阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 電子光科学I 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説7項目）

(1)　固有値と規格化された固有ベクトル

固有値と固有ベクトルは $A\bm v=\lambda\bm v$（$\bm v\ne\bm 0$）で定義される。この式は $(A-\lambda I)\bm v=\bm 0$ と書け、同次連立1次方程式が自明でない解を持つのは係数行列が正則でないとき、すなわち $\det(A-\lambda I)=0$ のときである。2次では固有多項式が $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A$ の形になり、本問は $\operatorname{tr}A=0$、$\det A=-1$ なので $\lambda^2-1$ となる。

固有ベクトルは定数倍の自由度を持つ。求めた $\lambda=\pm1$ では $A-\lambda I$ の階数が1なので、固有空間は1次元である。「規格化された」という指示は長さを $|\bm v|=1$ に固定する意味で、実ベクトルでは符号の自由度だけが残る。$(1,1)^{\mathsf T}$ の長さは $\sqrt2$ なので、$\sqrt2$ で割る。

2つの固有ベクトルが直交することは偶然ではない。実対称行列では、異なる固有値 $\lambda_1\ne\lambda_2$ の固有ベクトルについて $\bm v_1\cdot(A\bm v_2)=\lambda_2\,\bm v_1\cdot\bm v_2$ と $(A\bm v_1)\cdot\bm v_2=\lambda_1\,\bm v_1\cdot\bm v_2$ が成り立つ。$A^{\mathsf T}=A$ から両辺は等しいので $(\lambda_1-\lambda_2)\,\bm v_1\cdot\bm v_2=0$、よって $\bm v_1\cdot\bm v_2=0$ となる。実際 $(1,1)\cdot(1,-1)=0$ である。

確かめは直接の掛け算が早い。$A(1,1)^{\mathsf T}=(1,1)^{\mathsf T}$、$A(1,-1)^{\mathsf T}=(-1,1)^{\mathsf T}=-(1,-1)^{\mathsf T}$ となり、固有値の和 $1+(-1)=0=\operatorname{tr}A$、積 $-1=\det A$ とも合う。誤りは主に2つある。規格化を忘れて $(1,1)^{\mathsf T}$ のまま答えると長さが $\sqrt2$ になる。固有値と固有ベクトルの対応を取り違えて、$\lambda=1$ に $(1,-1)^{\mathsf T}$ を割り当てると、上の計算から $A(1,-1)^{\mathsf T}=-(1,-1)^{\mathsf T}$ となって矛盾する。

(2)　$A$ を対角化する直交行列 $P$

$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるとは、正則行列 $P$ で $P^{-1}AP=\Lambda$（対角行列）とできることをいう。これを $AP=P\Lambda$ と書いて列ごとに読むと、$P$ の第 $j$ 列 $\bm p_j$ が $A\bm p_j=\lambda_j\bm p_j$ を満たす。つまり $P$ の列は固有ベクトルで、正則であるには列が一次独立でなければならない。直交行列は $P^{\mathsf T}P=I$ を満たす行列で、列が正規直交基底をなすことと同値であり、逆行列が転置で済む。

実対称行列は、必ず直交行列で対角化できる（スペクトル定理）。固有値が重なる場合も、各固有空間から正規直交基底を選べるからである。本問は固有値が相異なるので話はもっと簡単で、設問(1)で規格化した2本が自動的に直交し、並べるだけで $P$ が得られる。問題文の「直交行列」という指定は、規格化を要求している。

幾何で読むと、$A$ は $x$ と $y$ を入れ替える変換、つまり直線 $y=x$ に関する鏡映である。鏡の方向 $(1,1)$ では固有値 $1$、鏡に垂直な方向 $(1,-1)$ では固有値 $-1$ となる。$\det P=-1$ なので、この $P$ は回転ではなく鏡映である。列を $(1,1)/\sqrt2$、$(-1,1)/\sqrt2$ の順に取れば、$45^\circ$ の回転行列 $\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ になり、これも同じ $\operatorname{diag}(1,-1)$ を与える。

誤りとして多いのは、規格化しない $\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ をそのまま $P$ とすることである。この行列は $P^{\mathsf T}P=2I$ で直交行列ではなく、$P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(2,-2)$ と対角成分が2倍になる。もう1つは、列を入れ替えたのに $\operatorname{diag}(1,-1)$ と書くことで、$\begin{pmatrix}\bm v_-&\bm v_+\end{pmatrix}$ を使うなら対角行列は $\operatorname{diag}(-1,1)$ である。この $P$ は $P^{-1}=P^{\mathsf T}=P$ を満たすため、$P^{-1}AP$ と $PAP^{-1}$ を取り違えても結果が変わらないが、一般の行列ではこの順序を守る必要がある。

(3)　$\exp(i\theta A)$ の行列表示

行列指数関数 $\exp(M)$ の級数は、任意の正方行列で収束する。対角化できる $M=P\Lambda P^{-1}$ では $M^n=P\Lambda^nP^{-1}$ が成り立つので、$\exp(M)=P\exp(\Lambda)P^{-1}$ と書け、対角行列の指数関数は対角成分ごとの指数関数になる。ただし、これは行列全体を対角化した後の話である。$A$ のままで成分ごとに $e^{(\cdot)}$ を取ってはならない。また $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ は $XY=YX$ のときに限って成り立つ。

$A^2=I$ なので $(iA)^2=-I$ となり、$iA$ は虚数単位 $i$ と同じ役を果たす。そのため $\exp(\theta\,iA)=\cos\theta\,I+\sin\theta\,(iA)$ は $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ の行列版にあたる。

確かめは特殊な $\theta$ で行える。$\theta=0$ では $I$ になる。$\theta=\pi/2$ では $iA=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$ になり、固有値 $e^{i\pi/2}=i$ と $e^{-i\pi/2}=-i$ を持つ行列として整合する。$\theta=\pi$ では $-I$ で、固有値 $e^{\pm i\pi}$ がともに $-1$ であることと合う。$A$ はエルミート行列（実対称）なので $\exp(i\theta A)$ はユニタリ行列になるはずで、$\begin{pmatrix}\cos\theta&-i\sin\theta\\-i\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&i\sin\theta\\i\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=(\cos^2\theta+\sin^2\theta)I=I$ である。行列式も $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1=e^{i\theta\operatorname{tr}A}$ と一致する。

もっとも起こりやすい誤りは、成分ごとに指数関数を取って $\begin{pmatrix}e^{0}&e^{i\theta}\\e^{i\theta}&e^{0}\end{pmatrix}$ と書くことである。$\theta=\pi/2$ では $\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}$ となり、固有値 $\pm i$ を持つ正しい値 $\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$ と対角成分が合わない。$\theta=0$ でも $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\ne I$ となるので、この誤答は $\theta=0$ を代入する確認で見つかる。