阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 電子光科学I 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説7項目）

(1)　線分 OB 上の $f(z)$

複素数は絶対値 $\rho$ と偏角 $\theta$ で $z=\rho e^{i\theta}$ と書け、オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ より、$z^2=\rho^2e^{2i\theta}$ である。偏角が $2$ 倍になるので、$\theta=\pi/4$ のとき $z^2$ の偏角は $\pi/2$ となり、$z^2$ は正の純虚数 $i\rho^2$ になる。問題が「原点からの距離 $t$」を指定していることが、$z$ を $t$ と偏角で表す合図である。

確かめは $t=1$ で行う。$z=\dfrac{1+i}{\sqrt2}$ で、$z^2=\dfrac{1+2i-1}{2}=i$ となる。また $|e^{-it^2}|=1$ なので、OB 上で $f$ は減衰せず、絶対値が $1$ のまま回転するだけである。実軸上では $e^{-x^2}$ が急に小さくなるのと対照的で、この線分上の積分 $\int_0^\infty e^{-it^2}dt$ は条件収束（振動しながら収束）になる。

誤りは、線分上の点を $z=t(1+i)$ とおいて、$t$ を「距離」と見なすものである。$|z|=\sqrt2\,t$ なので距離は $t$ にならず、$z^2=2it^2$ から $f=e^{-2it^2}$ となる。$t=1$ で正しい値は $e^{-i}=0.5403-0.8415i$、誤りは $e^{-2i}=-0.4161-0.9093i$ で食い違う。

(2)　ガウス積分 $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx$

$e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数で表せない。そのため、1次元の積分のまま計算せず、2乗して2重積分にしてから極座標に直す。使う定理は2つある。1つ目は、非負の関数の2重積分は累次積分でき、積分順序を入れ替えてよいこと（トネリの定理）で、$e^{-(x^2+y^2)}>0$ なので条件を満たす。2つ目は極座標の面積要素 $\rho\,d\rho\,d\varphi$ で、これは $(x,y)\to(\rho,\varphi)$ のヤコビ行列式が $\rho$ になることによる。$x^2+y^2=\rho^2$ の指数部が $\rho$ だけの関数になり、$\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho\,d\rho$ が $\rho^2=s$ の置換で $\dfrac12\int_0^\infty e^{-s}ds=\dfrac12$ と簡単に積分できる。この積分は(3)の左辺で使う。

確かめは大きさの評価で行う。被積分関数は $0\le x\le1$ で $e^{-x^2}\le1$、$x\ge1$ で $e^{-x^2}\le e^{-x}$ なので、$I\le1+e^{-1}=1.368$ である。$\sqrt\pi/2=0.8862$ はこの範囲にある。全直線では偶関数なので $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$ で、これは正規分布の規格化定数と同じものである。

誤りは、角度の範囲を $0\le\varphi\le2\pi$ にすることである。第1象限だけの積分に全周を使うと $I^2=2\pi\cdot\dfrac12=\pi$ から $I=\sqrt\pi=1.7725$ となり、上の評価 $1.368$ を超えるので誤りと分かる。$\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho\,d\rho=\dfrac12$ の $\dfrac12$ を落とすと、$I^2=\dfrac\pi2$ から $I=1.2533$ となり、これも正しい値 $0.8862$ から離れる。

(3)　フレネル積分 $\displaystyle\int_0^\infty\cos(x^2)\,dx$

コーシーの積分定理は、単連結な領域 $D$ で $f$ が正則（複素微分可能）で、$C$ が $D$ 内の区分的に滑らかな閉曲線なら $\oint_Cf\,dz=0$ となる、という定理である。理由は、$f=u+iv$、$dz=dx+i\,dy$ として $\oint_Cf\,dz=\oint_C(u\,dx-v\,dy)+i\oint_C(v\,dx+u\,dy)$ とし、グリーンの定理で2重積分に直すと、被積分関数が $-(v_x+u_y)$ と $u_x-v_y$ になり、コーシー・リーマンの関係式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ でどちらも $0$ になるためである。$e^{-z^2}$ は全平面で正則なので、どんな閉曲線にも使える。曲線に沿う積分は、媒介変数表示 $z=z(t)$ で $\int f(z(t))\,z'(t)\,dt$ と書く。向きが逆の経路では積分の符号が反転する。

問題文が「円弧 AB の積分が $0$ に収束する」ことを認め、偏角 $\pi/4$ の線分と $e^{-z^2}$ を指定していることが、この積分路を使う合図である。$\theta=\pi/4$ で $z^2$ が純虚数になり、$e^{-z^2}$ が三角関数に化けるので、実軸上のガウス積分の値から $\cos(x^2)$ と $\sin(x^2)$ の積分が一度に出る。円弧の評価は証明なしで使ってよいが、$|f|=e^{-r^2\cos2\theta}$ と $\cos2\theta\ge1-\dfrac{4\theta}\pi$（$0\le\theta\le\dfrac\pi4$）から $$\left|\int_{\mathrm{AB}}f\,dz\right|\le r\int_0^{\pi/4}e^{-r^2(1-4\theta/\pi)}d\theta=\frac{\pi}{4r}\bigl(1-e^{-r^2}\bigr)\to0$$ と示せる。$\cos2\theta$ は区間で上に凸で、両端 $(0,1)$、$(\pi/4,0)$ を結ぶ弦より上にあることを使った。

確かめでは3つの数値を使う。$r=3$ で円弧の積分の大きさは $0.1655$（上の評価は $0.2618$）、$r=5$ で $0.0999$（評価は $0.1571$）となり、$r$ とともに小さくなる。ただし減衰は $1/r$ のオーダーと遅いことが分かる。次に、閉曲線の3つの積分の和は $r=2,3,5$ でいずれも絶対値が $10^{-30}$ 以下になる。最後に、打ち切り積分 $\int_0^R\cos(x^2)dx$ は、$R=10,20,40$ で $0.6011,\ 0.6054,\ 0.6166$ と $0.6267$ に近づき、誤差は $\dfrac1{2R}$ 以下である。

誤りは3つある。1つ目は、$dz=e^{i\pi/4}dt$ の因子を落とすことで、このとき $\int_0^\infty e^{-it^2}dt=\dfrac{\sqrt\pi}2$ となり、実部は $0.8862$ で正しい値 $0.6267$ の $\sqrt2$ 倍になる。2つ目は、B から O へ進む向きを無視して符号を $+$ にすることで、$\dfrac{\sqrt\pi}2+e^{i\pi/4}\displaystyle\int_0^\infty e^{-it^2}dt=0$ から実部が $-0.6267$ になる。実際には、最初の山 $0\le x\le\sqrt{\pi/2}$ だけで $\int\cos(x^2)\,dx=0.9775$ あり、以降の振動の寄与の合計は $-0.3508$ と、全体が負になるほど大きくない。3つ目は実部と虚部の取り違えで、$e^{-it^2}=\cos(t^2)-i\sin(t^2)$ の虚部は $-\sin(t^2)$ なので、$\sin(x^2)$ の積分は虚部の符号を反転した $+\dfrac{\sqrt{2\pi}}4$ である。