筑波大 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 専門科目（数学） 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

方針

前半は $\int_0^1x^\alpha\log x\,dx$ の標準公式，後半は2次元の動径関数のラプラシアンを使う。公式を丸暗記していない場合でも，$\int_0^1x^\alpha dx=1/(\alpha+1)$ を $\alpha$ で微分すれば導ける。

検算

$\Delta(\log r)=0$ は $r>0$ で成り立つ基本事実である。求めた $f(r)$ は $r=1$ で0，$r=e$ で $1/(2\pi)$ になるので境界条件とも合う。

典型ミス

$\Omega_\varepsilon$ の内半径は $\varepsilon$ である。条件が $\varepsilon^2\le x^2+y^2$ と書かれているため，極座標で下端を $\varepsilon^2$ にしてしまうと答えがずれる。

方針

この行列は $A^3=A$ を満たすので，固有値は $1,-1,0$ だけである。したがって，$\pm1$ の固有空間と0固有空間をそろえれば対角化まで一気に進む。

検算

$v_1,v_2$ は $A^2-E$ で消え，$v_3,v_4$ は $A$ で消える。よって $B=A^2-E$ は $v_3,v_4$ に $-1$ 倍で作用し，$v_1,v_2$ に0で作用する。この見方で $D$ の符号を確認できる。

典型ミス

$\operatorname{Im}(g)$ は $B$ の列空間であって，$\operatorname{Ker}(g)$ ではない。さらに $f(\operatorname{Im}(g))$ は部分空間の像なので，ベクトルを1本だけ調べず，基底全体の像を見る必要がある。

方針

選択肢Aは「関係式が消えるなら剰余環から写像が降りる」という普遍性を使う。選択肢Bは群論の基本命題を，写像の核や交換子を使って丁寧に示す問題である。

検算

選択肢Aの $M_2$ は次元0になる。ここを見落としやすいが，$t^2-1=0$ のもとでは $t^3-t=0$ なので $t^3-t+1\equiv1$ であり，商は零環になる。

典型ミス

単射性の証明で「パラメータ表示だから明らか」と書くだけでは不足する。剰余環の元を $a(X)+b(X)Y$ に正規形化し，偶奇部分を分けて多項式恒等式として処理するのが答案として安定する。

方針

選択肢Cは標準トーラスのパラメータ表示をそのまま使う。面積要素 $b(a+b\cos u)$ と曲率 $K=\cos u/\{b(a+b\cos u)\}$ の積が $\cos u$ に簡約されるのが計算の核心である。

検算

$t=0$ なら上下で半分になるので，$S_t$ の面積は $2\pi^2ab$。公式も $\arcsin0=0$ から同じ値を返す。

典型ミス

境界は1本ではなく2本の円である。内側と外側で半径が $a\pm b\sqrt{1-t^2/b^2}$ に分かれるため，長さも2つ出す必要がある。

方針

選択肢Eは上半平面に閉じる留数計算である。$t>0$ なので上半平面で指数因子が減衰する。選択肢Fは不等式で優関数を作り，優収束定理に接続する。

検算

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}/(x^2+1)\,dx$ は偶実部と奇虚部に分かれる。答え $\pi e^{-t}$ は実数正値であり，虚部が消えることとも整合する。

典型ミス

半円弧の評価では $|e^{itz}|=e^{-t\operatorname{Im}z}$ を使う。符号を逆にして下半平面へ閉じると，$t>0$ の減衰方向と合わず評価が破綻する。

方針

選択問題を分野別に処理した。Gは整列集合の後続区間，Hは対数変換で正規分布，Iは拡張ユークリッド互除法，Jは2階常微分方程式と一次漸化式である。

検算

Jで得た極限関数 $1-x^2$ は $-u''=2$，$u(1)=0$，$u(-\delta)=1-\delta^2$ を満たす。極限 $a=1-\delta^2$ とも整合する。

典型ミス

Hでは $X$ そのものではなく $\log X$ が正規分布になる。密度の $1/x$ を見落として $X$ を正規分布として扱うと，推定量も分散も全く違うものになる。