筑波大 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 物理 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1の別解

各行の和がすべて $2$ なので $(1,1,1,1)^{t}$ が固有値 $2$ の固有ベクトルであることは暗算でわかる。残りは $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ を満たすベクトルで、そこでは $J$ が消えるので固有値は $-2$ である。固有値分解を使わずに、第1行に他の3行をすべて加えて $(2,2,2,2)$ を作り、$2$ をくくり出してから掃き出す方法でも同じ結果になる。

問2の要点

余因子行列を全部作ってから足すと9個の $2\times2$ 行列式が必要になるが、「逆行列の全成分の和」は $\mathbf{1}^{t}M^{-1}\mathbf{1}$ という1個の連立方程式に置き換えられる。この見方をすると計算量が $1/3$ 程度になり、途中の符号ミスもほぼ起きない。検算は $M\vec y=\mathbf 1$ に $\vec y=(3,-1,5)^{t}/13$ を代入すればよい。

問3の検算

求めた $z=5$ を平面の式に戻すだけでなく、$\vec n$ が $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の両方と直交していること（$\vec n\cdot\vec{AB}=-7+15-8=0$、$\vec n\cdot\vec{AC}=14+10-24=0$）を確かめると、外積の計算ミスをその場で除ける。

問4が試していること

$\vec\nabla(1/r)=-\vec r/r^3$ を先に代入して成分計算に入ると、選択肢にある $\vec a\cdot\vec r/r^3$ のような形が「途中に現れる量」として出てくるので誘導に乗りやすい。恒等式2本で答えが $0$ に決まることに気付けるかどうかを見ている。なお $\vec\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^3(\vec r)$ なので、原点を含む場合は別扱いになる。

問5で見ているもの

$1^{i}=1$ としてしまう誤りを狙った問題である。$w^{z}\equiv e^{z\log w}$ という定義に戻り、$\log$ が $2k\pi i$ の不定性をもつことを書けば十分。$k$ を含む選択肢が答えになる、という形からも多価性が主題だとわかる。

問6の検算

留数の和が $0$ になることは、$1/(z^2+1)$ が無限遠で $|z|^{-2}$ で減衰することからも確かめられる。実際、半径 $R$ の円周上で $|f|\le 1/(R^2-1)$、周長 $2\pi R$ なので $R\to\infty$ で積分は $0$ に近づく。有理関数の全極を囲む周回積分は、分母の次数が分子より2以上大きければ必ず $0$ になる。

問7の検算

$k=0$ とすると $F(0)=\sqrt{2/\pi}/a$ で、これは $\int e^{-a|x|}dx=2/a$ を $\sqrt{2\pi}$ で割った値と一致する。また $F(k)$ は実かつ偶関数だが、これは $f(x)$ が実の偶関数であることの帰結である。虚数単位や $e^{-ak^2}$ を含む選択肢は、この対称性の確認だけで除外できる。

問8の即答法

選択肢はすべて2次形式 $\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2=C$ の形なので、全微分をとって $(2\alpha x+\beta y)dx+(\beta x+2\gamma y)dy=0$ と与式を比べるだけでもよい。$dx$ の係数の比較から $2\alpha=1$、$\beta=4$、$dy$ の係数から $2\gamma=3$ となり、$1:8:3$ の比がただちに決まる。完全性の確認 $M_y=N_x$ は、解ける形かどうかの判定として最初に書いておく。

問9の失点しやすい点

微分の際に $x$ が積分の上端と被積分関数の両方に入っていることを見落とすと、$xf(x)$ の相殺に気付けない。$\frac{d}{dx}\int_0^x g(x,t)dt=g(x,x)+\int_0^x \partial_x g\,dt$ を明示的に使うのが安全である。また初期条件は2つとも必要で、$f'(0)=0$ を落とすと $\cos x+\sin x$ 型の選択肢を選んでしまう。検算は求めた $\cos x$ を元の式に戻し、$\int_0^x(t-x)\cos t\,dt=\cos x-1$ を確かめればよい。

問10の次元による検算

$a,b$ は $x^{-2}$ の次元をもつので、答えは $(ab)^{-1/2}$ に比例しなければならない。この一点で $ab/\pi$、$\pi/(ab)$、$4\sqrt{ab}/\pi$ を含む選択肢は消える。残るのは $\pi/\sqrt{ab}$ と $\pi/(4\sqrt{ab})$ で、積分区間が全平面ではなく第1象限であることから $1/4$ が付く方が正しい。

