京大 経営管理教育部（専門職学位課程） 数学 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

方針

既知の級数を代入する方法と，導関数を順に計算する方法の2通りがある。本問は2次までなので後者でも手間は同じだが，3次以上まで求める場合は前者が圧倒的に速い。$(\sin x+1)^2$ を先に展開して $\sin^2x+2\sin x+1$ にしておくと，$\sin^2 x$ の最低次が2次であることがすぐ見え，2次の項の係数が $\sin^2x$ から1，$2\sin x$ から0で合わせて1だと分かる。

検算

$x=0.1$ とすると $\sin 0.1=0.0998334$ より $f(0.1)=1.0998334^{2}=1.2096335$ である。近似式の値は $1+0.2+0.01=1.21$ で，差は $-3.7\times10^{-4}$ である。3次の項は上の計算から $-x^{3}/3=-3.3\times10^{-4}$ で，差の大きさと符号がよく一致している。展開の符号を取り違えていないことの確認になる。

失点しやすい点

第一に，マクローリン級数は $x=0$ のまわりのテイラー展開なので，展開の中心を書き添えると誤解がない。第二に，$(\sin x+1)^{2}$ を $\sin^{2}x+1$ としてしまう誤りが多い。交差項 $2\sin x$ が1次の係数2を生む主役である。第三に，「2次の項まで」と指定されているので，打ち切りの意味で $O(x^{3})$ または「$+\cdots$」を付けておく。

方針

$z=f(x,y)$ の形に書けている曲面なので，全微分 $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$ を接点で評価する標準の公式をそのまま使う。陰関数 $F(x,y,z)=xyz-1=0$ とみて法線ベクトル $\nabla F=(yz,\,xz,\,xy)$ を求めてもよく，接点では $\nabla F=\bigl(\tfrac1\alpha,\tfrac1\beta,\alpha\beta\bigr)$ となって，上の対称形がそのまま出てくる。答案では公式に代入する1行を必ず残す。

検算

接点 $(x,y,z)=(\alpha,\beta,1/(\alpha\beta))$ を代入すると $1+1+1=3$ で成り立つ。また $\alpha=\beta=1$ とすると接点は $(1,1,1)$，接平面は $x+y+z=3$ となり，$f_x(1,1)=f_y(1,1)=-1$ という傾きと整合する。整理の途中で $\alpha\beta$ を掛け忘れると定数項が3にならないので，この代入は有効な確認になる。

幾何的な意味

$\alpha>0$，$\beta>0$ とすると，接平面が座標軸を切る点は $(3\alpha,0,0)$，$(0,3\beta,0)$，$\bigl(0,0,\tfrac{3}{\alpha\beta}\bigr)$ である。これらと原点が作る四面体の体積は $$\frac{1}{6}\cdot 3\alpha\cdot 3\beta\cdot\frac{3}{\alpha\beta}=\frac{9}{2}$$ で，接点の位置によらず一定である。$xyz=1$ 型の曲面がもつ古典的な性質で，答案に書く必要はないが，計算結果の妥当性を感じ取る目安になる。

失点しやすい点

「曲面上の点 $(\alpha,\beta)$」は $xy$ 平面上の位置を指しており，接点の $z$ 座標は自分で $1/(\alpha\beta)$ と補う必要がある。定数項を $\dfrac{1}{\alpha\beta}$ のままにして $\dfrac{3}{\alpha\beta}$ にし損ねる誤りが最も多い。$\alpha\neq0$，$\beta\neq0$ という定義域の条件も一言添える。

方針

$x\,y'+y$ を見た瞬間に $(xy)'$ と気付けるかどうかで所要時間が変わる。気付かなくても標準形に直して積分因子を作れば必ず解けるので，答案では積分因子 $\mu=x$ を明示してから進めるのが安全である。$\int x\log x\,dx$ は部分積分で，$\log x$ を微分する側，$x$ を積分する側に取る。

