筑波大 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 物理 2020年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

問1の別解と検算

余因子展開で逆行列を作ってもよいが、$\det R=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ を先に出し、直交性 ${}^{t}RR=I$ を確かめる方が速く、符号ミスも起きない。答えの検算は $R^{-1}R=I$ を直接計算すればよく、$(1,1)$ 成分が $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$、$(1,3)$ 成分が $\cos\theta\sin\theta-\sin\theta\cos\theta=0$ となる。なお回転軸が $y$ 軸なので、標準的な $z$ 軸まわりの回転行列と非対角成分の符号の付き方が逆に見える点に注意する。

問2の失点しやすい点

数字が並ぶと反射的に余因子展開を始めてしまうが、この行列は下三角部分がすべて $0$ である。三角行列であることを一言書いてから対角成分の積を書けば2行で終わる。符号は $(-2)\times 2=-4$、$-4\times(-1)=4$、$4\times 3=12$ と順に追えばよい。

問3が試していること

$A$ はパウリ行列 $\sigma_y$ そのもので、$A^2=I$ を満たす。この性質から $\exp(\theta A)=\cos\theta\,I+\sin\theta\,A$ 型（今回は指数の肩が実数なので $\cosh,\sinh$ 型）の公式が出る。量子力学のスピン回転演算子 $\exp(-i\theta\sigma_y/2)$ と同じ計算であり、級数を項別に足すのではなく2乗を先に調べる、という手筋が身についているかを見ている。検算としては、$\exp A$ の固有値が $A$ の固有値 $\pm1$ の指数 $e^{\pm1}$ になるはずで、実際 $\cosh 1\pm\sinh 1=e^{\pm1}$ で一致する。

問4の書き方

「実部と虚部を計算せよ」なので、$e^{z^3}$ を極形式のまま置いてはいけない。$z^3$ を先に実部と虚部に分け、$e^{u+iv}=e^u(\cos v+i\sin v)$ に代入する、という2段構成を明示するのが答案として最も短い。なお $u=x^3-3xy^2$、$v=3x^2y-y^3$ は $z^3$ の実部・虚部なので調和関数であり、$u_{xx}+u_{yy}=6x-6x=0$ で確かめられる。

問5の別解

留数を1つずつ求めなくても、$|z|=R$ 上で $|1/(z^3-1)|\le 1/(R^3-1)$、周長 $2\pi R$ なので $R\to\infty$ で積分は $0$ に収束する。積分路の外側に極がない以上、$|z|=2$ 上の積分は $|z|=R$ 上の積分と等しく、よって $0$ である。一般に有理関数で分母の次数が分子より2以上大きければ、全極を囲む周回積分は $0$ になる。この見方を知っていれば計算せずに答えが出る。

問6の検算

$x=0$ を代入すると $f(0)=0$ でなければならない。実際 $$\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k:\,\text{奇数}}\frac{1}{k^2} =\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{8}=0$$ となり整合する（奇数の逆2乗和が $\pi^2/8$ であることを使った）。$x=\pi$ では $\cos(k\pi)=-1$（$k$ 奇数）なので級数は $\pi/2+ (4/\pi)(\pi^2/8)=\pi$ となり、$f(\pi)=\pi$ と一致する。

偶数次が消える理由

$k$ が偶数のとき $C_k=0$ になるのは偶奇の対称性による。$|x|$ は $x\to\pi-x$ に対する対称性をもたないが、$\int_0^{\pi}x\cos(kx)dx$ の部分積分で現れる $[\cos(kx)/k^2]_0^{\pi}$ が $k$ 偶数で $1-1=0$ になるためである。答案では $(-1)^k-1$ の形をそのまま残しておけば、場合分けの記述漏れによる減点を避けられる。

問7の要点

$\nabla\times\vec r=\vec 0$ を成分計算で示してから発散をとってもよいが、$\nabla\cdot(\nabla\times\ )=0$ は場が何であっても成り立つ恒等式なので、そちらを引く方が一般性がある。実際 $\nabla\times\vec r$ の $x$ 成分は $\partial_y z-\partial_z y=0$ で、3成分とも $0$ である。$\nabla\cdot\vec r=3$ の「$3$」は空間次元であり、$n$ 次元なら $n$ になる。

