室蘭工業大学 工学研究科 専門科目 2026年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説18項目）

剛体振り子の回転慣性は、支点まわりで評価する。重心まわりの慣性モーメントを $I_G$、支点から重心までを $h$ とすると、平行軸の定理は $I=I_G+Mh^2$ である。周期から測定量へ進む前に、小振幅近似と、長さがどの二点間を指すかを確認する。

保存力の仕事は、同じ始点と終点を結ぶ全ての許される経路で同じになる。閉経路で表すなら $\oint\bm F\cdot d\bm r=0$ が条件である。二つの経路だけで値が一致しても、この全称条件の証明にはならない。摩擦では、逆向きに戻る際に力自体の向きも変わる。

定圧と定積の熱容量を比べる際には、温度を変えたときの体積変化も含める。単純圧縮系の平衡状態では $C_P-C_V=T(\partial p/\partial T)_V(\partial V/\partial T)_p$ と整理できる。全熱容量とモル熱容量を混ぜず、同じ物質量の基準で偏微分を取る。

可逆な断熱過程では熱の出入りがなく、エントロピーも一定である。熱容量比が一定の理想気体なら $pV^\gamma$ が一定となる。不可逆な断熱過程までエントロピー一定とすることはできない。サイクルの仕事の符号は、$p$–$V$ 図をどちら向きに回るかと対応させる。

複数の点電荷の平衡では、一つの電荷に働く各力をベクトルで足し、その合力を0にする。電荷の符号は、力の大きさだけでなく向きへ反映される。球対称な連続電荷ならGauss面の内側の電荷を積分して求め、球全体の電荷を内部の全半径へ代入しない。

Biot–Savartの法則では、微小な電流要素の方向と観測点への方向の外積を積分する。対称性で一部の成分が消える場合には、残る成分を先に見分ける。回路の発熱を扱う部分では、並列に共有される電圧と、直列に共有される電流を区別してから $P=I^2R$ を用いる。

(1) 無摂動の固有エネルギー

無限に高い壁の外では粒子の存在確率がゼロであり、壁での条件は $\phi(0)=\phi(L)=0$ となる。この条件が許す正弦波の波数は $n\pi/L$ で、与えられた波動関数は $n=1$ の基底状態である。運動エネルギー演算子は $p=-i\hbar\,d/dx$ を二乗して $-\hbar^2d^2/(2m\,dx^2)$ と表せる。

井戸が広がると曲率の大きさが小さくなり、エネルギーは $L^{-2}$ で下がる。幅を2倍にすると基底エネルギーは1/4である。$\hbar=h/(2\pi)$ を使うと $h^2/(8mL^2)$ へ直せ、$h$ と $\hbar$ を取り違えて余分な $4\pi^2$ を入れていないことも確認できる。

(2) 規格化定数

Bornの確率解釈では、$|\phi(x)|^2dx$ が小区間内で粒子を見いだす確率である。波動関数そのものの積分ではなく、絶対値の二乗を積分する。1次元の $\phi$ の単位は $\mathrm{length}^{-1/2}$ であり、求めた係数にも $L^{-1/2}$ が現れる。

$\sin^2$ の1半波を積分すると、平均値1/2と区間の長さ $L$ の積になる。$A=1/\sqrt L$ とすると規格化積分は1/2のままである。井戸の外は確率0なので、規格化の範囲を $[-L,L]$ へ広げない。

(3) 左右で一定の摂動の平均

非縮退摂動論の一次では、波動関数の変化を二次以降へ回し、無摂動状態で $V_1$ の期待値を取る。摂動の行列要素が無摂動の準位間隔に比べて小さい範囲で用いる。本問の井戸では、基底と次の準位の間隔は $E_2-E_1=3E_1$ である。

図は、規格化した確率密度から描いた独自の図である。左右の区間の長さが等しいだけでなく、確率密度も中心に関して対称なので、両側の重みが等しくなる。一般の非対称な状態なら、同じ幅の二領域でも単純平均にはならない。

$W_L=W_R=W$ なら、摂動は井戸全体に一定値 $W$ を加えるだけなので、厳密にも全ての準位が $W$ だけ上がる。答えはこの極限を再現する。$W_L+W_R$ と重みなしで足すと、同じ一定ポテンシャルでも2倍のシフトになってしまう。中点一か所の値の取り方は、積分の値には影響しない。