検算

得られた $y$ を微分すると $$y'=\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{C}{x^{2}} =\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{4}-\frac{C}{x^{2}}$$ であるから $$x y'+y=\Bigl(\frac{x}{2}\log x+\frac{x}{4}-\frac{C}{x}\Bigr) +\Bigl(\frac{x}{2}\log x-\frac{x}{4}+\frac{C}{x}\Bigr)=x\log x$$ となり，もとの方程式を満たす。$C$ を含む項が打ち消し合うことまで確かめると，同次解 $C/x$ の形も正しいと確認できる。

解の構造

一般解は同次方程式 $xy'+y=0$ の解 $C/x$ と，特殊解 $\dfrac{x}{2}\log x-\dfrac{x}{4}$ の和になっている。1階線形方程式の一般解が「同次解＋特殊解」であるという構造を答案で一言示すと，任意定数が1つだけであることの説明にもなる。

失点しやすい点

積分定数を付ける位置を誤り，$xy=\cdots$ の段階で $C$ を落として最後に付けると $C$ が $C/x$ にならない。また $-\dfrac{x^{2}}{4}$ の項は部分積分の第2項から出るもので，ここを落とすと検算が合わない。$x>0$ という条件は $\log x$ の定義域と，$x$ で割る操作の正当化の両方に効いているので明記する。

直交座標による別解

$x$ を固定すると $y$ は $0$ から $\sqrt{1-x^{2}}$ まで動くので $$\iint_{D}y\,dx\,dy=\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}y\,dy\,dx =\int_{-1}^{1}\frac{1-x^{2}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(2-\frac{2}{3}\Bigr)=\frac{2}{3}$$ となり同じ値を得る。被積分関数が $y$ の1次式だけなので，実は直交座標のほうが手数が少ない。答案ではどちらか一方を丁寧に書けばよい。

検算と意味

$D$ の面積は $\dfrac{\pi}{2}$ であるから，この積分は半円板の重心の $y$ 座標を与え， $$\bar y=\frac{2/3}{\pi/2}=\frac{4}{3\pi}\approx0.4244$$ となる。半径1の半円板の重心が中心から $4/(3\pi)$ の高さにあるという既知の結果と一致する。値が $0<\bar y<1$ の範囲に入っていること，また上半分に限ったので正の値になることの2点で，符号と大きさの妥当性を確かめられる。

失点しやすい点

極座標に直すときヤコビアン $r$ を落とすと $\int_0^1 r\,dr=1/2$ となって答えが $1$ になってしまう。また $y\ge0$ の条件を落として $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと，対称性から積分値が $0$ になる。領域を図示して積分範囲を確定してから計算に入ると，この2つの誤りは避けられる。

答案の書き方

「その理由もあわせて具体的に述べよ」とあるので，行列式が $0$ であるという判定だけでは答え切っていない。$0$ でない係数の組を1つ提示して等式を書くところまでが求められている。逆に，係数の組さえ示せば行列式の計算を省いても論理は閉じるが，判定の根拠として行列式も添えるほうが読み手に親切である。

別の示し方

掃き出し法で階数を求めてもよい。3本を列に並べた行列を簡約すると階数は2になり，$3$ 本のベクトルが張る空間が2次元であること，つまり1本が他の2本の1次結合で書けることが分かる。階数2という値は，$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ が平行でない（比が一定でない）ことから確認できる。

検算

$2\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2=(4+1,\,-6-1,\,2-2)^{\top}=(5,-7,0)^{\top}=\mathbf{v}_3$ で，3成分すべてが一致する。連立方程式を2式だけで解いた場合，残りの1式で必ず確認する。ここで合わなければ，そもそも1次従属ではない（行列式が $0$ でない）ことを意味する。

失点しやすい点

「行列式が $0$ だから従属」で止める答案，符号を1か所間違えて $\mathbf{v}_3=2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$ としてしまう答案が典型である。また「1次従属」と「どれか1本が $\mathbf{0}$ である」ことを混同しないよう，定義（自明でない係数の組が存在する）に沿って書く。

方針

まず内積を計算して直交しているかを確かめるのが第一手である。直交していればグラム・シュミットの計算は不要になり，外積1回と正規化で終わる。もし直交していなければ，$\mathbf{a}_2'=\mathbf{a}_2-\dfrac{\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2}{\|\mathbf{a}_1\|^{2}}\mathbf{a}_1$ と直交化してから同じ手順に進む。本問は $\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2=0$ が仕込まれており，そこに気付けるかを試している。