問1の失点しやすい点

「角運動量が保存する」から $m(\vec r\times\vec v)=\vec 0$ を選ぶ誤りが多い。保存するのは値であって、値が $0$ になるわけではない。答案では $\dot{\vec r}\times\vec v=\vec v\times\vec v=\vec 0$ の一行を必ず書く。

問2の見方

$\{L_i,L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k$ は角運動量が回転の生成子であることの表れで、量子力学の $[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z$ に対応する。選択肢に $xy$ や $p_xp_y$ が並ぶのは、交差項を落として計算した場合の結果を用意しているからである。偏微分は4つの項のうち2つしか残らないので、どの変数が共通かを先に確認すると速い。

問3の境界の意味

下限は第一宇宙速度、上限は第二宇宙速度（脱出速度）で、比は $\sqrt2$ である。$\sqrt{GM/(2R)}$ を含む選択肢は、円軌道の条件を「ポテンシャルの半分」と取り違えたときに現れる値である。$v=v_c$ ちょうどは円軌道で条件を満たすが、選択肢が開区間なので厳密な不等号で書かれた組を選ぶ。

力の向きを決めるのは $\theta$ だけ

糸が張っている限り、張力は必ず線分 $\mathrm{OP}$ の方向を向く。したがって並進の式に現れる角は $\theta$ である。一方、球は $\mathrm{P}$ で自由に回れるので、球の向き $\phi$ は張力の向きとは独立に決まり、回転の式にだけ $\phi-\theta$ の組合せで現れる。この役割分担を最初に整理しておくと、以降の設問で角を取り違えない。

問4のモーメントの符号

$\phi>\theta$ のとき、球は糸より前に出ており、張力は球を引き戻す向きのモーメントを与える。よって $\ddot\phi$ の符号は $-(\phi-\theta)$ と同じでなければならない。符号だけなら、この物理的な向きの確認で十分に決まる。$+Mga$ を含む選択肢は、重力が重心まわりにモーメントを与えると誤解した場合の形である。

問3の暗記の確認

$\frac25Ma^2$ は中身の詰まった球、$\frac23Ma^2$ は薄い球殻の値である。$\frac23$ を選ぶ誤りが定番なので、上のように球対称性から一度導いておくと迷わない。振り子の全体を「半径 $a$ の球」ではなく「長さ $l+a$ の棒」と見て $M(a+l)^2$ 型を選ぶ誤りも用意されている。

方針

未定乗数法を持ち出す必要はない。糸が張っているという条件は「張力 $S$ という未知数を1つ導入し、$y$ 方向の式でそれを決める」形で自動的に処理される。自由度は $\theta$ と $\phi$ の2つ、独立な方程式は並進2本と回転1本の計3本、未知数は $\theta,\phi,S$ の3つで過不足がない。

$\ddot y_{\mathrm G}\simeq0$ の意味

微小振動では重心はほぼ水平にしか動かないので、鉛直方向の運動方程式は「張力と重力のつり合い」に退化する。この $S\simeq Mg$ を代入して初めて問5、問6が $\theta,\phi$ だけの閉じた連立方程式になる。ここを飛ばして $S$ を残したままにすると、選択肢のどれとも一致しない。

検算：点質量の極限

$a\to0$ では $\alpha\to0$、$\beta\to0$ で $A\to1$、$B\to0$ となり、周期は $T=2\pi\sqrt{(l/2g)(1\pm1)}$、すなわち $2\pi\sqrt{l/g}$ と $0$ になる。前者は長さ $l$ の単振り子の周期そのもので、後者は消えた自由度に対応する。この極限が合うことを確かめると、$A$ と $B$ の組合せを取り違えていないかが1行で確認できる。

2つの基準振動の姿

$\lambda$ の大きい根は $\theta$ と $\phi$ が逆向きに振れる速い振動、小さい根は両者が同じ向きに振れる遅い振動に対応する。遅い方は糸と球がほぼ一直線に並んだまま揺れる「長さ $l+a$ に近い振り子」で、周期は $2\pi\sqrt{l/g}$ よりわずかに長い。二重振り子と同じ構造だが、下側の自由度が「球の自転」である点だけが違う。

失点しやすい点

$\alpha$ と $\beta$ の定義を取り違えると問5と問6の答えが入れ替わる。$\alpha$ は慣性モーメントを含む量、$\beta$ は純粋な長さの比であり、$\alpha=\frac{2}{5}\beta$ という関係がある。また問7では $\omega^2\propto\lambda$ なのに対して $T\propto\lambda^{-1/2}$ なので、根の $\pm$ が入れ替わる。$\lambda_+\lambda_-=\alpha$ を使って逆数を書き換える手順を明示しておくと、符号の取り違えを防げる。

