室蘭工業大学 工学研究科 専門科目 2025年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説20項目）

運動エネルギーの変化は、各力のする仕事の和 $\Delta K=\int\sum\bm F\cdot d\bm r$ に等しい。滑っている間の動摩擦力は速度と逆向きなので、その仕事は負になる。斜面上の移動距離と鉛直方向の落下量は異なるため、重力の仕事に使う長さを確認する。

短時間の力は、力積 $\bm J=\int\bm Fdt$ にまとめて重心の運動量変化と結べる。同じ力でも作用点が重心からずれると、重心まわりの角力積も必要になる。瞬間的な力積の近似では打撃中の移動を捨てるため、有限時間のパルスを扱う式とは時刻の基準を分ける。

実在気体の低圧の振る舞いを $PV_m=RT+B(T)P+C(T)P^2+\cdots$ と整理すると、一次の係数は圧力を0へ近づけた際の傾きに対応する。途中の $V_m$ を理想気体の値へ置く近似で一次まで求められても、二次係数まで同じ精度で求めたことにはならない。

熱機関では、一巡して作業物質が元の状態へ戻るという条件がある。単一熱源から受けた熱を全て仕事へ変え、それ以外の変化を残さない周期機関は作れない。物体が一度だけ膨張する過程と周期機関を混同せず、第二法則を用いる際には周囲も含めたエントロピー収支を考える。

電場と電位は $\bm E=-\nabla\phi$ で結ばれる。点電荷からの距離を変えたときの電位差は電場の線積分で求められ、基準電位をどこに取るかも必要である。力の合成では方向への射影、容量の合成では端子の接続関係を使い、異なる問題の規則を混ぜない。

電流を流す導線の微小部分に働く磁気力は $d\bm F=I\,d\bm\ell\times\bm B$ である。二本の導線の相互作用では、一方が作った磁場を他方へ作用させる。全力を求めるのか、単位長さ当たりの力を求めるのかで、長さの因子と単位が変わる。

調和ポテンシャルへ位置に比例する項を加えると、平方完成で中心の移動と定数の変化に分けられる。二次の係数が変わらないため、固有状態の幅や準位間隔は元の振動子と対応する。中心の移動を波動関数へ入れる際には、全実数軸上の規格化も確かめる。

熱浴の状態数をエントロピーへ直すと $S_B=k_B\ln W_B$ となり、温度は $1/T=(\partial S_B/\partial E_B)_{V,N}$ で定まる。全体のエネルギーが固定なら、小系が受け取る分だけ浴の側が減る。この保存則の符号を先に決めてから、浴のエントロピーを展開する。

調和振動子の分配関数では、一定間隔の準位の和を幾何級数として計算する。$\sum_{n=0}^{\infty}q^n=1/(1-q)$ を使う条件は $|q|<1$ である。原題で零点エネルギーを含めた準位を指定している場合、分配関数の前に出るその重みを落とさない。

磁場中の電子の向きは、まず $\bm v\times\bm B$ を右手系で求め、その後に負電荷の符号を掛けて力へ直す。定常状態のHall電場は横方向の磁気力を打ち消す電気力を作る。電場そのものと電子への電気力は逆向きなので、負号を二度掛けない。

同じ格子点の集合でも、より小さな原始胞で表せる場合がある。胞の体積は $|\bm a_1\cdot(\bm a_2\times\bm a_3)|$ で、独立な格子点の数と対応させる。心の点がどの面にあるかを読み、底面だけの配置へ全側面の点まで加えて解釈しない。

状態密度 $D(E)$ は、幅 $dE$ にある状態数を $D(E)dE$ と表す量である。エネルギー以下の累積状態数 $N(E)$ を数えた後、$D(E)=dN(E)/dE$ と微分して求める。累積数と密度の指数を同じにせず、体積当たりか全体系か、スピンを含むかを明示する。

