北大 工学院 応用量子科学系研究室群 応用量子科学系 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全10問）

方針

最初にすることは求解ではなく型の判定である。$dy$ と $dx$ が分離できるか、 $y'+P(x)y=Q(x)$ の形か、$M\,dx+N\,dy=0$ で $M_y=N_x$ か、定数係数か、を順に確かめる。 判定さえ正しければ、あとは積分因子か特性方程式かの機械的な作業になる。

検算

(1-2) は $y=x\log|x|+x^{3}+Cx$ を微分して $y'=\log|x|+1+3x^{2}+C$ とし、$xy'-y=x+2x^{3}$ に戻ることを確かめれば足りる。 (1-5) は $A,B$ を求めた直後に $-2A-6B=-6+6=0$、$6A-2B=18+2=20$ と代入し直すのが速い。

失点しやすい点

(1-3) を「$y$ について解いた形」で書こうとすると行き詰まる。完全形の解は陰関数 $F(x,y)=C$ のままでよい。 また (1-5) では、右辺が2種類の関数の和なので特殊解も2つ作って足す。片方だけ求めて終える答案が多い。

検算

$t\to0$ で $v\simeq (mg/k)(kt/m)=gt$ となり、抵抗が効く前の自由落下に一致する。 また $m/k$ が時定数の次元をもつことも確かめておくとよい。

物理的な意味

終端速度は「重力と抵抗が釣り合う速度」であり、初期条件によらない。 答案では、$v_{\infty}$ を極限からも力の釣り合いからも出せることを一言添えると理解が伝わる。

失点しやすい点

符号の取り違えが最大の失点源である。下向き正にとったなら抵抗は $-kv$、上向き正にとったなら重力が $-mg$ になる。 どちらを正にしたかを最初の1行で宣言しておく。

方針

「曲線群 $\to$ 微分方程式」は任意定数の消去、「直交曲線群」は傾きを $-1/y'$ に置き換えて解き直す、 という2段構えである。(3-1) は幾何の式変形にすぎないので、比を $\lambda$ と置いて2乗した式から出発すれば迷わない。

検算（幾何的な確認）

求めた直交曲線族 $x^{2}+y^{2}-Kx-1=0$ に $x=0$ を代入すると $y^{2}=1$、すなわち $K$ によらず $\mathrm{A}(0,1)$ と $\mathrm{B}(0,-1)$ を通る。もとのアポロニウスの円は $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通らず、 互いに交わらない同軸円族で、その極限点がちょうど $\mathrm{A},\mathrm{B}$ である。 「極限点を通る円族」と「極限点をもつ非交差円族」が直交するのは同軸円の標準的な性質であり、 結果が正しいことの強い裏づけになる。

別の導き方

(3-3) は完全形にせず、$y^{2}=u$ と置いて $u'-(1/x)\,u\cdot(-1)$ の形の1階線形に帰着させてもよい。 実際 $2yy'=u'$ を代入すると $x u'+u=-(x^{2}+1)$ となり、$(xu)'=-(x^{2}+1)$ から同じ結果が出る。

失点しやすい点

直交条件を「傾きの積が $-1$」と明記せずに計算だけ書くと、何をしたのかが答案から読み取れない。 また $y'=0$ や $x=0$ など、消去の途中で割った量がゼロになる場合の断りを入れておくと安全である。

方針

「平面に平行」は法線との垂直条件でも書けるが、平面が2本のベクトルで与えられている場合は 3本のスカラー三重積を $0$ とおくのが最短である。外積を計算してから内積を取るより計算量が少ない。

失点しやすい点

$s$ の2次方程式が出るので解は原則2つある。$s=0$ を「平面が退化する」と早合点して捨てないこと。 $s=0$ でも $\boldsymbol{u}=(1,0,0)$ と $\boldsymbol{v}=(0,0,-1)$ は一次独立で、$zx$ 平面を張る。 逆に、独立性の確認を書かずに両方を答えるのも危ういので、一行添えておく。

