東大 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説44項目）

排除厚さ $\delta^*=\int_0^\delta(1-u/U)\,dy$ は、壁面で速度が落ちるために失われた流量を、一様流の厚さへ換算した量である。一方、運動量厚さは $$\theta=\int_0^\delta\frac uU\left(1-\frac uU\right)dy$$ であり、質量流量の重み $u/U$ がもう一つ入る。どちらも長さの次元を持つが、一般に同じ値ではない。その比 $H=\delta^*/\theta$ が速度分布の形を表す。

運動量積分式の $2+H$ は、積の微分から来る。具体的には $(U^2\theta)'=U^2\theta'+2UU'\theta$、さらに排除厚さの項 $\delta^*UU'=H\theta UU'$ を足している。$U>0$、$\theta>0$、物性一定の範囲で $U^2$ による除算と $R^p$ の実数べきが定義できる。

変数変換の理由も確認しよう。摩擦の経験式は $\theta$ を含む $R^{-p}$ に比例するので、元の式はそのままでは $\theta$ に対して線形でない。$z=U^p\theta^{p+1}/\nu^p$ を使うと、$\theta'$ の係数が $(p+1)R^p$ となり、右辺の $R^{-p}$ が打ち消される。$A$ は $H$ の関数でもよい。この設問では $z$ の定義に $A$ は含まれないから、$A'$ を新たに加える必要はない。

次元を戻すと $z$ は長さ、$z'$ と $B$ は無次元、$(U'/U)z$ も無次元である。外縁速度が一定なら $U'=0$ から $z'=B$。正の壁面摩擦 $A>0$ が厚さの増加を与えるので、符号も妥当である。

$R$ に含まれる $\theta$ の微分を落とし、$z'\overset{\mathrm{wrong}}=R^p(\theta'+p\theta U'/U)$ とする誤りでは、一定 $U$ でも $z'=A$ となる。例えば $p=1/4$、$A=0.01$ なら正しくは $z'=0.0125$ であり、誤式は発達率を20\%過小にする。経験式の係数を変えたのではなく、積の微分の項を失った差である。