問8の失点しやすい点

$y^2/2=x^2+C_1$ を $y=\pm\sqrt{2x^2+C}$ と平方根の形に直すと、符号と定義域の議論が必要になり、かえって減点されやすい。陰関数のまま $y^2-2x^2=C$ と書くのが安全である。また変数分離の際に $y\neq0$ を仮定しているので、その断りを入れておく。検算は両辺を $x$ で微分して $2yy'-4x=0$、すなわち $y'=2x/y$ を確かめればよい。

問9の書く順序

特性方程式・根・一般解の3行で足りる。根が重解や複素数になる場合の扱い（$C_1+C_2x$ 倍、あるいは三角関数）と混同しないよう、判別式 $9-8=1>0$ で相異なる2実根であることを一言添えると確実である。

問10の別解と検算

直交座標のままでも計算できる。$\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}y\,dy=(a^2-x^2)/2$ を先に済ませると $$\int_0^{a}\frac{x^3(a^2-x^2)}{2}dx =\frac12\left(\frac{a^2a^4}{4}-\frac{a^6}{6}\right) =\frac12\cdot\frac{3a^6-2a^6}{12}=\frac{a^6}{24}$$ となり一致する。次元の確認も有効で、$x^3y\,dxdy$ は長さの6乗の次元をもつから答えは $a^6$ に比例しなければならない。なお領域は「$x,y>0$」なので全円ではなく四分円であり、全円と取り違えると被積分関数の対称性から答えが $0$ になってしまう。

問1で問われている区別

系の全運動エネルギーは「重心運動の分」と「重心系での相対運動の分」の和 $K=K_{\mathrm G}+\frac12\mu|\vec v_{\mathrm A}-\vec v_{\mathrm B}|^2$（$\mu=m_{\mathrm A}m_{\mathrm B}/M$ は換算質量）に分かれる。設問が求めているのは前者だけなので、相対運動の項を足してはいけない。$|\vec P|^2/2M$ の形で書いておくと、次の問2の運動量保存とつながって見通しがよい。

問2の失点しやすい点

「弾性衝突」と書かれているとエネルギー保存の式を立てたくなるが、$\vec v_{\mathrm A}'$ が与えられている以上、必要なのは運動量保存だけである。エネルギー保存まで連立させると、未知数より式が多い不定な計算に入り込む。検算としては、1次元正面衝突の公式 $\vec v_{\mathrm A}'=\{(m_{\mathrm A}-m_{\mathrm B})\vec v_{\mathrm A}+2m_{\mathrm B}\vec v_{\mathrm B}\}/M$ を代入すると $\vec v_{\mathrm B}'=\{(m_{\mathrm B}-m_{\mathrm A})\vec v_{\mathrm B}+2m_{\mathrm A}\vec v_{\mathrm A}\}/M$ が復元される。

問3の前提の明示

$K=\frac12Mv^2+\frac12I\omega^2$ と分解できるのは、回転軸が重心を通るときに限る。円柱軸は対称軸なので重心を通り、条件を満たす。もし床を転がる場合のように接触点まわりで考えるなら、平行軸の定理で $I+Md^2$ に置き換える必要がある。また「$\omega$ で回転しながら $\vec v$ で並進」という設定なので、$\vec v$ と $\omega$ を結ぶ拘束（すべらない条件 $v=R\omega$ など）は課されていない。

方針

束縛条件 $\theta=\alpha$ を先に代入して自由度を2に落とすのが要点で、そうすれば拘束力（垂直抗力）を一切書かずに済む。ニュートン方程式で解こうとすると、円錐面の法線方向の抗力を未知数として立てて消去する手間がかかる。ラグランジュ形式の利点がそのまま得点差になる設問である。