外積以外の作り方

$\mathbf{a}_3=(p,q,r)^{\top}$ とおいて $2p-q+4r=0$ と $-3p-2q+r=0$ を連立させても求まる。第1式から $q=2p+4r$ を第2式に代入すると $$-3p-2(2p+4r)+r=-7p-7r=0$$ より $p=-r$，このとき $q=2r$ となるので，解は $r(-1,2,1)^{\top}$ という1次元の自由度をもち，$(1,-2,-1)^{\top}$ の定数倍と一致する。外積を使うほうが速いが，公式を忘れても連立方程式で必ず作れる。

検算

内積を確かめると $\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_3=2\cdot1+(-1)\cdot(-2)+4\cdot(-1)=2+2-4=0$，$\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_3=(-3)\cdot1+(-2)\cdot(-2)+1\cdot(-1)=-3+4-1=0$ で，どちらも直交している。さらに $\|\mathbf{e}_i\|=1$ を確かめると，$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ を列にもつ行列は直交行列になる。外積の向きの規約から，この順で並べた行列の行列式は $+1$ である。

失点しやすい点

「正規直交基底」なので，直交させただけで正規化を忘れると減点される。外積の第2成分は $a_{1z}b_{1x}-a_{1x}b_{1z}$ の形で符号が入れ替わるため，計算をそのまま公式に当てはめると $-14$ の符号を落としやすい。$7$ で割って簡単なベクトルにしてから正規化すると，根号の中身が $6$ となり計算が軽くなる。

方針

実対称行列は必ず直交行列で対角化できる。手順は，固有多項式を因数分解する，各固有値の固有ベクトルを求める，正規化して列に並べる，の3段である。本問は固有値が相異なるので，固有ベクトルの直交性を自分で作る必要がなく，正規化だけで直交行列になる。固有値に重複がある場合は，重複固有値の固有空間の中でグラム・シュミットの直交化が必要になる。

検算

固有値の和は $2+1-1=2$ で，$\mathrm{tr}\,A=1+1+0=2$ に一致する。固有値の積は $2\cdot1\cdot(-1)=-2$ で， $$\det A=1\cdot(1\cdot0-1\cdot1)+1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)=-1-1=-2$$ に一致する。トレースと行列式の2つで確認すれば，固有多項式の係数の誤りはほぼ排除できる。個々の固有ベクトルも $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ に代入して確かめられる。たとえば $A(1,1,1)^{\top}=(2,2,2)^{\top}=2(1,1,1)^{\top}$ である。

答案の書く順序

「直交行列を求めよ」「その結果を用いて対角化せよ」と2段階で問われているので，$P$ を書いたあとに $P^{\top}AP$ の形の等式まで書いて締める。対角成分の並びは $P$ の列の並びと対応させる必要があり，$P$ の第1列を $\lambda=2$ の固有ベクトルにしたなら対角行列の $(1,1)$ 成分は $2$ である。この対応を崩すと誤答になる。

失点しやすい点

$P^{-1}AP$ を $PAP^{-1}$ と書く向きの誤り，正規化を忘れて直交行列でない行列を答えてしまう誤り，$\lambda=1$ の固有ベクトルを $(1,1,0)^{\top}$ と符号を取り違える誤りが多い。$P$ が直交行列であることは $P^{\top}P=I$ を1行示せば足りるので，時間があれば添える。

方針

連続型確率変数の問題は，(i) 正規化条件 $\int f=1$ で未知定数を決める，(ii) 対称性を使って平均を出す，(iii) $E[X^{2}]$ を計算して $V=E[X^{2}]-(E[X])^{2}$ に入れる，という3段で必ず片付く。奇関数・偶関数の判定を先に済ませておくと，積分の手数が半分になる。

