阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 電子光科学II 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説8項目）

図2の場合　一定電圧 $E$ を加えたときの $i(t)$

解法は、1階線形の定数係数微分方程式 $y'+ay=f$ で $f$ が定数のとき、特解と同次解の和で一般解を作るというものである。成り立つのは $R$ と $L$ が時間によらず一定のときで、非線形の素子や時間変化する素子を含む回路には使えない。問題文の「$R$ および $L$ に流れる電流」は、素子が直列なので同じ電流 $i(t)$ を指す。

初期条件を $i(0)=0$ とする根拠は、インダクタの電圧 $v_L=L\,di/dt$ が有限であることにある。電流が瞬間的にとびとびに変わると $di/dt$ が無限大になり、有限な電源では支えられない。このため、電圧が急に印加された直後はインダクタが電流を通さない開放に近い状態にあり、$t=0^+$ では電源電圧 $E$ がすべて $L$ にかかる。確かめとして、解を微分すると $i'(0)=E/L$ となり、$L\,i'(0)+R\,i(0)=E$ に一致する。$t\to\infty$ では $di/dt\to0$ で $L$ の電圧が零になり、$i\to E/R$ である。

時定数 $\tau=L/R$ は、単位 $\mathrm{H/\Omega}=\mathrm s$ の時間で、$t=\tau$ で定常値の $1-e^{-1}=63.2\%$、$t=3\tau$ で $95.0\%$ に達する。たとえば $R=100\,\Omega$、$L=0.1\,\mathrm H$、$E=10\,\mathrm V$ なら $\tau=1\,\mathrm{ms}$、$E/R=100\,\mathrm{mA}$ で、$i(\tau)=63.21\,\mathrm{mA}$、$i(3\tau)=95.02\,\mathrm{mA}$ となる。$t=0^+$ の傾きは $E/L=100\,\mathrm{A/s}$ である。

時定数を $R/L$ と書く誤りがある。上の数値では $R/L=1000\,\mathrm{s^{-1}}$ で、単位が時間でなく、$e^{-t/\tau}$ の指数も次元が合わない。また、$L$ を定常状態の短絡の感覚で扱い、$t=0^+$ で $i=E/R$ とおく誤りもある。直後に電流が流れるなら、$L$ の電圧が $L\,di/dt=0$ になって、キルヒホッフの電圧則が破れる。

図3の場合　$E\to2E\to0$ と変わる電圧を加えたときの $i(t)$

電圧が不連続に変わっても電流が連続になるのは、図2の場合と同じく $L\,di/dt$ が有限だからである。$i$ の値は連続で、傾き $di/dt=(e-Ri)/L$ だけが $T$ と $3T$ で不連続になる。これを使うので、各区間の解の任意定数は、直前の区間の終端の値で決まる。

別の導き方として重ね合わせがある。方程式は線形なので、$e(t)$ を単位ステップ関数 $u(t)$ を使って $e(t)=E\,u(t)+E\,u(t-T)-2E\,u(t-3T)$ と分ける。$0<t<T$ で $E$、$T<t<3T$ で $E+E=2E$、$t>3T$ で $E+E-2E=0$ になる。ステップ応答 $g(t)=(1-e^{-at})/R$ を使うと、$i(t)=E\left[g(t)+g(t-T)\,u(t-T)-2g(t-3T)\,u(t-3T)\right]$ となる。$T<t<3T$ では $\dfrac ER\left[2-e^{-at}-e^{-a(t-T)}\right]$ で、整理すると(ii)の式に一致する。$t>3T$ では $\dfrac ER\left[2e^{-a(t-3T)}-e^{-a(t-T)}-e^{-at}\right]$ で、(iii)の式を展開したものに一致する。両方の導き方で同じ式になることを、記号計算でも確かめた。

$R=100\,\Omega$、$L=0.1\,\mathrm H$、$E=10\,\mathrm V$、$T=\tau=1\,\mathrm{ms}$ を例にとる。電流は $i(T)=63.21\,\mathrm{mA}$、$i(2T)=149.68\,\mathrm{mA}$、$i(3T)=181.49\,\mathrm{mA}$ と増え、$2E/R=200\,\mathrm{mA}$ には届かない。電圧が $0$ になる $3T$ で最大となり、その後は $i(4T)=66.77\,\mathrm{mA}$、$i(5T)=24.56\,\mathrm{mA}$ と減る。傾きは $T$ の直前が $(E-Ri)/L=36.8\,\mathrm{A/s}$、直後が $(2E-Ri)/L=136.8\,\mathrm{A/s}$ で、$3T$ の直後は $-Ri/L=-181.5\,\mathrm{A/s}$ となる。電流は連続のまま、傾きが折れ曲がる様子が下の図に現れる。

自作解説図：図3の電圧を加えたときの電流（$T=L/R$ の場合の概形）。$t=3T$ で最大になり、その後は減衰する

誤りの例を2つ挙げる。1つは、$T<t<3T$ の区間で初期電流を忘れ、$i=\dfrac{2E}R\left(1-e^{-a(t-T)}\right)$ と書く答案である。これは $t=T$ で電流が $0$ に戻る不連続な式で、上の数値では $i(T^+)=0$ となり、正しい $63.21\,\mathrm{mA}$ とずれる。$t=3T$ の値も $172.93\,\mathrm{mA}$ と、正しい $181.49\,\mathrm{mA}$ より小さい。もう1つは、$t>3T$ で時刻の基準を替えずに $i(3T)\,e^{-at}$ と書く誤りで、$t=4T$ で $3.32\,\mathrm{mA}$ となり、正しい $66.77\,\mathrm{mA}$ よりはるかに小さい。最後に、区間 $T<t<3T$ の定常値を $E/R$ のままにする誤りも多い。この区間の電源は $2E$ で、電流が近づく先は $2E/R$ である。