問4の有効ポテンシャルによる見方

$\ell$ を一定に固定した瞬間、問題は動径 $r$ の1次元運動に化ける。有効ポテンシャル $U_{\mathrm{eff}}$ は $r\to0$ で遠心障壁により発散し、$r\to\infty$ で重力項により発散するので、間に必ず1つの極小をもつ。極小点が円軌道であり、極小である以上その近傍の運動は安定な振動になる。答えの $\Omega^2>0$ はこの図から出発しても予想できる。

図は $\ell$ を固定したときの有効ポテンシャルの概形である。極小 $r_0$ が円軌道に対応し、$E$ をわずかに上げると2つの反転点の間で $r$ が往復する。これが $s$ の単振動である。

問3の検算

$\alpha\to\pi/2$（円錐が水平面に近づく）では $\cot\alpha\to0$ なので $\omega\to0$ となる。水平面上では重力の面内成分がなく、円運動を保つのに向心力が要らないからで、妥当である。逆に $\alpha\to0$（細い円錐）では $\omega\to\infty$ で、これも壁がほぼ鉛直になり、落ちないためには猛烈な回転が要ることに対応する。次元も $[\sqrt{g/d}]=[\text{時間}]^{-1}$ で正しい。

失点しやすい点

最大の落とし穴は $d$ と $r$ の取り違えである。$d$ は「円運動の半径」すなわち軸からの水平距離で、円錐に沿った距離 $r$ とは $d=r\sin\alpha$ の関係にある。$r_0=d$ としてしまうと $\omega^{2}=g\cos\alpha/(d\sin^{2}\alpha)$ となり、示すべき $g\cot\alpha/d$ に一致しない。問3が「示せ」という形式なのは、この換算をしたかどうかを確認するためである。もう一つは問4で $\dot\varphi$ を定数のまま扱ってしまう誤りで、角運動量が一定なら $r$ が変われば $\dot\varphi$ も変わる。$\dot\varphi$ を消去せずに展開すると係数 $3$ が $1$ になり、安定性の結論は同じでも振動数を誤る。

問1の要点

$\sin^2$ の積分は半角公式で処理する。区間 $[0,L]$ は $\sin(n\pi x/L)$ のちょうど半周期の $n$ 倍なので $\cos(2n\pi x/L)$ の積分が厳密に $0$ になり、平均が $1/2$ になる。$A_n$ が $n$ に依存しないのはこのためで、答えに $n$ が残ったら計算違いである。

問2の別解

$\vec B$ 方向の単位ベクトルを $\hat n$ とすると $\vec B\cdot\vec S=|\vec B|\,(\hat n\cdot\vec S)$ であり、$\hat n\cdot\vec S$ は任意の方向のスピン射影なので固有値は $\pm\hbar/2$ である。この一言だけで固有値 $E=\pm g\mu_B|\vec B|/2$ が出る。行列式を計算する方法と併記しておくと、方向によらずゼーマン分裂の幅が $g\mu_B|\vec B|$ であることが明確になる。$2\times2$ でトレースが $0$ の行列は固有値が $\pm\sqrt{-\det}$ になる、という事実は他の設問でも使い回せる。

問3の失点しやすい点

交換子を展開したあと、$[AB,CD]$ の形をそのまま $[A,C][B,D]$ のように分配してしまう誤りが多い。可換な因子は交換子の外に出す、という操作を1行ずつ書くのが安全である。答えの $i\hbar L_z$ は角運動量代数 $[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k$ の一例で、これが成り立つことが「同時対角化できるのは $L^2$ と1成分だけ」という角運動量の量子化の出発点になる。

方針

[B]全体は「一様磁場と等方調和ポテンシャルを同時に受ける2次元荷電粒子」という模型で、フォック・ダーウィン問題として知られる。極座標のハミルトニアンが与えられているので、変数分離して $u(r)$ の問題に落とし、ガウス型の試行関数を代入して係数を合わせる、という流れをたどればよい。$r^2$ の係数を消す条件が長さスケール $\ell_B$ を決め、残った定数項がそのまま固有値になる、という構造は調和振動子の基底状態を求めるときと同じである。