検算

$\nabla\phi\cdot\hat{\boldsymbol{v}}=|\nabla\phi|\cos\theta=5\cos\theta$ なので $\cos\theta=-7/25$ である。 $|\!\cos\theta|\le1$ を満たしており、値が負であることは $\boldsymbol{v}$ が勾配と鈍角をなす（$\phi$ が減少する向き）ことを意味する。

失点しやすい点

方向ベクトルを単位化せずに内積を取ると $-7$ となり、5倍ずれる。 方向微分は必ず単位ベクトルとの内積で定義されることを答案に明示する。

方針

陰関数で与えられた曲面の接平面は $\nabla G\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{\mathrm P})=0$ が定型である。 $z$ について解いて $z=f(x,y)$ の形にしようとすると、$y$ で割る操作が入って場合分けが増える。

この設問が試していること

「点 $\mathrm{P}$ が曲面上にあるか」を先に確かめる習慣があるかどうかである。 ここでは $t$ が両辺で相殺して恒等的に成り立つが、確認せずに進む答案は、 条件が矛盾する類題で必ず破綻する。

方針

(4-1) は「2乗してから微分する」が定石で、$\sqrt{\ }$ を直接微分するより見通しがよい。 (4-2) は (4-1) の結果を再利用する設計になっており、独立に解こうとすると遠回りになる。

幾何的な意味

(4-2) の条件は「向きが変わらず、大きさだけが変わる」ことを述べている。 逆に $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}'=0$ なら (4-1) より $|\boldsymbol{A}|$ が一定、 すなわち「大きさが変わらず向きだけが変わる」場合であり、両者は対になっている。

失点しやすい点

$\boldsymbol{A}'=\lambda\boldsymbol{A}$ と置く根拠（外積が零かつ $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{0}$）を書かずに使うと、 証明の骨格が抜けたと見なされる。

原点の扱い

$r=0$ を含めると $\nabla\cdot(\boldsymbol{r}/r^{3})=4\pi\delta^{3}(\boldsymbol{r})$、 $\nabla^{2}(1/r)=-4\pi\delta^{3}(\boldsymbol{r})$ であり、これが点電荷のガウスの法則そのものである。 設問は $r\neq0$ と断っているので $0$ でよいが、 「原点を除いて $0$」と書き添えると、なぜ点電荷の場が成立するのかを理解していることが伝わる。

検算

球座標のラプラシアン $\nabla^{2}f=\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}\left(r^{2}\dfrac{df}{dr}\right)$ に $f=1/r$ を代入すると、$r^{2}f'=-1$ が定数なので微分して $0$ である。直交座標で成分計算するより速い。

方針

$\nabla\times\boldsymbol{F}=(2y,\,3z^{2},\,1)$ を球面上で直接積分することもできるが、 面積要素と法線を書き下す手間が大きい。境界が平面上の単位円と分かった時点でストークスの定理に切り替えるのが得策である。

別解による検算

境界が同じなら曲面は取り替えてよい。$z=0$、$x^{2}+y^{2}\le1$ の円板 $S'$（法線 $+\boldsymbol{k}$）で置き換えると $\nabla\times\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{k}=1$ だから、積分値は円板の面積 $\pi$ に等しい。

失点しやすい点

向きの取り違えで符号が反転する。外向き法線 $\to$ 上から見て反時計回り、という対応を明記すること。 また $\boldsymbol{F}$ の第1成分 $z^{3}$ は $C$ 上で $0$ になるので、これを落とさず「$z=0$ より消える」と書いておく。

方針

(1-1)(1-2) はいずれも $w^{\alpha}=e^{\alpha\log w}$、$\log w=\log|w|+i\arg w$ に戻せば機械的である。 (1-3) は「見かけの3位の極」に惑わされず、分子を $z-1$ の冪で整理すること。 展開してしまえば留数定理も微分公式も不要になる。

失点しやすい点

(1-1) で $n$ を書き忘れて $e^{-\pi/2}$ だけを答えると、「$n$ を整数とするとき」という設問の指定に答えていない。 逆に (1-2) は主値と指定されているので $2n\pi i$ を付けてはいけない。どちらを問われているかを読み分ける。