問2で問われている境界

$n^2$ はスピンを数えない軌道の縮退度である。電子スピンまで含めれば $2n^2$ になり、これが周期表の各周期の収容数に対応する。選択肢に $2n^2$ がないので、ここでは軌道だけを数えればよいと判断できる。なお $l$ に依存しない縮退はクーロンポテンシャル特有のもので、ルンゲ–レンツベクトルの保存に由来する偶然縮退である。

問3の符号

$[\hat L_x,\hat L_y]=+i\hbar\hat L_z$ の符号は巡回的で、$x\to y\to z\to x$ の順に添字を回すと保たれる。逆順にすると符号が反転するので、選択肢に $-i\hbar\hat L_z$ が用意されている。第2問の $\{L_x,L_y\}=L_z$ と対応しており、$\{\ ,\ \}\to[\ ,\ ]/(i\hbar)$ という正準量子化の置き換えでつながっている。

符号の決め方

$\hat H'=-\vec d\cdot\vec E$ で、電子の電気双極子モーメントは $\vec d=-e\vec r$ である。マイナスが2回かかって $\hat H'=+eEz$ となる。ここで符号を落とすと問3の行列要素の符号が反転し、問5で選ぶ状態が逆になる。$\hat H'$ の全体の符号は、後で $\pm3eEa_0$ の対称な組が出ることからは判定できないので、定義に戻って書いておく。

選択則を先に使う

6つの行列要素を全部積分すると時間が足りない。$\phi$ 積分が $\int_0^{2\pi}e^{i(m-m')\phi}d\phi=2\pi\delta_{mm'}$ で消えることを最初に書けば、$m$ の異なる4つは即座に落ちる。残る $\langle 2\,1\,1|\hat H'|2\,1\,{-1}\rangle$ も $m$ が違うので $0$、$l$ が同じ組はパリティで $0$ である。実際に積分するのは1つだけでよい。

検算

$\langle 200|z|210\rangle=-3a_0$ は、$n=2$ の水素原子の代表的な数値としてよく知られている。大きさが $a_0$ の数倍のオーダーになることは、$n=2$ の電子雲の広がりが $\sim4a_0$ であることと整合する。もし $a_0$ より桁違いに大きい値や、$1/\sqrt{4\pi}$ のような角度因子が残った値が出たら、動径積分の規格化係数か $\int\cos^2\theta\,d\Omega=4\pi/3$ を取り違えている。

一次シュタルク効果が起きる理由

基底状態 $n=1$ では一次の効果は起きず、$E^2$ に比例する二次シュタルク効果になる。$n=2$ で一次の効果が生じるのは、$l=0$ と $l=1$ が縮退していて、パリティの異なる状態を混ぜた「永久双極子をもつ状態」を作れるからである。実際 $\frac{1}{\sqrt2}(|200\rangle\pm|210\rangle)$ は電子雲が $z$ 軸方向に片寄った状態で、$\langle z\rangle=\mp3a_0$ の双極子をもつ。この設問群は、偶然縮退があるとパリティ選択則をすり抜けて一次の効果が現れる、という筋道を追えるかを見ている。

問5の符号の確認

$\hat H'=+eEz$ で行列要素が負なので、$|200\rangle+|210\rangle$ の側が下がる。物理的には、電場が $+z$ 向きのとき電子（負電荷）は $-z$ 側に片寄る方がエネルギーが低い、ということである。実際 $\langle\psi_{\min}|z|\psi_{\min}\rangle=\langle200|z|210\rangle=-3a_0<0$ で、電子雲は $-z$ 側に寄っている。符号を追う自信がないときは、この期待値を計算して物理的に妥当かを見るのが確実である。

失点しやすい点

問4で「エネルギー変化をすべて選べ」とあるので、$0$ を落とすと不完全になる。$|211\rangle$ と $|21\,{-1}\rangle$ は一次では変化せず、縮退したまま残る。4つの状態が4つの異なる準位に分かれるわけではなく、$3$ 本になる点が結論の要である。また $\sqrt3$ や $1/\sqrt{4\pi}$ を含む選択肢は、角度積分か動径積分のどちらかを規格化し忘れたときの値なので、両方の規格化を確認する。

