室蘭工業大学 工学研究科 専門科目 2026年度 第1次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説18項目）

二つの粒子の相互作用を考えるときは、力の和とトルクの和を分ける。角運動量は $\bm L=\bm r\times m\bm v$ で、$d\bm L/dt=\bm r\times\bm F$ を満たす。作用反作用の二力が反対であるだけでなく、同じ作用線上にあることが、全角運動量の保存を確かめる条件になる。

ア・イ　自然長で放す位置と速度

Hookeの法則では、ばねの弾性力は自然長からの伸びに比例し、伸びを減らす向きに働く。鉛直ばねでは、静止時にも重力を支えるために $mg/k$ だけ伸びる。座標の原点をそのつり合い点へ移すと、自然長の位置の座標は負になる。ばねが伸びていないことと、平衡点からの変位がゼロであることを区別する必要がある。

例えば $m=0.10$ kg、$k=10$ $\mathrm{N\,m^{-1}}$、$g=9.8$ $\mathrm{m\,s^{-2}}$ なら、つり合いの伸びは0.098 mであり、初期座標は $-0.098$ mとなる。単位も $mg/k=\mathrm N/(\mathrm{N\,m^{-1}})=\mathrm m$ である。$x_0=+mg/k$ とすると、つり合い点より下に引き伸ばした別の初期状態を表してしまう。

「静かに放す」は、放す瞬間に速度を与えないという条件であって、加速度までゼロにする条件ではない。自然長では弾性力がゼロなので、放した直後の加速度は下向きの $g$ になる。この事実は、後で求める解の二階微分でも確かめられる。

ウ　つり合い点から測った運動方程式

重力が式から消えるのは、重力を無視したためではない。原点に選んだつり合い位置で、重力とばねの力が等しい分をあらかじめ差し引いたからである。自然長から測る座標 $y=x+mg/k$ を使えば、式は $m\ddot y=mg-ky-\Gamma\dot y$ となり、重力が明示的に残る。二つの座標で同じ運動を表している。

抵抗力の符号は、速度が正のとき負、速度が負のとき正となる必要がある。$\Gamma>0$ とすれば $-\Gamma\dot x$ がこの条件を満たす。運動エネルギーと平衡点基準の弾性エネルギーの和を $$E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2$$ とすると、$\dot E=\dot x(m\ddot x+kx)=-\Gamma\dot x^2\le0$ である。抵抗を $+\Gamma\dot x$ と書く誤りでは、$\dot E=+\Gamma\dot x^2$ となって振動が増幅する。

$\gamma$ の単位は $\mathrm{s^{-1}}$、$\omega_0$ も $\mathrm{s^{-1}}$ なので、規格化した運動方程式の各項の単位は $\mathrm{m\,s^{-2}}$ で一致する。原題の $\gamma$ は $\Gamma/m$ であり、減衰包絡線の指数に現れる値は後述の $\gamma/2$ である。

エ・オ　指数関数を代入して作る方程式

指数関数は、微分しても同じ関数に定数が掛かるだけである。この性質によって、定数係数の線形微分方程式を、指数 $p$ に関する代数方程式へ変換できる。二階の方程式なので、異なる二つの根があれば二つの指数解の線形結合が一般解となる。重根の場合には、独立な第2の解 $te^{pt}$ が必要になる。

根の和と積は $$p_1+p_2=-\gamma,\qquad p_1p_2=\omega_0^2$$ である。$\gamma>0$、$\omega_0^2>0$ なので、実根なら二つとも負、複素根なら実部が負になる。外からエネルギーを供給しない抵抗系で、解が減衰することと対応している。

$\dot x$ を代入したときに $p$ を落として $p^2+\gamma+\omega_0^2=0$ とすると、$\gamma$ の単位だけが $\mathrm{s^{-1}}$ となり、他の $\mathrm{s^{-2}}$ の項と加算できない。また、$\gamma=0$ では根が $p=\pm i\omega_0$ となり、周期 $2\pi/\omega_0$ の単振動へ戻る。これが符号と次元の両方による確認になる。

