東京科学大（旧東工大） 理学院 物理学系 物理学コース 物理 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

設問1　ソレノイド内の磁束密度

単位長さ当たり$n$回巻きなので、長さ$\ell$に$n\ell$回あります。アンペールの法則を内部と外部にまたがる長方形の経路に適用します。

設問2　自己インダクタンス

$1$巻きを貫く磁束は$BS$です。全巻数$n\ell$を掛けた鎖交磁束$\lambda$を電流$I$で割ります。

設問3　蓄えられるエネルギー

電流を$0$から$I$まで増やす間に電源がする仕事を積分します。ここでは$L$が電流によらないため$d\lambda =L dI$です。

設問4　内側コイルに生じる起電力

内側コイルが拾う磁束の断面積は$S'$です。巻数は同じなので、相互インダクタンス$M$は次の値です。

$$M=\mu_0n^2S'\ell=\frac{S'}S L$$

図では同じ巻き方向で、正の電流は$b\to a$です。一方、求める電圧は$c$の電位から$d$の電位を引いたものです。同じ向きの端子電圧$V_d-V_c$が$M dI/dt$となるため、指定された$V'$は逆符号になります。

設問5　並列接続したときの自己インダクタンス

外側・内側の自己インダクタンスを$L$、$L'$とすると、$L'=(S'/S)L=M$です。今度は両枝の電流を左端$a$・$c$から右端$b$・$d$へそろえて取ります。共通の端子電圧を$V$とすると、

$$\begin{aligned}V&=L\dot I_1+M\dot I_2,\\V&=M\dot I_1+L'\dot I_2.\end{aligned}$$

差を取ると$(L-M)\dot I_{1}=0$です。$S'<S$なので$\dot I_{1}=0$となり、変化する電流は内側の枝に流れます。全電流の変化は$\dot I_{2}$なので、合成インダクタンスは$L'$です。

設問6　非線形磁性体の磁気エネルギー

$H=nI$、$B=\kappa \mu _{0}H+\alpha H^{3}$です。電流が作る鎖交磁束$\lambda =n\ell SB$を使い、電源の仕事$I d\lambda$を積分します。

$$\begin{aligned}\widetilde E&=\int_0^I i\,\frac{d\lambda}{di}\,di\\&=n\ell S\int_0^I i\left(\kappa\mu_0n+3\alpha n^3i^2\right)di\\&=\frac{\kappa\mu_0n^2S\ell I^2}{2}+\frac34\alpha S\ell n^4I^4.\end{aligned}$$

設問7　外部磁場$B$が満たす方程式

真空中の静的な磁場であり、$B$にはソレノイド$Z$自身の電流が作る磁場を含めません。したがって、この領域の$B$には電流源がなく、次の$2$式が成り立ちます。

設問8　$1$本の回路が受ける力の線積分

電流の向きに取った線素$d r$が受ける力は$I d r\times B$です。回路全体で足します。

設問9　面積分$K(z)$を使った力の表式

基本ベクトル$e_{i}$を使って成分を取り、スカラー三重積で$d r$を先頭へ移します。その後、設問のグリーンの定理を使います。

$$\begin{aligned}f_i(z)&=I\oint_{C_z}d\boldsymbol r\cdot(\boldsymbol B\times\boldsymbol e_i)\\&=I\int_{S_z}\boldsymbol e_z\cdot\left[\boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol B\times\boldsymbol e_i)\right]dx\,dy.\end{aligned}$$

$e_{i}$が一定で$\operatorname{div} B=0$なので、角括弧内は$(\partial /\partial x_{i})B$です。また$\operatorname{curl} B=0$から$\partial B_z/\partial x_{i}=\partial B_{i}/\partial z$となります。

$$\begin{aligned}f_i(z)&=I\int_{S_z}\frac{\partial B_z}{\partial x_i}\,dx\,dy\\&=I\int_{S_z}\frac{\partial B_i}{\partial z}\,dx\,dy=I\frac{dK_i(z)}{dz}.\end{aligned}$$

各断面は同じ形のまま$z$方向へ移動するため、$xy$平面の積分範囲を固定して微分できます。

設問10　$N$本の回路全体が受ける力

$N$が十分大きいので、単位長さ当たりの回路数を$N/(z_{2}-z_{1})$として和を積分に置き換えます。

一様な外部磁場なら$K(z_{2})=K(z_{1})$で合力は$0$です。この式は設問の密な巻線の連続近似で、有限本数の端点の差は無視しています。