$E_0$ の意味と検算

$\dfrac{m(\omega_c^2+4\Omega^2)}{8}r^2=\dfrac12m\omega_{\mathrm{eff}}^2r^2$ とおくと $\omega_{\mathrm{eff}}=\frac12\sqrt{\omega_c^2+4\Omega^2}$ であり、$E_0=\hbar\omega_{\mathrm{eff}}$ となる。これは2次元等方調和振動子の基底エネルギー $\hbar\omega(=2\times\frac12\hbar\omega)$ そのもので、零点エネルギーが自由度の数だけ足されている形になっている。極限でも確認できる。$B=0$ のとき $\omega_c=0$ で $E_0=\hbar\Omega\cdot 1=\hbar\Omega$ となり、角周波数 $\Omega$ の2次元振動子の基底状態と一致する。逆に $\Omega=0$ のときは $E_0=\hbar\omega_c/2$ で、最低ランダウ準位のエネルギーに一致する。$\ell_B$ も $\Omega=0$ で $\ell_B^2=4\hbar/(m\omega_c)=4\hbar/(qB)$ となり、磁気長 $\sqrt{\hbar/(qB)}$ の定数倍になる。

問3の物理的な意味

$|M|$ を $B$ の関数として描くと下図のようになる。弱磁場では $M\simeq-\hbar q^2B/(4m^2\Omega)$ と $B$ に比例し（ランジュバン反磁性と同じ線形応答）、強磁場では $|M|\to\hbar|q|/(2m)$ に飽和する。飽和値は電荷 $q$、質量 $m$ の粒子がもつ磁気モーメントの自然な単位（ボーア磁子に相当する量）であり、閉じ込めが磁場に負けて軌道がサイクロトロン運動に近づくことを意味する。

問4の失点しやすい点

2次元の期待値なので、体積要素は $dx\,dy=r\,dr\,d\phi$ であり、$\langle r\rangle$ の被積分関数は $r\cdot|\psi|^2\cdot r$ となって $r^2$ が現れる。$r$ を1個しか掛けないと $\int r\,e^{-2r^2/\ell_B^2}dr$ となり、答えが $\ell_B$ の1次ではなく別の形になってしまう。検算としては、$\langle r\rangle/\ell_B=\sqrt{2\pi}/4\simeq0.627$ が $1$ より小さいこと、および $\langle r^2\rangle=\ell_B^2/2$ から $\sqrt{\langle r^2\rangle}=\ell_B/\sqrt2\simeq0.707\,\ell_B$ が $\langle r\rangle$ より大きいこと（コーシー・シュワルツの不等式 $\langle r\rangle\le\sqrt{\langle r^2\rangle}$）を確かめればよい。

問1で $\alpha$ が整数になる理由

「一価性」は数学的な要請ではなく、波動関数が空間の各点で一つの値をもつという物理的要請である。$\phi$ と $\phi+2\pi$ は同じ点なので $e^{2\pi i\alpha}=1$ が必要になる。$\alpha$ は $z$ 軸まわりの軌道角運動量の量子数（固有値 $\hbar\alpha$）にあたり、問2で $\alpha=0$ と置くのは角運動量を持たない状態を選ぶという意味である。なお $\alpha\neq0$ でも同じガウス型の試行関数に $r^{|\alpha|}$ を掛けた形が解になり、固有値は $E=\hbar\omega_{\mathrm{eff}}(|\alpha|+1)-\hbar\omega_c\alpha/2$ となって磁場による準位の分裂が現れる。

問1の検算と背景

$v=E/B$ は電場と磁場の比という形で、次元は $[\mathrm{V/m}]/[\mathrm{T}]=[\mathrm{m/s}]$ となり速度の次元をもつ。この装置は速度選別器（ウィーンフィルター）で、質量や電荷によらず特定の速さの粒子だけを通す。質量分析器で入射ビームの速度をそろえるのに使われる。答案では「進行方向が $-y$」まで書くと、$\hat y\times\hat z=\hat x$ の向きを正しく扱ったことが示せる。

