阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 電子光科学II 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説8項目）

理想オペアンプの条件とその根拠

理想オペアンプは、出力が $V_{\mathrm{out}}=A(V_+-V_-)$ で開ループ利得 $A\to\infty$、入力インピーダンスが無限大で入力端子に電流が流れないものとして扱う。出力は電源電圧の範囲に収まる有限の値なので、$A\to\infty$ では $V_+-V_-=V_{\mathrm{out}}/A\to0$ となり、2つの入力端子は同電位になる（仮想短絡）。この結論は、出力が反転入力端子に抵抗を通して戻る負帰還がかかっていて、出力が飽和していないときにだけ使える。OP3 には $R_4$ による負帰還があるので使える。OP1 は $R_1$、OP2 は $R_2$ で同様の負帰還がかかっている。

重ね合わせによる確認

OP3 は差動増幅回路である。$V_B=0$ とすると $V_+=0$ で反転増幅回路になり、$V_{\mathrm{out}}=-(R_4/R_3)V_A$ となる。$V_A=0$ とすると非反転増幅回路で $V_{\mathrm{out}}=(1+R_4/R_3)\cdot R_4V_B/(R_3+R_4)=(R_4/R_3)V_B$ となる。2つの和が上の結果と一致する。$V_B$ 側の $R_4$ は接地された分圧抵抗で、これが反転側と同じ利得 $R_4/R_3$ を与え、同相の入力を打ち消す役目を持つ。図の $V_A$ 側と $V_B$ 側で $R_3$、$R_4$ が同じ値になっているのはそのためである。

$+$ 入力端子の分圧 $R_4/(R_3+R_4)$ を落とし、非反転側の利得を $1+R_4/R_3$ のまま書くと $V_{\mathrm{out}}=(1+R_4/R_3)V_B-(R_4/R_3)V_A$ となる。たとえば $R_3=10\,\mathrm{k}\Omega$、$R_4=100\,\mathrm{k}\Omega$ で $V_A=V_B=1\,\mathrm{V}$ のとき、正しい式では $0\,\mathrm{V}$ だが、この式では $1\,\mathrm{V}$ が残り、同相の信号を打ち消せない。

電流が1本の道を通ることを使う

問題の合図は、答えの変数に $R_2$ が入らず $V_2$ が入ることである。$V_A$ は OP1 の側だけを見ても決まらず、OP2 の反転入力端子の電位 $V_2$ との差が $R_0$ に電流を流す。そこで先に $R_0$ の電流 $I=(V_1-V_2)/R_0$ を求める。入力端子に電流が流れないので、同じ $I$ が OP1 側では $R_1$ を、OP2 側では $R_2$ を通る。次の図に示すように、$V_A$、$V_1$、$V_2$、$V_B$ は1本の直列回路 $R_1$、$R_0$、$R_2$ の各点の電位になる。

自作解説図：$R_1$、$R_0$、$R_2$ を通る共通の電流 $I$（$V_1>V_2$ のとき左から右へ流れる）

$R_1$ の電圧降下 $R_1I$ の分だけ $V_A$ は $V_1$ より高く、$R_2$ の電圧降下 $R_2I$ の分だけ $V_B$ は $V_2$ より低い。$V_1<V_2$ のときは $I<0$ で、$V_A$ は $V_1$ より低くなる。

$V_1=V_2$ なら $I=0$ なので $V_A=V_1$ となり、式に $V_1=V_2=V$ を入れると $V_A=(1+R_1/R_0)V-(R_1/R_0)V=V$ となって合う。$R_0\to\infty$（$R_0$ を外した場合）では $V_A=V_1$ となり、OP1 が電圧フォロワになる。数値例 $R_0=1\,\mathrm{k}\Omega$、$R_1=10\,\mathrm{k}\Omega$、$V_1=1.000\,\mathrm{V}$、$V_2=1.005\,\mathrm{V}$ では $I=-5\,\mu\mathrm{A}$、$V_A=1.000+10\,\mathrm{k}\Omega\times(-5\,\mu\mathrm{A})=0.950\,\mathrm{V}$ となる。

OP1 を独立の非反転増幅回路とみなして $V_A=(1+R_1/R_0)V_1$ と書く誤りがある。上の数値例では $V_A=11\,\mathrm{V}$ という値になり、実際の $0.95\,\mathrm{V}$ と大きく異なる。$R_0$ の他端は接地されておらず OP2 の反転入力端子の電位 $V_2$ につながっているので、$V_2$ の項が必要である。

2段の働き

入力段（OP1、OP2、$R_0$、$R_1$、$R_2$）は、差 $V_2-V_1$ を $1+(R_1+R_2)/R_0$ 倍にする。出力段（OP3）は、その差をさらに $R_4/R_3$ 倍して接地基準の出力にする。2つの利得の積が全体の利得で、増幅度の調整は $R_0$ だけで済む。このような回路を計装アンプという。

入力の2つの電圧を、同相成分 $V_c=(V_1+V_2)/2$ と差動成分 $V_d=V_2-V_1$ に分けて考える。$V_1=V_c-V_d/2$、$V_2=V_c+V_d/2$ を入れると $V_{\mathrm{out}}$ の式に $V_c$ が現れない。$V_c$ は $R_0$ に電流を流さないので、入力段は同相成分を利得1でそのまま通し、OP3 の差動で消える。センサーの微小な差動信号に大きな同相ノイズが重なる場面で使われる理由である。

符号と別の確かめ

$V_2>V_1$ のとき $I<0$ で、$V_A<V_1<V_2<V_B$ となり $V_B-V_A>0$ なので、出力は正になる。数値例 $R_0=1\,\mathrm{k}\Omega$、$R_1=R_2=R_3=10\,\mathrm{k}\Omega$、$R_4=100\,\mathrm{k}\Omega$、$V_1=1.000\,\mathrm{V}$、$V_2=1.005\,\mathrm{V}$ では、$V_A=0.950\,\mathrm{V}$、$V_B=1.005+0.050=1.055\,\mathrm{V}$、$V_{\mathrm{out}}=10\times(1.055-0.950)=1.05\,\mathrm{V}$ となる。公式から求めた利得 $10\times(1+20)=210$ に差動入力 $5\,\mathrm{mV}$ を掛けても $1.05\,\mathrm{V}$ で一致する。

$V_1$ と $V_2$ を取り違えると、符号が逆の $-1.05\,\mathrm{V}$ になる。端子の向きと $V_2-V_1$ の順を、(1)の $V_B-V_A$ から追って確かめる。また $R_1$ や $R_2$ に電流が流れないものとして $V_A=V_1$、$V_B=V_2$ とおくと、$V_{\mathrm{out}}=(R_4/R_3)(V_2-V_1)=0.05\,\mathrm{V}$ となり、正しい値の $1/21$ になる。入力段の利得 $1+(R_1+R_2)/R_0=21$ を落としたことが原因である。