問1と問2で使う誘電率の違い

問1は「ある気体中」なので与えられた $\varepsilon$ を、問2は「真空中」なので $\varepsilon_0$ を使う。値がほぼ同じなので取り違えても数値はあまり変わらないが、どちらを使うかを式の段階で書き分けておくのが答案として正しい。導体球の表面電荷密度 $\sigma=Q/(4\pi R^2)$ を使えば $E=\sigma/\varepsilon$ とも書け、平面導体の表面での関係と同じ形になる。

問3のまとめ方の順序

はしご形回路は「端子から遠い側から順に」まとめる。ここでは右端のループが $C$–$2C$–$C$ の直列（$2C/5$）になり、これが中央の $2C$ と並列（$12C/5$）、最後に左右の $C$ と直列という3段階で終わる。$2/5$ という小さい値になることから、右のループはほとんど効かず、答えが $C/2$ よりわずかに小さい $12C/29\simeq0.41C$ に落ち着くことも見通せる。検算として、右のループを取り去った場合（中央の $2C$ だけ）は $1/C+1/(2C)+1/C=5/(2C)$ より $0.4C$ となり、$0.41C$ と近い値になることを確かめられる。

問4の検算

サイクロトロン角振動数 $\omega=qB/m=1.60\times10^{-19}\times0.1/1.67\times10^{-27}\simeq9.6\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}}$ で、$v=r\omega=0.01\times9.6\times10^{6}=9.6\times10^{4}\,\mathrm{m/s}$ と一致する。得られた速さは光速の $3\times10^{-4}$ 程度なので、非相対論的に扱ってよいことも確認できる。

問1の次元と極限による検算

$A_\varphi$ は $r_1$ に比例して増える。これは一様磁場中の $\vec A=\frac12\vec B\times\vec r$ という標準形と一致し、実際 $|\vec A|=\frac12 Br_1=\frac12\mu nIr_1$ である。$I$ の2乗や $r_1$ の逆数を含む選択肢は、電流の1次であること、および内部（$r_1<a$）では中心で $0$ になるべきことから除外できる。ソレノイド外部では $B=0$ でも $A_\varphi=\mu nIa^2/(2r)\ne0$ で、これがアハラノフ–ボーム効果の舞台になる。

問2で環にしても結果が変わらない理由

円筒ソレノイドを環に曲げても、単位長さあたりの巻数 $n$ と断面積 $\pi a^2$、および全長 $l$ が変わらないので、内部の磁束密度も鎖交磁束も同じである。違いは端の漏れがなくなることだけで、むしろ理想化が正当になる。$L=\mu n^2 lS$ という形は、$\mu\times(\text{単位長さ巻数})^2\times(\text{体積})$ と読むと覚えやすい。$\pi a^2$ が分母に来ている選択肢は、この体積の依存性を逆にしたものである。

問3の要点

トロイダルコイルでは磁束が芯の外へ漏れないので、一方の巻線がつくった磁束は他方の巻線に「全部」鎖交する。すなわち結合係数が $1$ で、$M=\sqrt{L_1L_2}$ が成り立つ。実際 $L_1=\mu N_1^2\pi a^2/l=L/25$、$L_2=16L/25$ なので $\sqrt{L_1L_2}=4L/25$ となり、上で求めた $M$ と一致する。この検算を書いておくと、巻数の積か2乗かを取り違えていないことが示せる。

問4の別解

インダクタンスで表すと $$U=\frac12L_1(2I)^2+\frac12L_2I^2+M(2I)(I)$$ である。$L_1=L/25$、$L_2=16L/25$、$M=4L/25$ を代入すると $$U=\frac{L I^2}{2}\left(\frac{4}{25}+\frac{16}{25}+\frac{16}{25}\right) =\frac{36}{25}\cdot\frac{LI^2}{2}$$ となり、基準の $U_0=\frac12LI^2$ の $36/25$ 倍である。磁場から計算した結果と一致する。相互インダクタンスの項の係数が $2\times\frac12=1$ であることに注意する。

失点しやすい点

問4で「電流の2乗の比」だけを見て $(2I)^2+I^2$ のように足すと $5/1$ のような値になってしまう。2つの巻線は同じ芯を共有していて磁場が重ね合わさるので、まず起磁力 $\sum N_kI_k$ を足してから2乗する、という順序でなければならない。逆に言えば、この設問は相互インダクタンスの項を落とさずに扱えるかを見ている。また巻線が環の一部にしかない場合でも、アンペールの周回路が囲む電流は巻数と電流の積であって、巻線が占める角度で割る必要はない。