検算

(1-3) は正則部分 $2$ の寄与が $0$ であることを確認しておく。定数関数は閉曲線上の周回積分で必ず $0$ になる。

方針

$z^{*}$ を含む関数は原則として微分不可能（$f(z)=z^{*}$ は Cauchy--Riemann を満たさない）だが、 本問は $|z|^{2}=zz^{*}$ によって共役が約分される特殊な場合である。 まず「共役が消える」ことに気づくのが第一歩で、そこから先は定型の議論になる。

答案の書き方

定義（差分商の極限）と Cauchy--Riemann のどちらか一方でよいが、 Cauchy--Riemann で示す場合は「偏導関数が連続」まで述べないと十分条件にならない。 関係式の成立だけでは微分可能性は保証されない点が採点で見られる。

失点しやすい点

$|z|^{2}$ を $x^{2}+y^{2}$ とだけ見て実関数のつもりで扱うと、約分に気づかず計算が膨らむ。 また $z=0$ を除く断りを落とさないこと。

検算（微分方程式に直接代入）

$r\neq0$ では球対称ラプラシアン $\nabla^{2}=\dfrac{1}{r}\dfrac{d^{2}}{dr^{2}}r$ を使って $$\nabla^{2}\frac{e^{ikr}}{r}=\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}e^{ikr}=-k^{2}\frac{e^{ikr}}{r}$$ となり $(\nabla^{2}+k^{2})G_{0}=0$ である。原点近傍では $e^{ikr}/r\to1/r$ で $\nabla^{2}(1/r)=-4\pi\delta^{3}(\boldsymbol{r})$ だから $$(\nabla^{2}+k^{2})\left(-\frac{e^{ikr}}{4\pi r}\right)=\delta^{3}(\boldsymbol{r})$$ となり、確かに Green 関数である。積分の計算とは独立な確認になる。

解が複数あることの意味

極を逆側へよける処方では $-e^{-ikr}/(4\pi r)$（内向き波）が、 主値をとれば $-\cos(kr)/(4\pi r)$（定在波）が得られる。 三者の差はいずれも斉次方程式 $(\nabla^{2}+k^{2})\psi=0$ の解であり、 どれを選ぶかは境界条件（無限遠で外向きか内向きか）で決まる。 散乱問題では外向き波を選ぶのが物理的な要請である。

失点しやすい点

$\sin(k'r)$ を $\operatorname{Im}e^{ik'r}$ と置き換えて虚部を最後に取る扱いは、 極をよける処方が入ると成り立たない。指数関数2本に分け、 それぞれを収束する側の半平面で閉じるという手順を守る。

答案の分量

留数の計算そのものは短いので、配点は「なぜ上半面／下半面で閉じるのか」 「$\varepsilon$ をどう入れたか」の説明に置かれていると考えてよい。 Jordan の補題を一言引用し、極の位置を図示するつもりで座標を書けば十分である。

方針

(1-2)(1-3) は部分積分を2回するより、複素指数に分解して (1-1) を使うほうが短く、符号ミスも減る。 $a$ が複素数でよいと明示されているのは、この使い方を想定した誘導である。

検算

(1-5) は $t=0$ で左辺が $0$、右辺 $\sin 0=0$ で整合する。 さらに両辺を $t$ で微分すると $f(t)+2\displaystyle\int_{0}^{t}f(\tau)e^{2(t-\tau)}d\tau=\cos t$、 すなわち $f(t)+2\sin t=\cos t$ となり、$f(t)=\cos t-2\sin t$ が直接得られる。 ラプラス変換を使わない別解にもなっている。

失点しやすい点

(1-4) で積分順序を交換する際、$\tau$ の積分範囲が $[\tau,\infty)$ に変わることを書き落とすと、 置換の結果が $\mathcal{L}[f_2]$ にならない。三角形領域の書き換えであることを明示する。

方針

「複素共役を取る」と「$k$ の符号を変える」がともに $e^{-ikx}\to e^{+ikx}$ を生むことに気づけば、 両辺を同じ形にそろえられる。差を取って一意性を使うのが、必要十分性まで示す最短の書き方である。