検算

同じ区間 $[-1,1]$ 上の一様分布の分散は $\dfrac{(1-(-1))^{2}}{12}=\dfrac13$ である。本問の密度は上図のように中央が高く両端が $0$ なので，質量が原点近くに集まる分だけ分散は小さくなるはずで，$\dfrac15<\dfrac13$ は整合する。また $|X|\le1$ より $V[X]\le E[X^{2}]\le1$ という上限とも矛盾しない。$A$ については $\frac34\cdot\frac43=1$ を暗算で確かめられる。

背景

$f_X(x)=\frac34(1-x^{2})$（$|x|\le1$）はカーネル密度推定で使われるエパネチニコフ核と同じ形で，平均 $0$，分散 $\dfrac15$ という値もそこで標準的に現れる。滑らかな山型で台がコンパクトという扱いやすさから，教科書の例題によく採用される密度である。

失点しやすい点

分散を $E[X^{2}]$ のまま答えてしまう（本問は $E[X]=0$ なので偶然一致するが，定義式は書く），積分範囲を $(-\infty,\infty)$ のままにして発散させる，$\int_{-1}^{1}x^{4}dx=\frac25$ を $\frac15$ と誤る，といった誤りが典型である。$A$ が正であること（密度が非負であること）にも一言触れておくと丁寧である。

別解：主問題を解いて読み取る

双対問題の双対は主問題であり，主問題は最大化・$\le$・右辺非負なのでスラック変数 $s_1,s_2,s_3$ を入れるだけで初期実行可能基底が得られる。通常の単体法を適用すると， $$\begin{array}{c|rrr|rrr|r} \text{基底} & x_1 & x_2 & x_3 & s_1 & s_2 & s_3 & \text{右辺}\\\hline s_1 & 5 & 6 & 7 & 1 & 0 & 0 & 8\\ s_2 & 3 & -4 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2\\ s_3 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 2\\\hline z & -2 & -5 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$ から出発し，$x_3$ を入れて $s_2$ を出す，$x_2$ を入れて $s_1$ を出す，という2回の枢軸演算で $$\begin{array}{c|rrr|rrr|r} \text{基底} & x_1 & x_2 & x_3 & s_1 & s_2 & s_3 & \text{右辺}\\\hline x_2 & -\tfrac{11}{40} & 1 & 0 & \tfrac{1}{20} & -\tfrac{7}{40} & 0 & \tfrac{1}{20}\\ x_3 & \tfrac{19}{20} & 0 & 1 & \tfrac{1}{10} & \tfrac{3}{20} & 0 & \tfrac{11}{10}\\ s_3 & \tfrac{111}{40} & 0 & 0 & -\tfrac{1}{20} & \tfrac{27}{40} & 1 & \tfrac{59}{20}\\\hline z & \tfrac{93}{40} & 0 & 0 & \tfrac{17}{20} & \tfrac{1}{40} & 0 & \tfrac{137}{20} \end{array}$$ という最適表に達する。最終表の目的関数行でスラック変数の列に現れる値 $\left(\frac{17}{20},\frac{1}{40},0\right)$ がそのまま双対問題の最適解であり，上の結果と一致する。2つの表は互いに転置の関係にあり，主問題の最適解 $(x_1,x_2,x_3)=\left(0,\frac{1}{20},\frac{11}{10}\right)$ は双対単体法の最終表の $t_1,t_2,t_3$ 列から読み取れる。

双対定理と相補性の確認

主問題の最適値は $z=5\cdot\frac{1}{20}+6\cdot\frac{11}{10}=0.25+6.6=6.85$ で，双対問題の最適値 $w=6.85$ と一致する（強双対定理）。相補性条件も次のように整合する。双対の第1制約は $4.325>2$ と余裕があり，対応する $x_1=0$。$y_1>0$，$y_2>0$ なので主問題の第1・第2制約は等号で成立し，実際 $6\cdot\frac{1}{20}+7\cdot\frac{11}{10}=8$，$-4\cdot\frac{1}{20}+2\cdot\frac{11}{10}=2$ である。$y_3=0$ に対応する主問題の第3制約は $3\cdot\frac{1}{20}-\frac{11}{10}=-0.95<2$ で余裕がある。答案の最後にこの確認を1行入れると，計算ミスがないことを示せる。

