東大 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 専門科目 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説39項目）

設問1　十分下流での速度分布

定常であっても流体は壁へ向かって移動するので、壁に垂直な移流項 $VU_y$ は0ではない。流れが $x$ に依存しなくなったという条件は $V=0$ を意味しない。連続式 $U_x+V_y=0$ は $V$ の $y$ 依存性だけを0にし、残る定数を壁の吸い込みで決める。

$U'$ に対する一階式は $dU'/dy=-(V_0/\nu)U'$。従って速度勾配は長さ $\ell=\nu/V_0$ を尺度として指数的に減る。吸い込みは高速流体を壁の近くへ運び、粘性が横へ運動量を拡散する効果と釣り合って、下流へ厚くなり続けない境界層を作る。

$V_0>0,\nu>0$ なら $0\le U<U_\infty$、$U'>0$、$U''<0$。式を二回微分して代入すれば、$-V_0U'=\nu U''$ が厳密に成り立つ。$y=\ell$ では $U/U_\infty=1-e^{-1}\simeq0.63212$、$y=3\ell$ では0.95021となる。

吸い込みの符号を反転して $U/U_\infty=1-e^{+V_0y/\nu}$ とする誤りでは、$y=\ell$ で $1-e\simeq-1.71828$ となり外縁条件も満たさない。また $V_0\to0$ で式が一様な Blasius 分布へ直ちに変わるわけではない。尺度 $\ell$ が発散し、十分下流で $x$ 依存を無視できるという近似の成立範囲自体が変わるためである。

設問2　排除厚さと壁面せん断応力

排除厚さは、速度欠損によって失われた流量を、一様流を壁からどれだけずらせば補えるかという長さである。$U_\infty\delta^*=\int_0^\infty(U_\infty-U)dy$ から定義を理解できる。速度が主流の一定割合に達する高さとは異なる。例えば99\%の高さは $y_{99}=\ell\ln100\simeq4.60517\ell$ で、$\delta^*=\ell$ の約4.6倍となる。

Newton 流体のせん断応力は $\mu U_y$、動粘性係数は $\nu=\mu/\rho$ だから $\rho\nu U_y$ と書ける。本問では二次元境界層近似を用い、壁に沿う速度勾配が支配的である。$U'(0)=U_\infty V_0/\nu$ を代入すると $\nu$ が消えるが、速度分布が粘性に無関係になったという意味ではない。

説明用に $\nu=10^{-5}\,\mathrm{m^2/s},V_0=0.01\,\mathrm{m/s},U_\infty=10\,\mathrm{m/s},\rho=1\,\mathrm{kg/m^3}$ なら、排除厚さ1mm、壁応力0.1Paとなる。$\tau=\rho\nu U_\infty$ とする誤りは壁勾配の長さ $\ell$ を落とし、$10^{-4}$ を応力と読むことになるが単位も $\mathrm{Pa\,m}$ で一致しない。積分は長さを作り、微分は速度を長さで割ることを確認する。