\hbar$ を使って $\hbar$ の形に整えるところまでが答案である。

問4の1サイトあたりの評価

サイトが独立なので $\Xi$ はサイトごとの大分配関数の積になる。「空」の項の重みが $e^{\beta(\mu\cdot0-0)}=1$、「吸着」の項の重みが $e^{\beta(\mu\cdot1-(-v))}=e^{\beta(v+\mu)}$ である。吸着エネルギーが $-v<0$ と定義されているため、指数の肩の符号が $+v$ になる点を取り違えやすい。

問6の物理的な意味と極限

得られた $\Theta=P/(P+P_0)$ はラングミュアの吸着等温式である。低圧 $P\ll P_0$ では $\Theta\simeq P/P_0$ と圧力に比例し（ヘンリー則）、高圧 $P\gg P_0$ では $\Theta\to1$ と飽和する。これは1サイトに1分子までという制限の直接の帰結である。また $P_0(\beta)\propto e^{-\beta v}$ なので、吸着エネルギー $v$ が大きいほど $P_0$ は小さく、低い圧力で表面が埋まる。温度を上げると $P_0$ が大きくなり被覆率が下がることも、脱離が優勢になるという描像と合う。

検算

問5の $\langle N\rangle$ は $\mu\to-\infty$ で $0$、$\mu\to+\infty$ で $N_{\mathrm s}$ となり、$0\le\langle N\rangle\le N_{\mathrm s}$ を満たす。問3の圧力は $\log\Xi=\beta PV$ と $\langle N\rangle=\partial\log\Xi/\partial(\beta\mu)=\log\Xi$ から $PV=\langle N\rangle kT$、すなわち理想気体の状態方程式を再現する。この確認を1行入れておくと、問3までの結果が正しいことを自分で保証できる。