副尺の最小読取りは、本尺と副尺の間隔の差で決まる。0から数えた一致線の刻み数を使い、$l=M+n\delta$ と本尺へ加算する。印刷数字の間に線がもう一本ある場合には、その数字を直接 $\delta$ に掛けない。図ごとの具体的な数値は原図を見て読み取る。

マイクロメータでは、半mmの線がシンブルの端より左へ出ているかを先に確かめる。その後、基準線に合うシンブルの0.01 mm刻みを加える。0.001 mmまでの推読を求められても、目盛自体が0.001 mm刻みで刻まれているという意味ではない。

温度を抵抗から求める測定には、抵抗と温度の校正関係が必要になる。温度が下がると抵抗が増す型では $dR/dT<0$ である。測定電流を大きくすると自己発熱 $I^2R$ で素子の温度を変えるため、校正だけでなく測定中の発熱にも注意する。

単位を選ぶ際は、関係式のどの量を割るかまで確認する。例えば、エネルギーを温度で割る量と、エネルギーを温度・物質量の両方で割る量ではmolの因子が異なる。物理量の名前の印象だけで決めず、基本単位へ戻して一つずつ検算する。

実物体から実像を作る薄凸レンズでは、正の距離を使う流儀なら $f=ab/(a+b)$ となる。距離は全て同じ単位で代入し、有効数字の処理は最後に行う。求めた $f$ が $a,b$ の両方より小さいことは、$1/f=1/a+1/b$ の符号の検算になる。

(1) 回路を駆動する電圧と抵抗の電圧降下

電池は最初に $Q(0)=CV$ を蓄える役割を持つが、放電中の右側の回路には入っていない。したがって放電中も一定の電池電圧 $V$ が抵抗を駆動するとしてはいけない。電荷が減るにつれてコンデンサの電圧も下がる。

厳密にはコンデンサが電池のように非静電的な起電力を作るわけではないが、本問の起電力の欄には、蓄えられたエネルギーから回路を駆動する電圧を記す。KVLの符号を放電の向きに取ると $Q/C-RI=0$ となる。

(2) 放電電流の微分方程式

求めるのは $Q$ だけの式ではなく、電流 $I(t)$ についての式なので、KVLを一度微分する。$I=dQ/dt$ と置くと電荷が放電中に増す向きになり、指数が正になってしまう。電流の向きを最初に定めたことで、減衰する符号が決まる。

変数分離で $dI/I=-dt/(RC)$ を積分し、初期値を代入すれば $I(t)=(V/R)e^{-t/(RC)}$ となる。$RC$ の単位は秒で、指数は無次元である。また $\int_0^\infty I(t)dt=CV$ となり、初めに蓄えた全電荷が抵抗を通ることを確認できる。

(3) 定常状態へ至る途中の現象

スイッチを切り替えた直後から、時間に依存しない定常状態へ移るまでの変化を過渡現象という。$t=RC$ で初期値の $1/e$ となり、理想的な式では有限時刻に突然0へ落ちるわけではない。

初めの電場エネルギーは $CV^2/2$ であり、放電中の抵抗での損失は $\int_0^\infty RI(t)^2dt=CV^2/2$ となる。電池が切り離された回路でエネルギーが新たに加わらず、蓄積エネルギーが全て熱へ変わることも、電流解の符号と係数の検算になる。

主応力は応力テンソルの固有値であり、その方向ではせん断成分が0になる。モール円の縦軸の符号は、原題が指定するせん断の正方向へ合わせる。$\tan2\theta$ だけでは直交する二つの候補が残るため、垂直応力を代入して大きい主応力の方向を選ぶ。

部分モルGibbs自由エネルギーは $\mu_i=(\partial G/\partial n_i)_{T,P,n_{j\ne i}}$ で定義される。混合物へ成分を少し加えたときの増分なので、純物質のモル値と一般には異なる。温度・圧力・他成分の量を固定するという微分の条件を保って、混合前後の量を比べる。