筑波大 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 専門科目（数学） 令和7年度1・2月期 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

方針

半径だけの関数 $F(x,y)=\varphi(r)$ では，勾配の大きさは $|\varphi'(r)|$ になる。ここでは $\varphi(r)=\tan r$ なので，計算の中心は $\sec^2 r$ の極座標積分である。

検算

$r\to0$ では $g=\sec^2r=1+O(r^2)$ である。したがって半径 $\varepsilon$ の小円板での積分は面積 $\pi\varepsilon^2$ に近い。最後の極限が $\pi$ になるのはこの直観と一致している。

典型ミス

$\int r\sec^2r\,dr$ で部分積分後の $\int\tan r\,dr=-\log(\cos r)$ の符号を間違えやすい。答えは $r\tan r+\log(\cos r)$ であり，微分して戻ることを確認するとよい。

方針

「定数倍すると直交行列」という条件は，まず $A^{\mathsf T}A$ を見るのが最短である。列ベクトルが互いに直交し，長さがすべて $5$ であることを示せば十分である。

試験で書くべきポイント

回転と拡大の合成と結論するには，$Q=A/5$ が直交行列であるだけでなく $\det Q=1$ も書く。もし $\det Q=-1$ なら回転ではなく鏡映成分を含む直交変換になる。

検算

跡は $3+9/2+7/2=11$ である。拡大率 $5$ で割った回転行列の跡は $11/5$ なので，$\cos\theta=(11/5-1)/2=3/5$ となり，$[-1,1]$ に入っている。

方針

選択肢Aは「3次既約多項式の随伴行列」と見るとよい。非零有理ベクトル $a$ に対して $a,Aa,A^2a$ が従属になることは，$\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ の非零元のノルムが0になることと同じである。

試験で書くべきポイント

選択肢Bでは，共役類の大きさを軌道安定化定理で処理する。特に「$|C(x)|$ は $|G|$ の約数」という主張は，中心化群 $Z(x)$ を安定化部分群として明示すると一行で通る。

典型ミス

中心化群 $Z(g)$ と中心 $Z(G)$ を混同しないこと。ここでの $Z(g)$ は固定した元 $g$ と可換な元全体であり，元 $g$ ごとに変わる部分群である。

方針

第1小問は集合列の上極限・下極限である。周期列では，上極限は周期内の和集合，下極限は周期内の共通部分になる。

多様体の確認

方程式1本で定まる部分集合が滑らかな曲面であることは，正則値定理で示すのが最も短い。勾配が消える点を求め，その点がレベル集合に乗っていないことを確認する。

典型ミス

最後の単体的複体では2単体がない。4本の辺で囲まれているため図形としては円周であり，穴を埋める面は存在しない。このため $H_1$ が残る。

方針

選択肢Cは長方形積分と留数定理で処理する。上辺では $z=x+\pi i$ と置いたとき，分母が符号反転し，分子に $e^{-2\pi}$ が出る。向きの反転と合わせて係数を確認するのが重要である。

実解析側の要点

選択肢Dの点ごとの極限は $x<1$，$x=1$，$x>1$ で分ける。ただし積分値では1点 $x=1$ の値は影響しない。最後は優収束定理を使うと，極限関数の積分だけに落ちる。

典型ミス

複素積分では上辺の向きを忘れると係数が $1-e^{-2\pi}$ になってしまう。実解析では $x>1$ の極限を $e^{-x^2}$ としてしまう誤りが多いが，分数部分は $x$ に収束する。