2段階法を使う場合

双対単体法を使わずに通常の単体法だけで解くなら，双対問題の3本の $\ge$ 制約それぞれに余剰変数と人為変数を入れ，第1段階で人為変数の和を最小化して実行可能基底を作り，第2段階で $w$ を最小化する。手順としては正しいが，変数が9個に増えて表が大きくなり，試験時間内では割に合わない。$y$ の符号条件から出発点が定まらない形の問題では，双対単体法か，主問題を解いて読み取る方法を選ぶのが実務的である。

失点しやすい点

双対問題を作るとき，最大化・$\le$ の主問題に対して双対は最小化・$\ge$ になり，係数行列は転置，目的関数の係数と右辺が入れ替わる，という対応を1つでも取り違えると以降がすべて崩れる。また双対変数の非負条件 $\mathbf{y}\ge\mathbf{0}$ を書き忘れる答案が多い。単体表では，出す行を右辺の負値で選ぶ（双対単体法）のと，入れる列を目的関数行で選ぶ（通常の単体法）のとで基準が逆であることを意識する。

この設問が試していること

双対問題を機械的に書けるかどうかに加え，「双対問題の最適解は主問題の最適表の中にすでに入っている」という双対定理の意味を理解しているかを試している。経営科学の文脈では $y_i$ は第 $i$ 制約の資源1単位あたりの限界価値（シャドープライス）であり，本問なら第1の資源を1単位増やすと最適値が $0.85$ 増え，第3の資源は余っているので価値が $0$ である，と読める。

方針

1) で凸計画問題の定義を書き，2) でヘッセ行列の正定値性から凸性を示し，3) でKuhn--Tucker条件を並べ，4) でそれを解く，という流れが問題文にそのまま用意されている。したがって4)を解くときに，2)で示した凸性を根拠として「Kuhn--Tucker点が大域最適解である」と結論づけることが，設問どうしをつなぐ要点になる。ここを書かずに「Kuhn--Tucker点を求めた」で終えると，最適解であることの論証が抜ける。

凸性の示し方

2変数の関数の凸性は，ヘッセ行列が半正定値であることと同値である。判定は首座小行列式（$H_{11}\ge0$ かつ $\det H\ge0$，狭義なら $>0$）を書けばよく，固有値を求める必要はない。固有値で示すなら $\nabla^{2}f$ の固有値は $3$ と $1$ でともに正である。制約側は「凸関数の劣位集合 $\{g\le c\}$ は凸集合」という定理を引用する形が最短である。

検算

目的関数を平方完成すると $$f(x_1,x_2)=\Bigl(x_1+\frac{x_2}{2}\Bigr)^{2}+\frac34x_2^{2}\ \ge 0$$ で，等号は $x_2=0$ かつ $x_1=0$ のとき，すなわち原点だけである。原点は実行可能なので，制約を考えるまでもなく原点が最小点だと分かる。Kuhn--Tucker条件から得た答えがこの直接の議論と一致することが確認になる。平方完成は凸性（正定値性）の別証明にもなっている。

制約が効く場合との対比

同じ問題を最大化に変えると事情が変わる。$f$ の等高線は $(1,1)$ 方向に対する係数が $\frac32$，$(1,-1)$ 方向に対する係数が $\frac12$ の楕円なので，単位円上での $f$ の値は $\frac12$ から $\frac32$ まで動き，最大値 $\frac32$ は $\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)$ とその反対点で達成される。このとき制約は有効になり乗数は正になる。最小化では制約が効かず，最大化では効くという対比を押さえておくと，相補性条件の使い方が身につく。

失点しやすい点

最小化問題のラグランジュ関数を $f-\mu g$ と符号を逆に置くと，$\mu\ge0$ の向きが合わなくなる。$g\le0$ の最小化では $\nabla f+\mu\nabla g=\mathbf{0}$，$\mu\ge0$ が正しい向きである。また，はじめから制約が有効（$x_1^{2}+x_2^{2}=1$）と決めつけてラグランジュの未定乗数法で解くと，$\mu<0$ という条件違反の解しか出てこない。相補性条件のもとで「制約が有効な場合」と「有効でない場合」を分けて調べる姿勢が求められている。