物理的な意味

この対称性はエルミート性と呼ばれ、実信号のスペクトルが必ず満たす性質である。 実の波形を扱う限り負の周波数成分は独立な情報をもたず、$k\ge0$ 側だけで表現できることを保証している。

失点しやすい点

「十分条件」だけを示して終わる答案が多い。$a$ が実なら成り立つのは明らかなので、 逆向き（条件が成り立てば実である）を一意性で押さえておくと完答になる。

方針

初期条件が固有関数そのものなので、フーリエ級数展開を書く必要はない。 「$n=1$ の項だけが残る」と一言添えて時間因子を掛ければ解答になる。 級数を立ててから係数を積分して求める答案は、時間の無駄が大きい。

検算

$f=\sin(\pi x/L)e^{-\lambda t}$ を代入すると、左辺 $-\lambda f$、右辺 $-D(\pi/L)^{2}f$ で $\lambda=D\pi^{2}/L^{2}$ が確定する。 また $I(t)$ を直接微分した値 $-2\pi D e^{-\lambda t}/L$ が、 上の流束計算 $D[\partial f/\partial x]_{0}^{L}$ と一致することを確かめると、 (3-2) の説明が式のうえでも裏づけられる。

答案に書くべき論点

設問は「境界条件に起因する」と明言しているので、 拡散方程式そのものが保存則（$\partial f/\partial t=-\partial j/\partial x$）であること、 したがって内部では総量が変わらず、変化はすべて端の流束であることを述べるのが核心である。 もし両端が断熱・不透過（$\partial f/\partial x=0$）なら $I$ は一定に保たれる、と対比させると説明が締まる。

失点しやすい点

「拡散でならされるから減る」という説明は誤りである。 一様化するだけなら総量は変わらない。減るのは端から出ていくからである。

方針

電界をベクトルのまま積分するより、スカラーの電位を先に求めて $E_{z}=-dV/dz$ とするほうが手数が少ない。 電位の輪帯積分は $\int R\,dR/\sqrt{R^{2}+\zeta^{2}}=\sqrt{R^{2}+\zeta^{2}}$ で終わるからである。 電界を直接積分する場合は $\int R\,dR/(R^{2}+\zeta^{2})^{3/2}$ となり、結果は同じ $g(\zeta)$ に帰着する。

検算（極限で確かめる）

$a\to\infty$（無限に広い平板）では $h'(\zeta)\to\tfrac32-1-\tfrac12\operatorname{sgn}\zeta$ の形が効いて、 両板の間で $|E_{z}|$ が一定値に近づく。平行平板コンデンサの一様電界に一致する挙動であり、 式の形が破綻していないことの手早い確認になる。

失点しやすい点

$\sqrt{\zeta^{2}}=|\zeta|$ を $\zeta$ と書いてしまうと、円板をはさんで電界が不連続に跳ぶ性質 （面電荷による $\sigma_{s}/\varepsilon_{0}$ の跳び）が消えてしまう。 絶対値と $\operatorname{sgn}$ を残したまま最後まで進めること。

結果の意味

得られた式は $V=p/(4\pi\varepsilon_{0}z^{2})$、$p=Qd$ という電気双極子の軸上電位そのものである。 遠方では電荷分布の細かい形（ここでは $\sigma/2$ と $3\sigma/2$ の2段構造）は見えなくなり、 全電荷 $0$ の系では双極子モーメントだけが残る、という多重極展開の一般則を具体例で確かめたことになる。

検算

$E_{z}=-\dfrac{\partial V}{\partial z}=\dfrac{2Qd}{4\pi\varepsilon_{0}z^{3}}=\dfrac{Qd}{2\pi\varepsilon_{0}z^{3}}$ となり、双極子の軸上電界 $E=2p/(4\pi\varepsilon_{0}z^{3})$ と一致する。 また $d\to0$ で $V\to0$ となるのも、正負が重なって双極子が消えることに対応している。

