阪大 基礎工学研究科 物質創成専攻 化学工学II 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

各項の意味と単位

左辺は槽の液が蓄えている熱量の変化率で、$M_{\mathrm T}$ [kg] $\times\,C_p$ [kJ kg$^{-1}$ K$^{-1}$] $\times$ [K s$^{-1}$] より kJ s$^{-1}$ になる。第1項は入口と出口の液が運ぶ熱の差で、$F\,C_p$ は液の熱容量流量 [kJ s$^{-1}$ K$^{-1}$] である。第2項は蒸気の凝縮で出る熱で、蒸気流量 $W$ [kg s$^{-1}$] に凝縮潜熱 $\lambda$ [kJ kg$^{-1}$] をかけた値になる。問題文の「蒸気はすべて液化して排出される」「蒸気および液の顕熱は無視できる」という指定が、蒸気から受け取る熱を $\lambda W$ だけで書いてよい根拠になる。熱損失がないという指定は、損失の項を置かない根拠である。

基準温度が消える理由

エンタルピーを $C_p(T-T_{\mathrm{ref}})$ と書いたとき、基準温度の項は流入の $F\,C_p\,T_{\mathrm{ref}}$ と流出の $-F\,C_p\,T_{\mathrm{ref}}$ が打ち消し合い、蓄積の側でも $M_{\mathrm T}$ が一定なので $T_{\mathrm{ref}}$ の微分が0になる。$M_{\mathrm T}$ や $F$ が時間で変わる系では、全質量の収支を併用しないとこの結果にならない。本問は両方が一定なので、基準温度を考えずに $T_{\mathrm i}-T$ の形で書いてよい。

熱負荷として読む

分子の $F\,C_p\,(T_{\mathrm s}-T_{\mathrm{is}})$ は、流量 $F$ の液を $T_{\mathrm{is}}$ から $T_{\mathrm s}$ まで温めるのに要する熱量 [kJ s$^{-1}$] で、これを蒸気の凝縮熱 $\lambda$ で割ると蒸気の流量になる。熱損失がないという条件が、凝縮熱を全部この昇温に使ってよい根拠である。また、定常では出口配管でも液の温度が変わらないので、熱電対が示す流出温度は槽の温度に等しく、$T_{\mathrm{os}}=T_{\mathrm s}$ となる。これは(d)で使う。

数値例（仮定）

原題に数値はないので、$F=2.0$ kg s$^{-1}$、$M_{\mathrm T}=1.0\times10^{3}$ kg、$M_{\mathrm p}=20$ kg、$C_p=4.18$ kJ kg$^{-1}$ K$^{-1}$、$\lambda=2257$ kJ kg$^{-1}$、$T_{\mathrm{is}}=293$ K、$T_{\mathrm s}=333$ K と仮定する。熱負荷は $2.0\times4.18\times40=334$ kJ s$^{-1}$ で、$W_{\mathrm s}=334/2257=0.148$ kg s$^{-1}$ となる。以降の数値はこの仮定を使う。$T_{\mathrm s}$ を $T_{\mathrm{is}}$ より低く置くと $W_{\mathrm s}<0$ となり、蒸気では冷やせないという結果になる。

偏差変数とゲイン・時定数

定常の式を引くと、定数項（$F\,C_p\,T_{\mathrm{is}}$ など）が消えて、偏差だけの式が残る。ラプラス変換では、偏差を使うと初期値の項が0になる。伝達関数の分母は $\tau s+1$ で、$\tau=M_{\mathrm T}/F$ は槽の滞留時間である。入口温度の偏差 $u$ から $x$ へのゲインは1で、十分時間がたてば槽温度の変化は入口温度の変化に等しくなる。蒸気流量の偏差 $w$ から $x$ へのゲイン $K_{\mathrm w}=\lambda/(F\,C_p)$ は、蒸気が1 kg s$^{-1}$ 増えたときの槽温度の最終的な上昇量 [K] を表す。$K_{\mathrm w}$ の単位は $[\mathrm{kJ\,kg^{-1}}]/([\mathrm{kg\,s^{-1}}][\mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}])=\mathrm{K\,s\,kg^{-1}}$ で、$w$ [kg s$^{-1}$] とかけると K になる。

数値例（仮定）

(b)の仮定で、$\tau=1.0\times10^{3}/2.0=500$ s、$K_{\mathrm w}=2257/(2.0\times4.18)=270$ K s kg$^{-1}$ である。蒸気を $0.010$ kg s$^{-1}$ 増すと槽温度は最終的に $2.7$ K 上がり、入口温度が $5$ K 上がれば槽温度も $5$ K 上がる。$63\ \%$ の変化に達する時間は $\tau=500$ s で、槽は反応が遅い系であることがわかる。

起こりやすい誤り

$w$ のゲインを $\lambda/F$ のように $C_p$ を落として書くと、$w$ [kg s$^{-1}$] をかけた単位が kJ kg$^{-1}$ になり、温度 [K] にならない。時定数を $M_{\mathrm T}C_p/F$ とすると単位が秒にならない。$\tau$ は $M_{\mathrm T}/F$ である。

置換と成立条件

$f(t-L)$ は、$f$ を時間軸で $L$ だけ右へ平行移動し、$t<L$ では $0$ とした関数である。置換で積分区間が $[-L,\infty)$ に広がるが、$t<0$ で $f=0$ という条件があるから、広がった $[-L,0)$ の部分の寄与は0になる。この条件がないと、$\int_{-L}^{0}f(\sigma)\,e^{-s\sigma}\,\mathrm d\sigma$ が余りとして残り、関係は成り立たない。ラプラス積分が収束するために、$\mathrm{Re}\,s$ は $\bar f(s)$ が存在する範囲の値とする。