カ　実数の変位を作る共役係数

微分方程式の係数は実数なので、複素数の解があればその複素共役も解になる。複素根を使うのは計算上の表現であり、測定する変位 $x(t)$ は実数でなければならない。$C_2=C_1^*$ を入れると $$x=e^{\alpha t}\{C_1e^{i\omega t}+C_1^*e^{-i\omega t}\} =2e^{\alpha t}\operatorname{Re}(C_1e^{i\omega t})$$ となり、任意の実数時刻で実数であることが確認できる。

$C_1=a+ib$ とすれば、Eulerの公式から中括弧は $2a\cos\omega t-2b\sin\omega t$ になる。したがって $A=2a$、$B=-2b$ と置けば、二つの実定数を使う表示へ移せる。実数条件を課しても、二階方程式に必要な二つの実定数は残っている。

例えば $C_1=1+i$ なら、正しい相手は $C_2=1-i$ である。誤って $C_2=C_1=1+i$ とすると、$t=0$ の変位は $2+2i$ となって実数条件に反する。共役の根を選んだことだけで自動的に実数解になるのではなく、係数にも共役関係が要る。

キ・ク　振動を伴う減衰の根

根の実部が振幅の包絡線 $e^{-\gamma t/2}$ を、虚部の大きさが振動角振動数 $\omega$ を決める。したがって無抵抗の角振動数 $\omega_0$ と、抵抗がある実際の振動角振動数は異なり、$\omega<\omega_0$ になる。両者を同じと置く近似は、$\gamma\ll2\omega_0$ の弱い減衰に限って使える。

$\gamma=2\omega_0$ では重根となる臨界減衰、$\gamma>2\omega_0$ では異なる実根となる過減衰であり、いずれもこの正弦・余弦の振動解にはならない。原題が示した「振動しながら振幅が指数関数的に減る」という観測が、判別式の負の範囲を選ぶ根拠である。

例えば $\omega_0=1\ \mathrm{s^{-1}}$、$\gamma=1\ \mathrm{s^{-1}}$ なら、根は $-1/2\pm i\sqrt3/2$ $\mathrm{s^{-1}}$ となる。実部を $-\gamma$ とする誤りでは根の和が $-2\gamma$ となり、特性方程式の根の和 $-\gamma$ と一致しない。二分の一の係数は、減衰係数の記号の慣習で推測せず、平方完成から求める。

ケ・コ　初期条件から二つの実定数を求める

初速度を計算する際には、正弦・余弦だけでなく、指数関数の微分も必要になる。初速度がゼロでも $B$ がゼロになるとは限らない。包絡線の微分から生じる $-\gamma A/2$ を、正弦項の微分 $\omega B$ が打ち消すことで、静かに放す条件が成立する。

例として $m=k=g=\gamma=1$ を同じ単位系で取れば、$A=-1$、$\omega=\sqrt3/2$、$B=-1/\sqrt3$ である。$B=0$ とする誤りでは $\dot x(0)=+1/2$ となり、放す瞬間に下向きの速度を与えた別の解になる。$x_0=0$ も併せて代入してしまうと $A=B=0$ となり、初めからつり合い点に静止した運動しか表せない。

運動方程式から初期加速度を求めると、$\ddot x(0)=-\omega_0^2x_0=g$ で、自然長では重力だけが働くことと一致する。$\gamma\to0$ では $\omega\to\omega_0$、$B\to0$ となり、$x=-(mg/k)\cos\omega_0t$ に戻る。また、$\gamma>0$ の振動範囲では長時間後に $x\to0$ となり、つり合い位置へ近づく。原点、抵抗の符号、初期速度の三つをそれぞれ確かめられる。

相境界は二相の化学ポテンシャルが等しい場所である。単成分の非反応系では、Gibbsの相律 $f=C-P+2$ が独立に動かせる示強変数の数を与える。圧力まで外部から固定した場合は自由度が一つ減るので、圧力・温度をともに動かす相図の数え方と区別する。

理想気体の内部エネルギーは温度の関数であり、体積変化だけではその変化を決められない。可逆な体積仕事を「気体へ加える向き」を正に取るなら、$\delta w=-p\,dV$ となる。等温という温度の条件と、断熱という熱の出入りの条件を混同しない。