(4) 中心で符号が変わる摂動

$x\to L-x$ の反転では、$\sin^2(\pi x/L)$ は変わらず、$\cos(\pi x/L)$ は符号を変える。従って、左半分と右半分の積分が打ち消し合う。積分の原始関数を計算する方法と、確率密度と摂動の対称性を比べる方法で同じ結論を得られる。

ゼロになるのは一次の期待値であり、摂動自体がどこでもゼロだという意味ではない。高次の変化も一般には残る。この余弦型の摂動は、正規化された $n=1$ と $n=2$ の間に $\langle2|V_1|1\rangle=W/2$ を持つため、二次では $$\delta E^{(2)}=\frac{|W/2|^2}{E_1-E_2} =-\frac{W^2}{12E_1}$$ という負の補正を生む。一次ゼロを、全ての次数で元のエネルギーのままという答えに広げない。原題の一次摂動の範囲では、上の0が求める答えである。

熱浴のエントロピーを $S_B=k_B\ln W_B$ と書くと、温度はそのエネルギー微分から定まる。小系の一状態を指定したときは、対応する浴の状態数を数えるので、小系の縮退度を二重に掛けない。一定温度の近似には、浴が小系より十分大きいという条件が要る。

Einstein模型は、格子振動を同じ角振動数を持つ独立な調和振動子として扱う。温度依存を整理する無次元量は $x=\hbar\omega/(k_BT)$ で、定積比熱は平均エネルギーの温度微分から求める。零点エネルギーは温度に依存しないため、内部エネルギーへ残っても比熱には寄与しない。

原子間の安定な平衡距離では、相互作用ポテンシャルの一次微分が0、二次微分が正になる。平衡点近くの二次項が有効なばね定数を決める。長波長の格子波では分散曲線を原点近くで線形化するが、領域端の短い波長まで同じ音速を延長しない。

正四面体の回転軸は、回転して頂点の集合が元へ戻るかで判定する。一つの頂点を固定して残りを入れ替える回転と、向かい合う辺を入れ替える回転は別に数える。電子密度を比べる部分では、原子数と自由電子数を分け、一原子当たりの伝導電子数もそろえる。

状態密度は利用できる電子状態の数を、Fermi–Dirac関数は各状態の占有割合を表す。両者を掛けて積分して初めて電子数が得られる。温度を上げたときの化学ポテンシャルは粒子数を保つ条件で定まり、分布関数の式だけから全物質で同じ移動方向を決めない。

SI単位を確かめるときは、名称の暗記だけでなく定義式の各因子を基本単位へ戻す。例えば電力はエネルギーを時間で割った量である。粒子当たりと物質量当たりの定数は、molの因子の有無で区別できる。無次元の数を掛けても単位は変わらない。

薄レンズで実物体と実像の距離をともに正とする流儀では、$1/f=1/a+1/b$ を使う。計算途中の桁を保ち、指定の有効数字へ丸めるのは最後に行う。符号の流儀を変えた式と途中で混ぜず、得た焦点距離が両方の距離より小さいことも確かめる。

四端子測定では、試料上の二接点間の電位差と、有限入力抵抗を持つ計器自身の両端電圧を区別する。検出線の合計抵抗を $r_\ell$ とすれば、測定ループは $V_s=I_Vr_\ell+V_m$ と書ける。同じ電圧を重ねて足さず、電流印加側と電圧検出側を分けて考える。

球の大きさを含める剛体振り子では、重心までの距離と、糸や棒だけの長さが異なる。重心軸の回転慣性を平行軸の定理へ入れてから周期式へつなぐ。周期は複数回の往復に要した時間を回数で割ると、一回当たりの開始・終了の読取り誤差を小さくできる。

等方な線形弾性体の平面応力では、$x$ 方向のひずみに $y$ 方向の引張りによる横収縮も入る。構成式は $\varepsilon_x=(\sigma_x-\nu\sigma_y)/E$ と書ける。応力とYoung率の単位をそろえると、ひずみが無次元であることを検算できる。面外の拘束条件が異なる場合は別の式になる。

混合自由エネルギーは、相互作用によるエンタルピーの変化と、配置が増えるエントロピーの寄与の競合で決まる。$\Delta G_m=\Delta H_m-T\Delta S_m$ で符号をそろえる。曲線の局所的な曲率による不安定性と、共通接線で決まる二相平衡の組成は区別する。