失点しやすい点

展開を $a^{2}/\zeta^{2}$ の1次で打ち切ると、$\zeta$ に比例する項の相殺を確認しないまま進むことになる。 実際には $3/2-1-1/2=0$ が成り立つからこそ $1/z^{2}$ が主項になるので、 この相殺を式のうえで見せるのが設問の狙いである。 また $1/(z\mp d/2)$ を展開せずに通分してから $d^{2}/4$ を落とすほうが、符号を間違えにくい。

方針

面電荷密度が2段でも、内側と外側の面積が等しい（$a/\sqrt2$ が面積を2等分する半径）ことに気づけば、 (a) は平均密度 $\sigma_{0}$ の一様円板と同じ電荷になる。この事実は (b)(c)(d) では使えない （重みが $R$、$R^{3}$ と変わるため）が、(a) の検算にはなる。

電流の向き

「負電荷が逆回転する」ことで電流が同符号になる点が本問の仕掛けである。 電流密度は $\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}$ であり、$\rho<0$ かつ $\boldsymbol{v}$ も逆向きなら $\boldsymbol{j}$ の向きはもとと同じになる。ここを取り違えると (b)(c)(d) がすべて $0$ になってしまう。

失点しやすい点

$dI=dq\,\omega/(2\pi)$ の $2\pi$ を落とすミスが多い。 「1周に要する時間で電荷を割る」と言葉で書いてから式にすると防げる。

重みの違い

電流の積分では重みが $R$、磁気モーメントでは $\pi R^{2}$ が掛かって $R^{3}$ になる。 外側の高密度領域 $3\sigma_{0}/2$ が磁気モーメントに効く割合は $9/10$ で、 電流に効く割合 $3/4$ より大きい。外側ほど寄与が大きくなる構造を意識すると、 配分を間違えたときに気づきやすい。

別の見方

一様な面電荷密度 $\sigma_{s}$ の円板が $\omega$ で回るときの磁気モーメントは $m=\pi\omega\sigma_{s}a^{4}/4$ である。本問を「$\sigma_{0}/2$ の一様円板」 $+$「外側だけ $\sigma_{0}$ を追加した輪帯」と分解しても同じ値になり、独立な検算になる。

検算（遠方で磁気双極子に戻ること）

$|\zeta|\gg a$ で $\dfrac{R_{0}^{2}+2\zeta^{2}}{\sqrt{R_{0}^{2}+\zeta^{2}}} =2|\zeta|+\dfrac{R_{0}^{4}}{4|\zeta|^{3}}+\cdots$ であるから、$R_{0}^{2}=a^{2}$ と $R_{0}^{2}=a^{2}/2$ を入れて $$\Phi(\zeta)\simeq\left(3-2-1\right)\sigma_{0}|\zeta| +\sigma_{0}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{a^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{16}\right)\frac{1}{|\zeta|^{3}} =\frac{5\sigma_{0}a^{4}}{16|\zeta|^{3}} .$$ したがって $z\to\infty$ で $$H_{z}\simeq\frac{\omega}{2}\cdot\frac{2\cdot5\sigma_{0}a^{4}}{16z^{3}} =\frac{5\omega\sigma_{0}a^{4}}{16z^{3}} .$$ 一方、磁気双極子の軸上磁場は $H_{z}=m/(2\pi z^{3})$ で、(c) の $m=5\pi\omega\sigma_{0}a^{4}/8$ を代入すると同じ値になる。 $|\zeta|$ に比例する項が $3-2-1=0$ で消えることが、この一致の鍵である。

失点しやすい点

輪帯に公式を適用するとき、公式の $b$ は輪帯半径 $R$、$i$ は $dI$ に置き換える。 $b$ を円板半径 $a$ に固定したまま積分すると、まったく別の量になってしまう。 また $F(0;\zeta)=2|\zeta|$ を $|\zeta|$ と書くと下限の処理を誤る。

答案の分量

(d) は積分公式さえ出せば残りは代入なので、 $\int R^{3}(R^{2}+\zeta^{2})^{-3/2}dR$ の計算過程を明示することに紙面を割くとよい。 最後に遠方の極限が (c) と整合することを1行添えると、検算まで済ませた答案になる。