問2で書くべき水準

「ストークスの定理を示し」とあるので、定理名を挙げるだけでは不十分である。微小長方形の循環が回転の面積分になること、内部の辺が相殺して外周だけが残ること、の2点を書けば導出として通る。最後の「S が任意だから被積分関数が $0$」という論法も明示する。ここを省いて積分形から微分形へ飛ぶと減点されやすい。なお時間微分を積分の中へ入れる操作は、積分領域 S が時間変化しない場合に限って許される（動く回路では運動起電力の項が加わる）。

問3が試していること

極板間には伝導電流は流れないが、$D$ の時間変化が磁場を作る。その大きさが回路を流れる伝導電流 $I=C\,dV/dt$ とぴったり一致することを確かめさせるのがこの設問の狙いで、答えが $C\,dV/dt$ の形に書けたときにアンペール・マクスウェルの法則の無矛盾性が見えることになる。位相についても、電流が電圧より $\pi/2$ 進む（$\sin\to\cos$）という交流回路の常識と合っている。

問1の図示で押さえる点

「概形を図示せよ」なので、次の3点が描けていれば十分である。(i) $y$ 軸（$\theta=\pm\pi/2$）が $V=0$ の面であること、(ii) $+x$ 側が正、$-x$ 側が負で、原点に関して符号が反転する反対称な形であること、(iii) 各等電位面が原点で細くすぼまり、$x$ 軸方向に最も膨らむ葉の形になること。点電荷1個の場合の同心球とは全く違う形になるのが要点で、$r\propto\sqrt{|\cos\theta|}$ という角度依存性を式で添えておくと説明が締まる。等電位面と電気力線は直交するので、電気力線は原点付近から出て $y$ 軸を横切らずに戻る曲線群になる。

問2の別解

$V$ をベクトル形式 $V=\dfrac{\vec p_1\cdot\hat r}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ と書いてから $\vec E=\dfrac{3(\vec p_1\cdot\hat r)\hat r-\vec p_1}{4\pi\varepsilon_0r^3}$ を使ってもよい。$\hat r$ 成分をとると $3\cos\theta-\cos\theta=2\cos\theta$ で $E_r$ に一致し、$\hat\theta$ 成分は $-\vec p_1$ の $\hat\theta$ 成分だけが残って $+\sin\theta$ となり $E_\theta$ に一致する。極座標の勾配の公式を覚えていなくても、この形から復元できる。

問3・問4の検算

$\theta=0$ で $U=-2k$（最小）、$\theta=\pm\pi/2$ で $U=+k$（最大）となり、$\theta=0$ で符号が負すなわち束縛的であることが直感と合う。頭と尾が向かい合う配置（$\theta=0$）は正電荷と負電荷が近づく配置なので引き合い、横に並ぶ配置（$\theta=\pi/2$）は同符号が向かい合うので反発する。力が $r^{-4}$ に比例するのは、双極子場が $r^{-3}$、その勾配が $r^{-4}$ という階層から自然に出る。点電荷どうしの $r^{-2}$、点電荷と双極子の $r^{-3}$ と並べて覚えておくとよい。

失点しやすい点

問4で「安定」を単に $dU/d\theta=0$ だけで判定してしまう答案が多い。$\theta=\pm\pi/2$ も停留点なので、2階微分の符号（または $U$ の値の比較）まで書かないと安定・不安定を区別したことにならない。また力を求めるとき、$U$ に $\theta$ を代入してから $r$ で微分する順序を守る。$\theta$ を残したまま $r$ で微分して後から $\theta=0$ を入れても同じ答えになるが、$\theta$ 方向の力（トルク）と混同しないよう、$F$ が動径方向の力であることを明記する。

