阪大 基礎工学研究科 物質創成専攻 化学工学II 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

設問(a)　圧縮過程の質量収支式とエネルギー収支式

問題の式では $\dot W$ を「系へ流入した仕事」と定義しているので、圧縮機で気体が受ける仕事は $\dot W>0$ となる。流入する流れは $\dot m_k>0$、流出する流れは $\dot m_k<0$ と符号が付くので、出口の項は $-\dot m H_{\mathrm m,2}$ になる。この符号の取り方を決めないまま式を書き始めると、$\dot W$ の符号が答案ごとにずれる。

圧縮機は可逆断熱なので等エントロピー変化で、(b)では図2の等エントロピー線に沿って進める。内部冷却装置は仕事をせず熱だけを取り除くので、2段の仕事は $H_2-H_1$ ではなく、各段の差の和になる。$H_2-H_1$ には冷却による減少分が含まれる。実際、(b)の値で $\dot W+\dot Q_{\mathrm{内部}}=650-290=360\ \mathrm{kW}$ は $H_2-H_1=360\ \mathrm{kW}$ と一致する。

設問(b)　圧縮に必要な仕事 $\dot W$

図2では、縦軸が圧力 $P$（対数目盛り）、横軸がエンタルピー $H_{\mathrm m}$ で、ほぼ垂直に走る曲線が等温線、右上がりの破線が等エントロピー線である。可逆断熱の圧縮は $S$ が一定なので、点を等エントロピー線に沿って動かす。そのときの横軸方向の移動量 $\Delta H$ が、単位質量あたりの仕事になる。冷却は圧力一定なので横線に沿って左へ動く。

*[3pt] プロセスの略図（Peng--Robinson 状態方程式の計算値から作図。縦軸は対数目盛り）。1→a と c→2 は等エントロピー圧縮、a→c と 2→3 は等圧冷却、3→4 は絞り弁（等エンタルピー）、4 は 0.1 MPa の気液二相で、5 と 6 が飽和蒸気と飽和液（自作図）

内部冷却を挟む理由は、圧縮機の出口温度を抑えて仕事を減らすことにある。同じ圧力比でも、低温の気体ほど比体積が小さく、$\int v\,\mathrm dP$ が小さい。中間冷却を省き、0.1 MPaから10 MPaまでを1段の等エントロピー圧縮で行うと、$845\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ が必要で、650より30\%多い。

実在気体の効果も見ておく。同じ比熱を使った理想気体として2段の仕事を計算すると $670\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ で、図による650より約3\%大きい。差は第2段に集中する（理想気体 $350$、実在気体 $333\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$）。10 MPa の高圧で圧縮係数が1より小さく、気体が理想気体より縮みやすいためである。

設問(c)　原料1 kg から得られる液化メタンの質量

絞り弁を通る流れは、仕事を取り出す部分がなく、周囲との熱交換も無視できるので、定常流のエネルギー収支 $H_4=H_3$ になる。この変化で圧力が下がると、実在気体では温度も下がる。10 MPa、200 K の流体を 0.1 MPa に絞ると、温度は飽和温度 $111\ \mathrm K$ まで下がり、一部が液になる。図2では、$H_{\mathrm m}=440$ の位置から 0.1 MPa まで下ろした点が気液二相の領域に入り、乾き度 $x=0.7$ の線の近くに来る。

状態3の読み取りには注意が要る。10 MPa は臨界圧 4.6 MPa を超え、200 K は臨界温度 191 K を超えるので、状態3は超臨界の密な流体で、等温線が左へ大きく曲がる領域にある。圧縮係数は1よりかなり小さく、状態方程式の計算で $Z=0.36$ である。この領域の等温線は傾きが急で、$H_3$ を $\pm10\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ ずらすと液化率は $\pm0.02$ 変わる。計算では液化率が $0.280$ で、読み取りの $0.28$ と一致した。

てこの関係は、気液二相の混合物のエンタルピーが飽和蒸気と飽和液のエンタルピーの質量平均になることから出る。$(H_{\mathrm g}-H_4)$ が液の割合に、$(H_4-H_{\mathrm f})$ が蒸気の割合に比例する。誤りとして、割合を逆にして $(H_4-H_{\mathrm f})/(H_{\mathrm g}-H_{\mathrm f})=0.72$ を液の質量にする例がある。0.72 は蒸気の割合で、液は $1-0.72=0.28$ である。