方針

回転体の起電力は、各辺に $\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ を積分してもよいが、 本問のように閉回路の磁束が簡単に書けるときは $-d\Phi/dt$ が圧倒的に速い。 「変化するのは凸部の射影面積だけ」と言い切れるかどうかで所要時間が変わる。

定数項が効かないこと

長方形部の $cd$ は時間によらないので起電力に寄与しない。 起電力を求める段階で消えるため、$cd$ の値を正確に書く必要はないが、 磁束の式には残しておくほうが「何が変化しているか」が採点者に伝わる。

失点しやすい点

$\cos\omega t$ の初期位相を取り違えて $\Phi=B(cd+ab\sin\omega t)$ としてしまうと、 $t=0$ で凸部が紙面内にあるという条件に反する。 $t=0$ で射影面積が最大（$ab$）になることを確認してから微分する。 また、凸部が「外側に凸」なので面積は加算される。内側に凸なら $cd-ab\cos\omega t$ となり、 起電力の符号が反転する。

方針

未知関数が2つ（$I$ と $v$）あるので、式も2本（運動方程式と回路方程式）必要である。 どちらか一方を消去して1階線形方程式に落とすのが定石で、 本問では $I$ を消して $v$ の方程式にするほうが初期条件 $v(0)=0$ を素直に使える。

検算（終状態と時定数）

$t\to\infty$ では加速が止まるので $F=IBc=0$、すなわち $I\to0$ である。 このとき (b) から $E=Bcv$、つまり $v\to E/(Bc)$ となり、解の漸近値と一致する。 また $\tau=MR/(B^{2}c^{2})$ は $[\mathrm{kg}\cdot\Omega/(\mathrm{T}^{2}\mathrm{m}^{2})]$ で、 $\mathrm{T}=\mathrm{V\,s/m^{2}}$ を使うと確かに秒の次元になる。

エネルギーの流れ

電源が供給する仕事 $EI$ は、抵抗での発熱 $RI^{2}$ と棒の運動エネルギー増加 $Bcv\cdot I=Mv\,\dot v$ に分配される。実際 $EI=RI^{2}+BcvI$ は (b) に $I$ を掛けた式そのものである。 この配分を一言書くと、単なる式操作でなく物理を追えていることが伝わる。

失点しやすい点

(b) で誘導起電力の符号を誤り $E+Bcv=RI$ としてしまうと、電流が発散して物理的に破綻する。 レンツの法則により、誘導起電力は必ず電流を減らす向きに働くことを言葉でも書いておく。 (d) では「範囲を明記すること」と指定されているので、 $I$ が $0$ に達しない（漸近する）こと、$v$ が $E/(Bc)$ を超えないことを必ず述べる。

方針

(2) は「単位格子1個の質量 $\div$ 体積」に尽きる。$Z=4$ を出すために、 頂点は $1/8$、面心は $1/2$ ずつ数えるという配分を必ず書く。 数値だけでは、fcc であることを使った答案に見えない。

検算

$a=0.3615\ \mathrm{nm}$ から最近接原子間距離は $a/\sqrt2=0.256\ \mathrm{nm}$、 原子半径は $0.128\ \mathrm{nm}$ となり、金属としてもっともらしい大きさである。 充填率は $4\times\tfrac43\pi(\sqrt2a/4)^{3}/a^{3}=\pi/(3\sqrt2)=0.74$ で、 最密充填の値に一致する。

失点しやすい点

(3) の「立方晶だから面の指数と法線の指数が一致する」という前提は、 正方晶や六方晶では成り立たない。無条件に使わず、立方晶であることを断る。 (5) で8通り全部を書くと「平行な面は一方のみ」という指定に反する。

偶奇が混ざる場合の数え方

$h,k,l$ の偶奇が混ざるとき、必ず「同じ偶奇のものが2つ、違うものが1つ」になる。 同じ偶奇の2つから作る和だけが偶数で、残り2組は奇数である。 したがって $1+1-1-1=0$ となる。場合分けを $h$ が偶か奇かで始めると煩雑になるので、 この数え方で書くと短い。

