京大 経営管理教育部（専門職学位課程） 数学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

方針

1) は代入だけだが，分布を問われているので4つの値をすべて書き，和が1になることを添える。2) は吸収公式 $k\,{}_{n}C_{k}=n\,{}_{n-1}C_{k-1}$ で和を二項定理の形に戻すのが最短で，$E(X^{2})$ を直接求めようとすると $k^{2}$ の扱いで行き詰まる。3) は「$p$ が小さく $n$ が大きい」を「$\lambda=np$ を固定して $n\to\infty$」と読み替えることがすべてであり，この宣言を冒頭に書くかどうかで答案の質が決まる。

2) の別解

$i$ 回目の試行で表なら1，裏なら0をとる確率変数 $X_{i}$ を導入すると $X=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ と書ける。$E(X_{i})=p$，$E(X_{i}^{2})=p$ なので $V(X_{i})=p-p^{2}=p(1-p)$ であり，$X_{1},\dots,X_{n}$ は独立だから $$E(X)=\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})=np,\qquad V(X)=\sum_{i=1}^{n}V(X_{i})=np(1-p)$$ となる。分散の加法性には独立性が必要であることを一言添えれば，この解法でも減点されない。確率母関数 $G(t)=E(t^{X})=(q+pt)^{n}$ を用いて $E(X)=G'(1)=np$，$E[X(X-1)]=G''(1)=n(n-1)p^{2}$ としてもよい。

数値で確かめる

$n=20$，$p=0.1$（このとき $\lambda=np=2$）で両分布を並べると，$n$ がさほど大きくなくても値がよく一致することがわかる。

検算

極限の妥当性は平均と分散でも確かめられる。ポアソン分布は平均も分散も $\lambda$ であるのに対し，二項分布では $E(X)=np=\lambda$，$V(X)=np(1-p)=\lambda\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)\to\lambda$ となり，極限で両者が一致する。さらに $\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$ なので，極限の関数がきちんと確率分布になっていることも確認できる。

失点しやすい点

3) で $p\to0$ と $n\to\infty$ を無関係に扱うと $(1-p)^{n}$ の極限が定まらない。$np=\lambda$ という結びつきを最初に書くこと。また $(1-\lambda/n)^{n-k}$ を $(1-\lambda/n)^{n}$ だけに置き換えて残りの $(1-\lambda/n)^{-k}$ を落とす答案が多いが，「$k$ は固定なので1に収束する」と明示するのが安全である。2) で $V(X)=np$ と書く誤りは，$1-p\approx1$ というポアソン近似の結論を先取りしたものである。この設問は，二項分布の基本量を定義から導けるかと，極限操作でどの量を固定するかを意識できるかを試している。

方針

手順が指定されているので，特性方程式 $\lambda^{2}-3\lambda+2=0$ を書いて $y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}$ と即答するのは出題意図に反する。連立化，固有値・固有ベクトル，対角化，変数分離，逆変換の5段をすべて書く。$P^{-1}$ は $2\times2$ なので余因子で一気に求められ，$\det P=1$ なので分数も出ない。

検算

得られた $y$ を式①に直接代入すると $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-3\frac{dy}{dx}+2y =C_{1}(1-3+2)e^{x}+C_{2}(4-6+2)e^{2x}=0$$ となり，確かに解である。初期条件を与えたときの定数は $\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}y(0)\\y'(0)\end{pmatrix}$ で決まる。たとえば $y(0)=1$，$y'(0)=0$ なら $C_{1}=2$，$C_{2}=-1$ で $y=2e^{x}-e^{2x}$ となり，$y'(0)=2-2=0$ を満たす。

背景

$A$ は多項式 $\lambda^{2}-3\lambda+2$ のコンパニオン行列であり，$\det(A-\lambda I)$ が微分方程式の特性方程式そのものになる。一般に $n$ 階の定数係数線形方程式は $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ を成分とする $n$ 次元の1階連立系に直せ，その係数行列の固有値が特性根に一致する。高校以来使ってきた「$e^{\lambda x}$ を仮定して特性方程式を立てる」手続きが，行列の固有値問題として説明される，というのがこの設問の背景である。