設問(d)　液化メタン1 kg を得るために必要な圧縮仕事

液の生産量は $\dot m_6=0.28\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$、圧縮動力は $650\ \mathrm{kW}$ なので、比は $650/0.28=2.3\times10^{3}\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ で、単位を揃えた比になっている。誤りとして、仕事を原料 $1\ \mathrm{kg}$ あたりの $650\ \mathrm{kJ}$ のまま答えると、液 $1\ \mathrm{kg}$ あたりの値の $0.28$ 倍になる。蒸気の割合 $0.72$ で割ると $9.0\times10^2\ \mathrm{kJ}$ と半分以下になる。

仕事の大部分は熱として捨てられる。冷却装置が奪う熱は、内部冷却 $795-1085=-290\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ と、冷却装置 $440-1130=-690\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ の合計 $980\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ である。全体のエネルギー収支は $\dot W+\dot Q=650-980=-330$ で、$H_3-H_1=440-770=-330\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ と一致する。メタンの蒸発熱は $0.1\ \mathrm{MPa}$ で約 $510\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ で、液 $1\ \mathrm{kg}$ あたりの仕事 $2.3\times10^{3}\ \mathrm{kJ}$ はその約4.5倍にあたる。圧縮の仕事の大半が熱として捨てられ、原料の72\%が蒸気のまま出ていくためで、(e)の改良で下げる余地がある。

設問(e)　エネルギー消費をさらに減らす改良

(i)の収支を示す。熱交換器の低温側（流路⑤、$1-y'$ の流量）は飽和蒸気 $H_{\mathrm g}$ から $200\ \mathrm K$ の蒸気（$H_1$ と同じ状態）まで温まり、高温側（流路③、流量1）は $H_3$ から絞り弁の入口の状態まで冷える。絞り弁は等エンタルピーなので、絞り弁の入口のエンタルピーは $y'H_{\mathrm f}+(1-y')H_{\mathrm g}$ に等しい。熱交換器の全体の収支は $H_3+(1-y')H_{\mathrm g}=\left[y'H_{\mathrm f}+(1-y')H_{\mathrm g}\right]+(1-y')H_1$ で、両辺の $(1-y')H_{\mathrm g}$ が消えて $H_3=y'H_{\mathrm f}+(1-y')H_1$、すなわち $y'=(H_1-H_3)/(H_1-H_{\mathrm f})$ となる。圧縮機の入口が $200\ \mathrm K$、$0.1\ \mathrm{MPa}$（状態1）で変わらず、仕事は気体 $1\ \mathrm{kg}$ あたり同じ $650\ \mathrm{kJ}$ なので、液あたりの仕事は $650/y'$ になる。

この計算は理想的な熱交換器を前提にする。高圧側は $200\to180\ \mathrm K$、低圧側は $111\to200\ \mathrm K$ に温度が変わり、計算した温度分布では高温端以外で温度差が0にならず（両流体の温度が交差せず）、成立する。高温端の温度差が $10\ \mathrm K$ 残る実際の機器では、液化率は $0.46$ で、理想の値 $0.47$ に近い。絞り弁に入る流体の温度が $180\ \mathrm K$ まで下がっていることが、液化率が増える原因である。

(ii)の可逆断熱膨張は上限で、実際の膨張機の効率は100\%より低く、気液二相に入ると羽根が傷みやすいので、液の割合が高い領域では扱いにくい。それでも仕事を回収できるぶんだけ、絞り弁より損失が小さい。(iii)の可逆等温圧縮は、気体を圧縮しながら常に $200\ \mathrm K$ に保つ極限で、段数を増やすほど等温圧縮に近づく。圧縮機の動力は $650\to390\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ の幅で減らせる。

3つの改良は組み合わせられる。たとえば(i)と(iii)を併せ、流路⑤を熱交換器で使いながら圧縮を多段にすれば、液1 kg あたりの仕事は $541/0.47=1.15\times10^{3}\ \mathrm{kJ}$ 程度まで下がる。ただし、各改良に設備費と装置の複雑さが加わるので、電力料金と設備費のつり合いで採用を決める。