東大 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説14項目）

設問1　差圧が表す量

静圧は流体がその点で持つ圧力で、流れ方向へ向いた面に働く力だけを意味しない。静止した流体でも静圧はある。一方、よどみ圧は、流体を基準に対して速度0まで損失なく減速したときの圧力である。正面を向く孔の手前では流れが止まり、側孔はその正面のせき止めを避ける配置になっている。この異なる測り方で、静圧とよどみ圧を取り分ける。

非圧縮流の動圧 $q=\rho V^2/2$ は単位体積当たりの運動エネルギーと同じ形を持つ。質量 $\rho\,d\mathcal V$ の流体の運動エネルギーを体積 $d\mathcal V$ で割れば、この式が得られる。流れを損失なく止めると、運動エネルギーの減少が圧力の増加へ対応する。どの向きの孔でも静圧に動圧が自動的に足されるわけではなく、せき止める孔を用いる点が測定の仕組みである。

圧力差の定義なので、飛行高度によって静圧が変わっても、静圧そのものを速度と取り違えない。例えば静圧を $80\,\mathrm{kPa}$、動圧を $2\,\mathrm{kPa}$ とする測定例では、A孔は $82\,\mathrm{kPa}$、B孔は $80\,\mathrm{kPa}$、差圧は $2\,\mathrm{kPa}$ となる。$\Delta P=P_A$ とする誤りは $82\,\mathrm{kPa}$ を速度へ変換し、正しい差圧の41倍を使ってしまう。

速度0なら動圧0となり、両孔の理想圧力は等しい。速度を2倍にすれば差圧は4倍である。単位も $\mathrm{kg/m^3}\times\mathrm{m^2/s^2}=\mathrm{Pa}$ と合う。圧縮性が無視できない場合には $P_A-P_\infty$ と $\rho_\infty V_\infty^2/2$ は厳密には等しくないので、この関係の適用範囲を後の第2問と区別する。

設問2　ベルヌーイ式の成立条件

この式は定常なオイラーの運動方程式から導ける。流線方向の距離を $s$、速度の大きさを $V$ とすると、粘性応力と体積力の流線方向成分を無視した式は $$\rho V\frac{dV}{ds}=-\frac{dP}{ds}.$$ 非圧縮の一定密度 $\rho$ で積分すれば、$d(P+\rho V^2/2)/ds=0$ となる。定常という条件は、局所の時間変化による加速度を除くために使う。非粘性の条件は摩擦の項を除き、非圧縮の条件は $\int dP/\rho$ を $P/\rho$ と書くために使っている。

重力を残す場合は、上向き座標 $z$ に対して $P+\rho V^2/2+\rho gz$ が流線上で一定になる。従って同じ高さの二点間なら位置項が相殺するが、高さが異なる二点でそれを消してはいけない。例えば速度がどちらも0の静水では、上へ $1\,\mathrm m$ 上がると圧力は $\rho g\times1\,\mathrm m$ だけ下がる。位置項を落とした誤式は、この二点の圧力を同じ値とする。

同じ流線という条件と、渦なしという条件も分ける。流れに渦度があっても、上の沿流線の積分は成立し得る。ただし積分定数は流線ごとに違ってよい。例えば剛体回転する非粘性流 $V=\Omega r$ では、半径方向の運動方程式から $P=P_c+\rho\Omega^2r^2/2$。従って $P+\rho V^2/2=P_c+\rho\Omega^2r^2$ となり、半径の異なる円形流線で同じ値にはならない。全領域で共通の定数を無条件に使う誤りの反例である。

以上は流体の力学からの導出なので、非圧縮のベルヌーイ式に対して断熱を独立の条件として課す必要はない。圧縮性流のよどみ温度・よどみ圧を求める次問では、熱とエントロピーの条件が別に必要となる。今回は気流を管に対して定常と見なし、管へ向かう流線の遠方とよどみ点を結ぶという条件で、この沿流線の関係を使う。

設問3　差圧から対気速度へ換算する

速度への変換は、差圧の平方根を取る操作である。測定されるのは圧力差だけなので、密度 $\rho_\infty$ を別に知る必要がある。密度は飛行高度の温度・静圧などから決められ、低速だから常に海面の密度を使ってよいわけではない。一般に気体の状態式を用いるなら $\rho_\infty=P_\infty/(RT_\infty)$ となる。

速度の正負は差圧の平方からは分からず、管の向きと流れの方向を別に指定している。ここでは気流を受ける向きが決まっており、問われる速度の大きさとして正の根を使う。$\Delta P<0$ をそのまま実数の速度へ変換することはできず、圧力孔の接続、流れに対する向き、測定モデルを確かめる必要がある。

密度が同じで差圧が4倍なら速度は2倍、差圧が同じで密度が半分なら速度は $\sqrt2$ 倍となる。例えば $\Delta P=1800\,\mathrm{Pa}$、$\rho=1\,\mathrm{kg/m^3}$ なら $V=60\,\mathrm{m/s}$。同じ差圧で $\rho=2\,\mathrm{kg/m^3}$ なら $V=30\sqrt2\simeq42.43\,\mathrm{m/s}$ である。圧力差だけを速度と見なすことは、この密度依存を落とす。

平方根を取り忘れた誤式 $V_{\rm wrong}=2\Delta P/\rho$ は、最初の例で $3600$ を返し、単位も $\mathrm{m^2/s^2}$ のままである。係数2を落とすと $V_{\rm wrong}=\sqrt{\Delta P/\rho}=30\sqrt2\,\mathrm{m/s}$ となり、正しい60より $1/\sqrt2$ 倍小さい。求めた速度を動圧 $\rho V^2/2$ へ戻せば、どちらの誤りも元の $1800\,\mathrm{Pa}$ に一致しないことで見つけられる。

設問4　圧力と速度の単位をそろえる

圧力の式を使う段階では $\mathrm{Pa}=\mathrm{kg/(m\,s^2)}$ と密度の $\mathrm{kg/m^3}$ を組み合わせる。このため計算結果はまず $\mathrm{m/s}$ で得られる。圧力を $\mathrm{kPa}$ の数値のまま代入すると、圧力差を1000分の1にした別の計算になる。単位換算は平方根の前と後で別々に行う。

求めた $70\,\mathrm{m/s}$ を戻すと、動圧は $0.9\times70^2/2=2205\,\mathrm{Pa}=2.205\,\mathrm{kPa}$。一方、$252\,\mathrm{km/h}$ を $3.6$ で割っても $70\,\mathrm{m/s}$ となるので、流体の式と時間・距離の換算の二箇所を独立に確認できる。問題で密度が与えられている以上、温度や標準大気の仮定を追加する必要はない。

$2.205$ をそのままパスカルとして使う誤りでは、$V_{\rm wrong}=\sqrt{4.9}\simeq2.2136\,\mathrm{m/s}$、すなわち約 $7.969\,\mathrm{km/h}$ となる。速度の誤りは1000倍でなく $\sqrt{1000}$ 倍となる点も、圧力と速度の二乗関係から分かる。$70$ に $3.6$ を掛ける代わりに割る誤りなら $19.44\,\mathrm{km/h}$ としてしまう。

この値は非圧縮のベルヌーイ式を用いるという指定のもとでの対気速度である。圧縮性の補正を独自に加えるには温度や静圧などの情報が別に要る。低速の問題で求めた数値と、次の高亜音速に対する式の適用範囲を区別しておくと、測定モデルを途中で入れ替えずに計算できる。