重解・複素根の場合

特性方程式が重解 $\lambda_{0}$ をもつとき，コンパニオン行列の固有空間は1次元しかないので対角化できず，ジョルダン標準形 $\begin{pmatrix}\lambda_{0}&1\\0&\lambda_{0}\end{pmatrix}$ になる。このとき一般解は $(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{0}x}$ の形をとる。複素共役根 $\alpha\pm i\beta$ のときは複素数の範囲で対角化でき，$e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ の実部と虚部をとって $e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin\beta x)$ と書き直す。本問は相異なる実根なので，何の但し書きもなく対角化できる恵まれた場合である。

失点しやすい点

$dt/dx=3t-2s$ を $(s,t)$ の順に並べ直さずに行列へ写すと，$A$ の第2行が $(3,-2)$ になってしまう。固有ベクトルには定数倍の自由度があるので「$(1,1)^{\mathsf{T}}$ の定数倍」と書き，$P$ の列の順序と $D$ の対角成分の順序をそろえる。最後は一般解を問われているので，任意定数が2個現れることを明示する。この設問は，微分方程式の解法そのものより，対角化が連立系の分離にどう効くかを理解しているかを試している。

方針

3段構成の設問だが，1) の結論（$H$ が半正定値）と 3) の場合分けはつながっている。$r=4$ は 1) で求めた範囲の内側にあるので狭義凸が使え，「Kuhn--Tucker 点が見つかればそれが大域的最小解」と言い切れる。凸でない問題ならこの一言が使えず，見つけた停留点が最小である保証がない。

場合分けの書き方

相補性条件 $\mu(2x+y-5)=0$ は「$\mu=0$」か「$2x+y=5$」のいずれかを要求する。実務的には，まず制約を無視した停留点を求めてそれが実行可能かどうかを確かめ，実行可能ならそこで終わり，実行不可能なら制約を等式にして解き直す，という順で書けばよい。ただし答案としては (b) を検討して $\mu<0$ になることまで示すと，条件を尽くしたことが伝わって安全である。逆に (b) から始めて $\mu<0$ を得た場合も，そこで「よって制約は有効でない」と結論して (a) に移ればよい。

検算

$(3/4,-1/2)$ が停留点であることは $f_{x}=8\cdot\frac34-4\cdot\left(-\frac12\right)-8=6+2-8=0$，$f_{y}=-4\cdot\frac34+6\cdot\left(-\frac12\right)+6=-3-3+6=0$ で確かめられる。また $u=x-\frac34$，$v=y+\frac12$ と平行移動すると $$f=4u^{2}-4uv+3v^{2}-\frac92$$ と1次の項が消え，$4u^{2}-4uv+3v^{2}=4\left(u-\frac{v}{2}\right)^{2}+2v^{2}\ge0$ なので，$f\ge-\frac92$ が等号 $u=v=0$ のときに限って成り立つ。この平方完成は，狭義凸であることと最小値 $-9/2$ を同時に確認できる。

失点しやすい点

半正定値性の判定で首座小行列式（$f_{xx}$ と $\det H$）だけを見るのは誤りで，半正定値の場合はすべての主小行列式を見る必要がある（本問では $f_{yy}=6>0$ なので結論は変わらない）。凸性の範囲を $r>0$ に限って $0\le r\le4\sqrt3$ と答えるのも取りこぼしで，$r$ の符号は指定されていない。乗数の符号は定式化に依存し，$L=f-\mu g$ と置いた場合は $\mu\le0$ になるので，自分の置き方を明記すること。3) では制約が有効でないことを確かめずに $(3/4,-1/2)$ と答えると，条件を確認していない答案とみなされる。

