東大 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説16項目）

設問1　内側の流体に働く力

応力は単位面積に働く力であり、この $\tau$ は、内側の流体が外側から受ける力のうち下流向きの成分を、円柱側面の面積で割った符号付きの量である。圧力は断面に、せん断応力は側面に作用するため、使う面積が異なる。半径を大きくすると圧力の合力は $r^2$、側面積は $r$ に比例する。その比が $r$ なので応力も半径に比例する。

この取り出し方は、速度が流れ方向で変わらないことを使っている。断面が一定でも入口近くで速度分布が発達中なら、運動量流束の差が残る。ここではその項を捨てられる領域であり、さらに管軸方向の重力などの体積力を加えていない。円管全体の壁面だけで釣り合いを立てると壁面応力一つしか求まらないため、任意の半径の円柱を取る必要がある。

符号も力の向きから決まる。圧力差が流体を下流へ押すので、外側から受ける粘性力は上流向きである。従って $\tau<0$ となり、後の $\tau=\mu\,du/dr$ と合わせれば、中心から壁へ向かうにつれて速度が下がる。応力の大きさだけを書くなら $|\tau|=\Delta p\,r/(2L)$ だが、それを符号付きの構成式へそのまま代入しない。

例えば壁面応力の大きさが $20\,\mathrm{Pa}$ なら、$r=D/4$ の応力は $-10\,\mathrm{Pa}$ である。側面積を断面積 $\pi r^2$ と取り違えた誤式は $\tau_{\rm wrong}=-\Delta p$ を与え、中心でも応力が消えない。円周を $\pi r$ とする誤りなら正しい値の2倍になる。次元は $\Delta p\,r/L$ で圧力と同じ $\mathrm{N/m^2}$ となり、いずれも幾何と対称性から検出できる。

設問2　粘性則と壁の条件から速度を決める

ニュートン流体では、流体層同士のずれを生む変形速度に比例して粘性応力が生じる。軸対称で軸方向速度だけを持つ今回の流れでは、その変形速度が $du/dr$ となる。粘性係数 $\mu>0$ が一定であることを用いて積分した。密度を一定とする近似と、粘性係数を一定とする近似は別の条件であり、この解で温度による $\mu$ の変化まで求めているわけではない。

積分定数は壁で決める。滑りなしとは、流体の壁面での接線速度が壁自身の接線速度に等しいという条件で、静止壁なら $u(a)=0$ である。中心条件だけを使うと $u'(0)=0$ は自動的に成り立ち、$C$ は決まらない。逆に $u(0)=0$ と置くと、管中心を静止した壁のように扱うことになる。

同じ結果を局所の運動方程式から確かめることもできる。十分に発達した流れでは $dp/dx=-\Delta p/L$ であり、軸方向の釣り合いは $$0=-\frac{dp}{dx}+\frac{\mu}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{du}{dr}\right).$$ 答案の $u$ を代入すると、粘性項は $-\Delta p/L$ となり圧力項を打ち消す。原点に $\log r$ を含む別の積分解は有限な速度を与えないので除かれる。放物線は壁条件と中心での正則性の双方を満たす。

速度は $\Delta p$ に比例し、$\mu$ と $L$ に反比例する。管径を同じ圧力差で2倍にしたとき中心速度が4倍となる点も式から読める。ただし大きくした流速が層流という前提を破る場合まで、この比例関係を外挿はしない。単位は $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^2/(\mathrm{Pa\,s}\,\mathrm{m})=\mathrm{m/s}$ である。

半径 $a$ の代わりに直径 $D$ を壁の座標へ入れる誤式 $u_{\rm wrong}=\Delta p(D^2-r^2)/(4\mu L)$ は、実際の壁 $r=D/2$ で $3\Delta pD^2/(16\mu L)$ という正の値を残す。また負号を落として積分すると壁から中心へ向かって負の流速が生じる。境界値を式に戻すだけで、定数と符号の両方を検査できる。

設問3　円環ごとの流量を足す

面積平均の定義は $\overline u=A^{-1}\int_Au\,dA$ である。円管では同じ幅 $dr$ の帯であっても、外側の帯ほど面積が大きい。従って半径を一様に重み付けした平均ではなく、円周 $2\pi r$ を重みにする。この重みを全断面で積分すると $\int_0^a2r/a^2\,dr=1$ となり、平均の定義を満たしていることも確認できる。

$\eta=r/a$ とおけば $u/u(0)=1-\eta^2$ であり、無次元の平均は $$\frac{U_1}{u(0)}=\int_0^1(1-\eta^2)\,2\eta\,d\eta =\left[\eta^2-\frac{\eta^4}{2}\right]_0^1=\frac12.$$ この比は圧力差や流体の種類に依存しないが、速度分布が放物線であることには依存する。乱流のように中心が平らで壁近くの勾配が急な分布では、同じ $1/2$ を使う理由はない。

誤って半径の算術平均を取ると $$U_{\rm wrong}=\frac1a\int_0^a u(r)\,dr=\frac23u(0),$$ となる。例えば中心が $3\,\mathrm{m/s}$ なら、正しい面積平均は $1.5\,\mathrm{m/s}$、この誤った平均は $2\,\mathrm{m/s}$ である。中心付近の速い部分を過大に重み付けした結果である。また $u(a/2)=3u(0)/4$ は一本の円周上での速度であり、断面全体の平均とは異なる。

体積流量 $Q$ の管径依存性が $D^4$ になるのは、速度の $D^2$ と断面積の $D^2$ が掛かるためである。単位は $\mathrm{m^3/s}$。$Q\to0$ は $\Delta p\to0$ で、$U_1>0$ は $p_A>p_B$ で確かめられる。断面で密度一定という今回の条件なら、質量流量も $\dot m=\rho Q$ と求められるが、圧縮性を扱う次の第3問では、同じ速度分布の平均式をそのまま使わない。