背景

消滅則は格子の並進対称性だけで決まり、原子の種類にはよらない。 だから同じ fcc でも、体心立方なら $h+k+l$ が偶数、 単純立方なら制限なし、と格子型ごとに固有のパターンになる。 粉末X線回折で結晶構造を同定できるのは、この対応があるからである。

有効数字の扱い

(2) で $a$ を $0.361\ \mathrm{nm}$ に丸めてから代入すると $\sin\theta_{2}=0.4266$、$\theta_{2}=25.25^{\circ}$ となり、 小数第1位への丸めが $25.3^{\circ}$ に変わってしまう。 最終桁まで指定されている設問では、途中の量は丸めずに保持し、 最後にだけ丸めるのが原則である。答案には「$a=0.3615\ \mathrm{nm}$ を用いた」と一言添えておく。

ブラッグ角の定義

本問は「入射光ならびに回折光が結晶面となす角」を $\theta$ と定義している。 回折装置で読む角度は $2\theta$ なので、 $2\theta_{1}=43.3^{\circ}$、$2\theta_{2}=50.4^{\circ}$、$2\theta_{3}=74.1^{\circ}$ である。 どちらを聞かれているかで答えが2倍違う。

検算

$\sin\theta$ が $\sqrt{3}:\sqrt{4}:\sqrt{8}=1:1.155:1.633$ の比になっているかを確かめる。 fcc の粉末パターンでは、低角側から $(111),(200),(220),(311),(222)$ と続き、 最初の2本が近接し3本目が離れる特徴的な並びになる。 問題の図で $\theta_1$ と $\theta_2$ が近く $\theta_3$ が離れているのは、この比の反映である。

失点しやすい点

$h^{2}+k^{2}+l^{2}=1,2$（$(100),(110)$）を消滅則で除外し忘れると、 $\theta$ が3つとも小さくずれる。(8) の結果を必ず使う設計になっている。

図で押さえるべき点

どの曲線も $x=0$ で $C_{s}$ を通ること、$x\to\infty$ で $C_{0}$ に漸近すること、 時間が経つほど曲線が右へ寝ることの3点である。 曲線どうしが交差しないことも重要で、交差する図を描くと拡散の単調性に反する。

失点しやすい点

$t_{0}=0$ を「表面も $C_{0}$」と描いてしまうと境界条件と矛盾する。 $x=0$ では最初から $C_{s}$ である。

検算

両条件で $C_{x}$ も $t$ も同じなので $\mathrm{erf}$ の引数が等しく、$x\propto\sqrt{D}$ である。よって $$\frac{D_{1473}}{D_{1273}}=\left(\frac{1.9}{0.9}\right)^{2}=4.46$$ となるはずで、上で求めた $2.2\times10^{-10}/4.9\times10^{-11}=4.5$ と一致する。 この比は $z$ の読み取り値に依存しないので、$\mathrm{erf}$ の読みが多少ずれても正しい。

失点しやすい点

$\mathrm{mm}$ と $\mathrm{m}$、時間と秒の換算を忘れると桁が大きく狂う。 $D$ の単位が $\mathrm{m^{2}\,s^{-1}}$ と指定されているので、$x$ は $\mathrm{m}$、$t$ は $\mathrm{s}$ に直す。

方針

2点しかないので最小二乗は不要で、$\ln D$ と $1/T$ の2点を結ぶ直線の傾きが $-Q/R$ である。 $D_{0}$ を先に求めてから代入してもよいが、指数の桁が大きく丸め誤差が乗りやすい。 (4) のように「基準点からの差分」で外挿すると誤差が小さく、計算も速い。

検算

$1100\,^{\circ}\mathrm{C}$ は $1000$ と $1200$ の中間なので、 $D_{1373}=1.1\times10^{-10}$ が $4.9\times10^{-11}$ と $2.2\times10^{-10}$ の間にあることを確認する。 $\ln D$ は $1/T$ の1次式なので、幾何平均 $\sqrt{4.9\times2.2}\times10^{-10.5}\simeq1.04\times10^{-10}$ に近いはずで、 実際その通りである。