具体例による確かめ

$f(t)=1$（$t\ge0$）なら $\bar f=1/s$ で、左辺は $\int_L^\infty e^{-st}\,\mathrm dt=e^{-sL}/s$ となり右辺に一致する。$f(t)=e^{-at}$ なら $\int_L^\infty e^{-a(t-L)}e^{-st}\,\mathrm dt=e^{-sL}/(s+a)$ で、これも $e^{-sL}\bar f(s)$ である。係数 $e^{-sL}$ は、$s=\mathrm j\omega$ で大きさが1、位相が $-\omega L$ となり、振幅を変えずに位相だけを周波数に比例して遅らせる。この位相の遅れが、フィードバック制御で安定性を悪くする。

むだ時間の仮定と大きさ

むだ時間の式は、配管内が押し出し流れ（軸方向の混合や拡散がない）で、配管内の熱損失が無視でき、熱電対自体の応答の遅れがないときに成り立つ。問題文の「槽の出口から熱電対の位置までの配管内の液量は $M_{\mathrm p}$」という指定が、$L=M_{\mathrm p}/F$ を使う合図になる。(b)の数値例では $L=20/2.0=10$ s で、槽の時定数 $\tau=500$ s の $2\ \%$ にすぎないが、フィードバック制御では次に述べるとおり決定的な違いをもたらす。

制御で効く理由（数値例）

むだ時間のない1次遅れ系は、比例制御のゲイン $K_{\mathrm c}$ を大きくしても安定である。むだ時間があると、ループの位相が $-\arctan(\omega\tau)-\omega L$ となり、$-\pi$ に届く角周波数 $\omega_{\mathrm u}$ が現れる。(b)の数値例では $\arctan(500\,\omega_{\mathrm u})+10\,\omega_{\mathrm u}=\pi$ から $\omega_{\mathrm u}=0.158$ rad s$^{-1}$（周期 $39.7$ s）で、ループの大きさが1になる限界ゲインは $$K_{\mathrm{cu}}=\frac{\sqrt{1+(\omega_{\mathrm u}\tau)^2}}{K_{\mathrm w}}=\frac{79.2}{270}=0.293\ \mathrm{kg\,s^{-1}\,K^{-1}}$$ である。むだ時間を含めた閉ループを数値積分すると、$K_{\mathrm c}=0.5\,K_{\mathrm{cu}}$ では収束し、$K_{\mathrm c}=1.5\,K_{\mathrm{cu}}$ では振動が増えて発散した。

むだ時間を取り違える誤り

むだ時間を槽の滞留時間 $M_{\mathrm T}/F=500$ s としてしまう誤りがある。この値を使うと限界ゲインは $0.0084$ kg s$^{-1}$ K$^{-1}$ と、正しい値の約 $1/35$ になり、設計が大きくずれる。槽内の混合の遅れは $1/(\tau s+1)$ に入り、$e^{-sL}$ に入れるのは「流れが配管を移動する時間」だけである。

空欄を決める手がかり

図で外乱 $u$ は(ア)の後ろの加え合わせ点に係数なしで入っている。これが、(イ)が $u$ に対して定常ゲイン1の1次遅れ $1/(\tau s+1)$ でなければならず、$w$ にかかる蒸気側のゲイン $K_{\mathrm w}$ は(ア)に置く、という割り振りを決める合図になる。(c)の式をそのまま読めば、$u$ の係数が $1/(\tau s+1)$、$w$ の係数が $K_{\mathrm w}/(\tau s+1)$ で、前者が(イ)、後者が(ア)と(イ)の積になる。(ウ)が(イ)の後ろにあるのは、むだ時間が槽の出口から熱電対までの配管で生じる遅れで、槽温度 $x$ から測定値 $y$ への変換だからである。(ウ)を(ア)の前に置くと、制御操作の遅れ（調節弁・蒸気側の遅れ）の意味になり、本問の配管の遅れとは異なる。

閉ループの式と符号

ブロック線図から、$e=r-\bar y$、$\bar w=G_{\mathrm c}\,e$ なので $$\bar y=\frac{G_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\,e^{-Ls}}{\tau s+1+G_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\,e^{-Ls}}\,\bar r+\frac{e^{-Ls}}{\tau s+1+G_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\,e^{-Ls}}\,\bar u$$ が得られる。$K_{\mathrm w}>0$ で、蒸気を増やすと温度が上がる。測定温度が目標より低いとき（$e>0$）に $w$ が増える向きに働くように、$G_{\mathrm c}$ のゲインは正にする。②を $+$ に取り違えた図は正帰還の系で、特性方程式が $\tau s+1-G_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\,e^{-Ls}=0$ になる。$G_{\mathrm c}=K_{\mathrm c}$ で $K_{\mathrm c}K_{\mathrm w}>1$ なら、$s>0$ の実根が現れて出力が発散する。(d-2)の数値例で $K_{\mathrm c}=0.5\,K_{\mathrm{cu}}$ とすると $K_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\approx40$ である。特性方程式は $\tau s+1+G_{\mathrm c}K_{\mathrm w}\,e^{-Ls}=0$ で、$e^{-Ls}$ が $s$ の有理式でないため根が無限に現れ、(d-2)で見た $K_{\mathrm{cu}}$ のような限界が生じる。$e^{-Ls}$ を1次のパデ近似 $(1-Ls/2)/(1+Ls/2)$ に置き換えると、むだ時間は右半面の零点をもつ要素として扱える。