筑波大 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 専門科目（数学） 令和8年度8月期 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

公式問題の小問順に解く。

1. 偏微分すると $$f_x=-\sin x\sin y+\cos x,\qquad f_y=\cos x\cos y$$ である。領域内では $0<x<\pi,\ 0<y<\pi$ なので，臨界点は $$\cos y=0,\qquad -\sin x+\cos x=0$$ から $$(x,y)=\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$$ である。この点でのヘッセ行列は対角成分 $$f_{xx}=-\cos x\sin y-\sin x=-\sqrt2,\qquad f_{yy}=-\cos x\sin y=-\frac{1}{\sqrt2},$$ 非対角成分 $f_{xy}=-\sin x\cos y=0$ をもつので負定値である。したがって極大値は $$f\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt2$$ であり，極小値は存在しない。

2. 領域は $x\ge 0,\ |y|\le x$ であるから，極座標では $$-\frac{\pi}{4}\le \theta\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r<\infty$$ となる。よって積分値は $$\begin{aligned} \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\int_0^\infty \frac{r^2\cos^2\theta}{(r^2+1)^{5/2}}r\,dr\,d\theta &=\left(\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2\theta\,d\theta\right) \left(\int_0^\infty\frac{r^3}{(r^2+1)^{5/2}}\,dr\right). \end{aligned}$$ ここで $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}+\frac12,$$ また $u=r^2+1$ とおけば $$\int_0^\infty\frac{r^3}{(r^2+1)^{5/2}}\,dr =\frac12\int_1^\infty (u-1)u^{-5/2}\,du =\frac23.$$ したがって求める値は $$\frac23\left(\frac{\pi}{4}+\frac12\right) =\frac{\pi}{6}+\frac13$$ である。

3. 和はリーマン和として扱える。区間幅は $1/n$ であり，被積分関数は連続なので $$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n} \int_{k/n}^{(k+1)/n}\frac{dt}{1+t^2} &=\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\\ &=\frac12\log(1+x^2)\Big|_0^1 =\frac12\log 2. \end{aligned}$$