答案の書き方

設問はいずれも「計算過程も含めて解答しなさい」と指定している。 $\mathrm{erf}$ の読み取り値、単位換算、対数を取る操作の3点を明示的に書くこと。 数値だけの答案は、正しくても配点の大半を落とす。

答案に必ず入れる要素

設問が「$911\,^{\circ}\mathrm{C}$ での bcc/fcc 変態」と「炭素の侵入型固溶」を明示的に前提として与えている。 この2つを結びつけ、「相が違えば拡散経路が違い、Arrhenius パラメータも別物になる」と述べることが答えの骨格である。 測定誤差や実験条件の違いに帰する答案は的を外している。

補足になる事実

炭素の固溶度は $\gamma$ 鉄で最大 $2.1\ \mathrm{wt\%}$ 程度、$\alpha$ 鉄では $0.02\ \mathrm{wt\%}$ 程度と2桁違う。 固溶度が小さいのに拡散が速いのは、両者が別の物理量であることの好例で、 一言添えると理解の深さが伝わる。

数え上げの要点

「モル分率の和が1」で1相あたり1個減ること、 「化学ポテンシャルの等式」が相の個数 $p$ に対して $p-1$ 本であること、この2つが数え間違いの温床である。 $p$ 本と数えると自由度が $C$ 個ずれる。

結果の使い方

凝縮系で圧力を一定とみなす場合は変数が1つ減り $F=C-p+1$ となる。 2元系状態図で「3相共存が水平線（不変系反応）になる」のは、 $C=2,\ p=3$ で $F=0$ になるからである。導出だけでなく、この使い道まで書けると答案が締まる。

冷却曲線で示すべき特徴

「$T_{m}$ を下回る谷」「復熱による立ち上がり」「$T_{m}$ での水平部」「凝固後の再下降」の4点である。 谷を描かずに水平部だけを描くと、過冷却が起きていない通常の冷却曲線になってしまう。

失点しやすい点

(2-2) で釣り合いを取る方向を壁面に垂直にとると、固体側の弾性応力が入って式が閉じない。 壁面に沿う成分だけを見る、という断りを入れる。

要点

体積項と界面項の両方に、まったく同じ $f(\theta)$ が現れることが証明の核心である。 これは偶然ではなく、球欠の体積と表面積が同じ幾何因子で球と結ばれているためで、 だからこそ $\Delta G$ 全体が「均一核生成の式 $\times f(\theta)$」という簡潔な形になる。

失点しやすい点

(2-3) で $-A_{\mathrm{CS}}\sigma_{\mathrm{LS}}$ の項を落とすと、$f(\theta)$ がくくり出せない。 問題文が「液相と壁面との界面積は $A_{\mathrm{CS}}$ だけ減少している」と注意を促しているのは、 まさにこの項のことである。

臨界半径が変わらないこと

$\Delta G_{\text{het}}$ は $\Delta G_{\text{hom}}$ を定数倍しただけなので、 $d\Delta G/dr=0$ を与える $r$ は共通である。 「壁面では小さな核でよい」と書くのは誤りで、正しくは「同じ大きさの核を作る仕事が小さくてすむ」である。 球欠なので、同じ $r$ でも体積は $f(\theta)$ 倍しかないことが実質的な利得になっている。

$f(\theta)$ の値の感覚

$\theta=30^{\circ}$ なら $f\simeq0.013$、$\theta=90^{\circ}$ で $f=0.5$ である。 ぬれがよい場合は障壁が2桁下がる。鋳造で接種剤（核生成剤）を加えて結晶粒を微細化するのは、 この $f$ を小さくする粒子を意図的に分散させる操作である。

答案の構成

設問は「(1)(2)式を使って説明」と指定しているので、 $f(\theta)$ の値域を評価して $\Delta G_{\text{het}}\le\Delta G_{\text{hom}}$ を示すことが本体である。 そのうえで(2-1)の過冷却と結びつけ、$\theta$ が大きいほど過冷度が大きくなると述べれば要求を満たす。