方針

最初に $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ と外積 $\mathbf{n}=(3,4,5)$ を求めてしまえば，4つの小問はすべてこの4本のベクトルの組み合わせで片づく。1) は $\mathbf{n}\neq\mathbf{0}$，2) は $\mathbf{n}$ を法線とする平面，3) は $\mathbf{n}$ 方向への射影の長さ，4) は $\overrightarrow{AD}$ から法線成分を引いた残りと $|\mathbf{n}|/2$ である。答案の冒頭でこの4本を並べておくと，以降の計算が短くなる。

4) の別解（正規方程式）

射影ベクトルを最初から $\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ とおき，「差 $\overrightarrow{AD}-(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC})$ が $\overrightarrow{AB}$ とも $\overrightarrow{AC}$ とも直交する」という条件から連立方程式を立ててもよい。必要な内積は $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=9,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2,\quad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=6,\quad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=1,\quad \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=0$$ であるから，グラム行列を用いて $$\begin{pmatrix}9&2\\2&6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} =\frac{1}{50}\begin{pmatrix}6&-2\\-2&9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3/25\\-1/25\end{pmatrix}$$ と同じ答えが出る。このときグラム行列式が $9\cdot6-2^{2}=50=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|^{2}$ になっており，面積 $\dfrac12\sqrt{50}$ をこの行列式から直接読むこともできる。外積を使わずに解く場合はこの道筋が便利である。

検算

3) と 4) は互いに整合している。$|\overrightarrow{AD}|^{2}=1+1+1=3$ であり，法線方向成分の長さは $\dfrac{12}{50}\cdot5\sqrt2=\dfrac{6\sqrt2}{5}$ で 3) の距離に一致する。三平方の定理から平面上成分の長さの2乗は $$|\overrightarrow{AD}_{\parallel}|^{2}=|\overrightarrow{AD}|^{2}-d^{2} =3-\frac{72}{25}=\frac{3}{25}$$ で，直接計算した $\dfrac{1}{25^{2}}(7^{2}+1^{2}+5^{2})=\dfrac{75}{625}=\dfrac{3}{25}$ と合う。四面体 $ABCD$ の体積でも確かめられる。スカラー三重積からは $$V=\frac16\left|\overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\right| =\frac16|3+4+5|=2,$$ 底面積と高さからは $V=\dfrac13Sd=\dfrac13\cdot\dfrac{5\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{6\sqrt2}{5}=2$ で一致する。

測量データとしての読み方

平面上成分の長さは $|\overrightarrow{AD}_{\parallel}|=\dfrac{\sqrt3}{5}\fallingdotseq0.35$ m で，$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt3\fallingdotseq1.73$ m のうちほとんどが法線方向である。つまり点 $D$ は標柱 $A$ のほぼ真上にあり，$\overrightarrow{AD}$ と平面のなす角は $90^{\circ}$ に近い。また $\beta=-\dfrac{1}{25}<0$ なので，垂線の足 $H$ は辺 $AB$ を境に $C$ と反対側に落ち，厳密には三角形 $ABC$ の内部からわずかに外れている。図3 で $H$ が $A$ のすぐ近くに描かれるのはこのためである。答案では計算結果をそのまま述べればよい。

失点しやすい点

1) を「$\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{AC}$ の定数倍でない」とだけ書くのは検証になっていない。外積が零でないこと，または成分比が一致しないことを示す。外積の計算では $\mathbf{j}$ 成分の符号（余因子展開の交代符号）を落としやすいので，$(3,4,5)$ が $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の双方と内積0になることをその場で確認しておくとよい。3) は平面の式を右辺0の形に直してから代入する。4) で求めるのは $\overrightarrow{AD}$ から法線成分を引いた残りであって，法線成分そのものではない。面積を $\dfrac12|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$ としてしまう誤りも多い（$\sin\theta$ が抜けている）。この設問は，外積・内積・直交射影という3つの道具を同じ座標データに一貫して適用できるかを試している。