対称な電荷配置の合力は、各Coulomb力をベクトルで足して求める。対称軸に垂直な成分が消える場合でも、力の大きさそのものを足してよいとは限らない。Gaussの法則 $\oint\bm E\cdot d\bm S=Q_{\rm in}/\varepsilon_0$ では、包む電荷と対称性の両方を確認する。

二回路がある場合、回路2を貫く磁束は線形な範囲で $\Phi_2=M_{21}I_1+L_{22}I_2$ と分けられる。他方の回路の電流に掛かる係数と、同じ回路自身の電流に掛かる係数は別の量である。磁束を電流で割る前に、どの電流がその磁場を作ったかを確かめる。

球対称の波動関数でも、半径方向の確率は $|\psi(r)|^2dr$ だけでは数えられない。半径 $r$ の球殻の体積要素を含め、$4\pi r^2|\psi(r)|^2dr$ を使う。全空間での規格化と、原点での波動関数の値、球殻上の確率が最大になる位置は区別する。

状態数 $\Omega(E)$ とエントロピーは $S=k_B\ln\Omega$ で結ばれ、温度は $1/T=(\partial S/\partial E)_{V,N}$ で定義される。組合せの階乗へStirling近似を使うときは、占有数と非占有数の両方が十分大きい範囲を扱う。端点の状態数は近似式とは別に確かめる。

小さい系と大きな熱浴を合わせて孤立させると、小系へ渡した分だけ浴のエネルギーが減る。浴のエントロピーを一次まで展開できることが、一定温度の正準分布を使う条件になる。相互作用のエネルギーが無視できない強い結合や、温度が大きく変わる小さな浴では補正が必要である。

自由電子のFermi波数を求めるには、波数空間の一状態当たりの体積とスピンの数を数える。三次元では、零温度で占有する球の状態数が電子数密度 $n=N/V$ と対応する。全電子数をそのまま密度に置き換えると、試料を広げたときのエネルギー変化を表せなくなる。

Bragg反射では、隣り合う格子面から散乱する波の光路差を用い、$2d\sin\theta=n\lambda$ と書く。装置が表示する散乱角が $2\theta$ の場合、式へ入れる角度はその半分である。格子定数へ進む前に、反射面の指数と反射次数をそろえておく。

周期的な鎖の波数は、逆格子ベクトルだけ異なるものを同じ格子点上の位相として扱う。分散関係の傾き $v_g=d\omega/dk$ は波束の包絡が進む速度で、$\omega/k$ と一般には異なる。第一Brillouin領域の外に書いた波数を、直ちに存在しない振動と判断しない。

副尺付きの計器では、まず副尺0の手前にある本尺を読み、その後に一致する線の刻み数を数える。読取りは $l=M+n\delta$ と整理できる。$M$ は本尺の値、$\delta$ は最小読取りであり、印刷された数字が何刻み分かも確認する。具体的な値には原図の目盛が必要である。

単位は定義式から逆算できる。例えば $F=ma$ なら、力は質量に加速度を掛けた次元を持つ。エネルギーを温度や物質量で割った量では、その分だけKやmolの因子が残る。数値が似た定数でも、1粒子当たりか1 mol当たりかを区別して語群を選ぶ。

粉末X線回折で立方晶の格子定数を出すには、Braggの式で面間隔を求め、$d_{hkl}=a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ へつなぐ。ここで $a$ は立方晶の辺の長さである。測った角度をそのまま代入する前に、散乱角とBragg角の違いを確認する。

熱活性化を伴う抵抗率では、温度そのものを横軸にした曲線と、逆温度を横軸にした直線を区別する。$\ln\rho=\ln\rho_0+B/T$ の模型なら直線の傾きは $B$ となる。片対数図の同じ高さの差は、抵抗率の同じ差でなく同じ比を表す。

二次元のモール円では、直交する二面の応力点が直径の両端になる。中心は平均垂直応力であり、二点のせん断成分は符号が反対になる。面の法線を回す角度に対し、円上では二倍の角度が現れるので、主面そのものとその法線の向きを取り違えない。

二相が共存する組成は、全体組成と同じとは限らない。水平なタイラインの両端で各相の組成を読み、全体組成を二相の加重平均で表す。横軸が原子百分率か質量百分率かにより、得られる割合の基準も異なる。反応名は、冷却時に液相と固相がどう増減するかから判断する。