問1の要点

$dF=-S\,dT-p\,dV$ から $dG$ を出す操作はルジャンドル変換で、独立変数を $V$ から $p$ に取り替えている。$p\,dV$ が消えて $V\,dp$ が現れるという入れ替わりが本質であり、$G$ が「温度と圧力を制御する実験（大気圧下の測定や相平衡）」に適した熱力学関数である理由でもある。$G$ を $T,p$ の関数として書けたので、マクスウェルの関係式 $\left(\partial S/\partial p\right)_T=-\left(\partial V/\partial T\right)_p$ も $dG$ が完全微分であることから直ちに従う。

問2の図による理解

下図は2次相転移の前後での $S$ と $C_p$ の振る舞いの概形である。$S$ は $T_c$ で折れ曲がるが値は飛ばない。$C_p$ は $S$ の傾きに比例するので、その折れ曲がりがそのまま飛びとして現れる。

失点しやすい点

1次相転移と混同して「エントロピーは不連続」と答える誤りが多い。1次相転移（融解・蒸発など）では $S$ と $V$ が飛び、その飛びが潜熱と体積変化として観測される。2次相転移（超伝導転移や強磁性転移など）で飛ぶのは $C_p$・圧縮率・熱膨張率といった2階微分量である。どちらの問いかを、$G$ の何階微分かという基準に戻して判定すると間違えない。

方針

[B]は「2相共存 $\Leftrightarrow$ 化学ポテンシャルが等しい」という1本の条件に落とすための材料集めである。問1で気体側、問2〜問4で固体側の $\mu$ を用意し、問5で等号を立て、問6で近似する。したがって問1〜問4はそれぞれ独立に得点でき、途中で詰まっても後半に進める構成になっている。答案では、各相の $\mu$ を $T$ と $p$ の関数の形にそろえておくと問6の代入が滑らかになる。

$1/N!$ を付けるかどうか

この問題の一番の分かれ目は問2である。気体では粒子が空間を自由に動き回って区別できないので $Z=z^N/N!$ とし、その結果として式(1)の $\ln(V/N)+1$ という組み合わせ（スターリング近似の名残）が現れている。一方、固体では原子が格子点に固定されていて「どの原子がどの site にいるか」が意味をもつため区別でき、$Z=z^N$ でよい。ここで誤って $1/N!$ を付けると $\mu_{\text{固体}}$ に $\ln N$ 型の項が入り、示量性が壊れて共存曲線が出てこない。

問6の結果の読み方

共存圧力の主要因子は $e^{-\epsilon/k_BT}$ で、これは「$\epsilon$ だけのエネルギーを払って原子を固体から引き剥がす」というボルツマン因子そのものである。クラウジウス・クラペイロンの関係 $dp/dT=L/(T\Delta V)$ を昇華に適用しても同じ指数関数型が出る。$(1-e^{-\hbar\omega/k_BT})^3$ は固体側の振動の自由エネルギーから来る因子で、格子が硬い（$\omega$ が大きい）ほど固体の自由エネルギーが高くなり、蒸発しやすくなって共存圧力が上がる。高温極限で $p\propto\omega^3$ と強く効くのはこのためである。

検算

$\omega\to0$（振動が極端に柔らかい）で $p\to0$ となるのは、固体側の振動エントロピーが大きくなり固体が安定化して、気体になりにくいことに対応する。次元も確かめられる。$m^{3/2}\omega^{3}/\sqrt{k_BT}$ は $\mathrm{kg}^{3/2}\mathrm{s}^{-3}/(\mathrm{kg}^{1/2}\mathrm{m\,s}^{-1})=\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-2}}=\mathrm{Pa}$ となり、圧力の次元をもつ。$\hbar$ が最終形から消えているのは、高温古典極限では固体の振動が古典的に扱えるようになるからで、これも結果の妥当性を裏づける。

この設問が試していること

統計力学で分配関数から自由エネルギーを作る操作と、熱力学で自由エネルギーから相平衡条件を立てる操作を、同じ問題の中で往復させられるかを見ている。式(1)と式(2)が与えられているので計算量は多くないが、$F\to G\to\mu$ という変換の順序、区別できる／できないの判断、近似を入れる場所の3点で差が付く。