京大 経営管理教育部（専門職学位課程） 数学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

方針

設問1は4つの小問が独立ではなく，1) の級数展開を 2) の平均の計算に，2) の確率関数を 3) の初生起時間に，3) までの設定を 4) の数値計算に，という順に使う構成になっている。したがって 1) で $\sum\mu^{k}/k!=e^{\mu}$ を確立し，2) では「$x/x!=1/(x-1)!$ と約分して添字をずらす」という一手で片づける。この一手が書けるかどうかがポアソン分布の計算問題全体の分かれ目である。

1) をどこまで書くか

「マクローリン級数展開を用いて示せ」なので，$f^{(k)}(0)=1$ を確認して係数を決める部分は必須である。厳密には，形式的に級数を書くだけでは「その級数が $e^{\mu}$ に等しい」ことは言えないので，剰余項が $0$ に収束することまで触れておきたい。時間がなければ「$|\mu|^{n}/n!\to0$ より剰余項は $0$ に収束する」の一文でもよい。

3) の空欄の埋め方

空欄①を「一回も生起しない」と書くと逆になる。$T\le t$ は「$t$ までに起きてしまった」ことなので，起きた回数は1回以上である。この誤りを避けるには，②で $P(X=0)=e^{-\lambda t}$ を求めた後に $F_T(t)=1-e^{-\lambda t}$ と余事象で結ぶ流れを先に思い描くとよい。得られた $F_T$ を微分すると密度 $f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ となり，$T$ が母数 $\lambda$ の指数分布に従うこと，その平均が $1/\lambda$ であることが分かる。ポアソン過程の生起回数がポアソン分布，生起間隔が指数分布という対応は，待ち行列や信頼性の議論の出発点になる。

4) の失点しやすい点

最大の落とし穴は $\lambda$ の単位である。「1日あたり12回」をそのまま使って $\lambda t=12\times2=24$ とすると誤りで，稼働時間が8時間と与えられているので $\lambda=12/8=1.5$ 回／時間とする。もう一つは「5回以上」の扱いで，$P(X\ge5)=1-P(X\le4)$ と余事象をとる。$P(X\le5)$ を引くと $x=5$ の項まで除いてしまう。

検算

与えられた2つの数値は $\bigl(e^{1.5}\bigr)^{2}=4.48^{2}=20.07\fallingdotseq20.1=e^{3}$ と整合しており，$\lambda t=3$ という読み取りが正しいことの裏づけになる。また平均が3回の分布で「5回以上」は平均よりやや右の裾なので，確率が $0.2$ 弱になるのは妥当である。仮に $\lambda t=1.5$（1時間分）と誤読すれば $P(X\ge5)$ は $0.02$ 程度まで下がり，$\lambda t=24$ と誤読すればほぼ $1$ になるので，得られた $0.185$ という桁感からも読み取りの妥当性を確認できる。

最小であることの確認

一階条件だけでは停留点しか言えないので，答案には二階の条件も一言添えたい。$X$ を第 $i$ 行が $(x_i^{2},\,x_i,\,1)$ である $N\times3$ 行列，$\boldsymbol{y}=(y_1,\dots,y_N)^{\top}$，$\boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{\top}$ とすると $S=\|\boldsymbol{y}-X\boldsymbol{\beta}\|^{2}$ であり，ヘッセ行列は $$\nabla^{2}S=2X^{\top}X$$ で，任意の $\boldsymbol{v}$ に対し $\boldsymbol{v}^{\top}X^{\top}X\boldsymbol{v}=\|X\boldsymbol{v}\|^{2}\ge0$ だから半正定値である。よって $S$ は凸関数で，停留点は大域的最小点である。正規方程式は $X^{\top}X\boldsymbol{\beta}=X^{\top}\boldsymbol{y}$ と同じもので，上の行列が $X^{\top}X$，右辺が $X^{\top}\boldsymbol{y}$ にあたる。