問1の覚え方

$c=\mp1$ の符号は「ボースはまとまりたがるので分母が小さくなる（$-1$）」と結び付けると迷わない。実際 $\varepsilon_i\to\mu$ の極限で BE 分布は発散し、これがボース–アインシュタイン凝縮の起点になる。一方 FD 分布は $\varepsilon_i\to-\infty$ でも $\bar n_i\to1$ で頭打ちになる。$c=0$ の MB 分布は両者の $\bar n_i\ll1$ の共通極限、すなわち希薄・高温の極限である。

問3で問われている対応

確率の式の指数に何が入っているかで集合が決まる。エネルギーだけなら $N$ 一定のカノニカル、$\mu N-E$ なら $N$ が変動できるグランドカノニカル、そもそも指数因子がなく等重率なら孤立系のミクロカノニカルである。選択肢に「外界から孤立した系」があるのはミクロカノニカル用の撹乱で、確率がボルツマン因子で書かれている時点で孤立系ではない。

零点エネルギーの置き場所

$Z_j$ の分子 $e^{-\hbar\omega_j/2kT}$ が零点エネルギーの寄与である。これを落として $Z_j=1/(1-e^{-\hbar\omega_j/kT})$ としても熱容量は変わらないが、自由エネルギーと内部エネルギーには $N\hbar\omega_j/2$ の定数項として残る。この設問群では $F_j$ と $U_j$ の第1項がまさにそれなので、分子を省略してはいけない。

$N!$ を割らない理由

理想気体では同種粒子の不可弁別性から $Z_N=Z_1^N/N!$ とするが、ここでの $N$ 個の系は空間的に固定された別々の系（局在振動子）なので、入れ替えても新しい微視的状態にならない、という状況ではない。固体のアインシュタイン模型やデバイ模型で $N!$ を割らないのと同じ理由である。問題文が「分母に $1$ を入れてもよい」とわざわざ断っているのは、この判断を問うているためである。

基準振動が2つになる仕組み

2粒子の変位を $u_1,u_2$ とすると、$q_\mathrm{A}=(u_1+u_2)/\sqrt2$ は2粒子が同じ向きに動くモードで、中央のバネ $\rho$ が伸び縮みしないため復元力は両端の $\sigma$ だけから来て $\omega_\mathrm{A}=\sqrt{\sigma/M}$ になる。$q_\mathrm{B}=(u_1-u_2)/\sqrt2$ は逆向きに動くモードで、中央のバネも伸び縮みして $\omega_\mathrm{B}=\sqrt{(2\rho+\sigma)/M}$ になる。$\sigma\ll\rho$ なら $\omega_\mathrm{A}\ll\omega_\mathrm{B}$ で、これが問5の設定である。

問5の見取り図

熱容量は温度を上げるにつれて $0\to Nk\to2Nk$ と2段階で立ち上がる。段の位置は $kT\sim\hbar\omega_\mathrm{A}$ と $kT\sim\hbar\omega_\mathrm{B}$ で、$\sigma\ll\rho$ のとき2つの振動数が大きく離れるので、中間の平坦部がはっきり現れる。実在の系では、分子の並進・回転・振動の自由度が温度とともに順に「解凍」されて $C_V$ が階段状に増える現象が同じ構造をもつ。

高温極限の検算

$U_j\to NkT$ は、1つの調和振動子が古典的に $kT$ のエネルギーをもつというエネルギー等分配則である。系 S 全体では自由度が2つなので $U\to2NkT$、$C\to2Nk$ となり、選択肢の $2Nk$ と一致する。$\frac32Nk$ や $3Nk$ は、3次元の並進自由度や3次元固体のデュロン–プティ則と混同したときに選びやすい値だが、ここは1次元の2自由度である。

低温での落ち方

$kT\ll\hbar\omega_j$ では $C_j\simeq Nk(\hbar\omega_j/kT)^2e^{-\hbar\omega_j/kT}$ で、べき乗ではなく指数関数的に $0$ になる。これはエネルギー準位が離散的で、最低励起までに有限のギャップ $\hbar\omega_j$ があることの直接の帰結である。実際の固体の低温比熱が $T^3$ に比例するのは、振動数が $0$ まで連続に分布する音響モードがあるためで、単一振動数のアインシュタイン模型との違いがここに現れる。

答案の書き方

問4までは分配関数から機械的に降りるだけなので、$Z\to F\to U$ の関係式（$F=-kT\log Z$、$U=-\partial\log Z/\partial\beta$、あるいは $U=F+TS$、$S=-\partial F/\partial T$）を最初に一行で書いておくと、以降は代入と微分だけになる。問5は極限を取るだけだが、「凍結」「エネルギー等分配則」という言葉を添えると、単に数値を選んだのではないことが伝わる。