解の一意性

$X^{\top}X$ が正則であるためには $X$ の列が一次独立であること，すなわち $x_1,\dots,x_N$ のうち相異なる値が3個以上あることが必要十分である。相異なる $x$ が2個以下なら，その点を通る2次曲線は無数にあり $a,b,c$ は定まらない。答案では「$N\ge3$ かつ $x_i$ に相異なる値が3個以上ある」と条件を書いておくと丁寧である。

答案の書き方

「定式化せよ」「求めよ」という指示なので，$S$ の式と3本の連立方程式を書けば要件を満たす。ただし「目的関数が最適化される条件から」とあるので，偏微分して $0$ とおく過程は必ず書く。$\partial S/\partial a$ を計算する際に合成関数の微分で $-x_i^{2}$ が出ることを明示すると，係数 $\sum x_i^{4}$ の由来が採点者に伝わる。

この設問が試していること

残差を「$y$ 方向の差」ととる非対称性（曲線までの垂直距離ではない）と，パラメータ $a,b,c$ について線形であるために解が連立一次方程式に帰着するという構造の理解である。あてはめる曲線が2次でも，未知数の入り方が線形なので線形回帰の枠組みで扱えることが要点になる。

方針

どちらの小問も「制約付き最適化」に翻訳してからラグランジュ乗数法を機械的に適用する。1) は距離そのものではなく距離の2乗を目的関数にとるのが定石で，平方根の微分を避けられ，最小点は同じである。2) は対称性から第1象限の頂点だけを変数にとり，面積を $4xy$ と書く。この「変数の置き方」が決まれば，あとは一階条件2本と制約1本の連立になる。

1) の別解と検算

垂線の足は，法線ベクトル $\boldsymbol{n}=(2,5,-3)$ を用いて $(x,y,z)=(1,-3,4)+t\,\boldsymbol{n}$ とおき，平面の式に代入して $t$ を定めても求まる。実際 $2(1+2t)+5(-3+5t)-3(4-3t)=13$ から $-25+38t=13$，$t=1$ となり $(3,2,1)$ を得る。一階条件から出た $\lambda$ と $t$ の関係は $\lambda=2t$ である。検算としては，(i) 得られた点 $(3,2,1)$ が平面上にあること $2\cdot3+5\cdot2-3\cdot1=13$，(ii) 差ベクトル $(3,2,1)-(1,-3,4)=(2,5,-3)$ が法線ベクトルに平行であること，(iii) 距離が点と平面の距離の公式 $$d=\frac{|2\cdot1+5\cdot(-3)-3\cdot4-13|}{\sqrt{2^{2}+5^{2}+(-3)^{2}}} =\frac{38}{\sqrt{38}}=\sqrt{38}$$ と一致すること，の3点をすべて確かめられる。

2) の別解

$x=3\cos\theta$，$y=2\sin\theta$（$0<\theta<\pi/2$）と媒介変数表示すると $A=4\cdot3\cos\theta\cdot2\sin\theta=12\sin2\theta$ となり，$\theta=\pi/4$ で最大値 $12$ をとる。このとき $x=3/\sqrt2$，$y=\sqrt2$ で本解と一致する。一般に長半径 $a$，短半径 $b$ の楕円に内接する長方形の最大面積は $2ab$ であり，ここでは $2\cdot3\cdot2=12$ となる。円（$a=b$）のとき最大長方形が正方形になることの自然な拡張である。

失点しやすい点

2) で「面積 $=xy$」と書いてしまう誤りが多い。頂点が第1象限の $(x,y)$ なら辺は $2x$ と $2y$ なので面積は $4xy$ である。もっとも，最大化する $x,y$ の値自体は定数倍によって変わらないので，$xy$ を最大化しても頂点の座標は正しく求まる。答えの「面積」を答える段階で $4$ 倍を忘れると失点する。また 1) で制約を $2x+5y-3z=13$ のまま $L=f-\lambda g$ の $g$ に代入し忘れる，符号を $L=f+\lambda g$ ととって $\lambda$ の符号がずれる，といった事故もあるが，$\lambda$ の符号は最終的な座標に影響しないので，一貫していれば問題ない。

この設問が試していること

ラグランジュ乗数法は「制約付きの最適化を，未定乗数を1つ増やす代わりに無制約の停留点問題に変える」手法である。1) は初等幾何（正射影）で解けるものを，2) は媒介変数表示で解けるものを，あえて乗数法で処理させることで，手法の適用手順そのものを確認している。したがって答案では，ラグランジュ関数を明示し，一階条件を書き，制約と連立して解く，という3段階を省略せずに示すことが求められている。

方針

「正則であれば」という条件つきの出題なので，2つのうち少なくとも一方は正則でないことを疑ってかかる。3次なら行列式を直接計算するのが速く，4次なら余因子展開よりも $[\,B\mid E\,]$ の掃き出しのほうが確実である。掃き出しの途中で左半分に零行が現れれば正則でないと判定でき，最後まで進めば逆行列がそのまま得られるので，判定と計算を一度にすませられる。

整数のまま計算する工夫

$B$ の $(1,1)$ 成分 $-4$ をそのまま軸にすると分数が大量に出る。上の解答では，先に「第4行$+2\times$第3行$=(1,1,3,-1)$」という先頭が $1$ の行を作ってから第1行に移した。同様に第2列でも「第2行$+$第3行$=(0,1,-13,5)$」で軸を $1$ にしている。第3列以降は軸を $1$ にできないので，残った $2\times2$ ブロックの逆行列を使って2行をまとめて処理した。$\det B=1$ なので逆行列の成分がすべて整数になり，途中でも分数を出さずにすむ。

検算

$B B^{-1}=E_4$ を全部確かめる必要はなく，1〜2成分だけ確認すれば十分である。第1行と第1列の内積は $$(-4)\cdot62+(-7)\cdot(-45)+(-1)\cdot(-20)+2\cdot(-43)=-248+315+20-86=1,$$ 第1行と第2列の内積は $(-4)\cdot65+(-7)\cdot(-47)+(-1)\cdot(-21)+2\cdot(-45)=-260+329+21-90=0$ で，どちらも単位行列の対応する成分に一致する。また，$B^{-1}$ の成分がすべて整数であることは $\det B=\pm1$ を意味し，実際に計算すると $\det B=1$ である。

失点しやすい点

1) で $\det A=0$ を見落として逆行列の公式に代入すると，途中で $0$ 除算になって行き詰まる。行列式が $0$ のときは「正則でないので逆行列は存在しない」と結論として書くことが要求されている。設問文が「正則であればその逆行列を求めよ」なので，判定結果を明示しない答案は減点される。

2) の別解（冪零行列への分解）

$N=A-2E_2=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ とおくと $N^{2}=O$ である。$2E_2$ と $N$ は可換だから二項定理が使え，$N^{2}$ 以降が消えて $$A^{n}=(2E_2+N)^{n}=2^{n}E_2+n\,2^{\,n-1}N =2^{\,n-1}\bigl(2E_2+nN\bigr) =2^{\,n-1}\begin{pmatrix}n+2&-n\\ n&-n+2\end{pmatrix}$$ と，帰納法を使わずに公式そのものを導ける。「示しなさい」という設問なので帰納法で十分だが，この分解を知っていると 4) の計算も楽になる。固有値が重解で対角化できない行列は，このように「スカラー行列＋冪零行列」に分けるのが定石である。

4) の別解（直接和をとる）

$A^{k}=2^{\,k-1}(2E_2+kN)$ を $k=1,\dots,n$ で足すと $$S=2E_2\sum_{k=1}^{n}2^{\,k-1}+N\sum_{k=1}^{n}k\,2^{\,k-1} =\bigl(2^{\,n+1}-2\bigr)E_2+\bigl\{(n-1)2^{\,n}+1\bigr\}N$$ となる。ここで $\sum_{k=1}^{n}2^{\,k-1}=2^{n}-1$，$\sum_{k=1}^{n}k\,2^{\,k-1}=(n-1)2^{n}+1$ を用いた（後者は $\sum kx^{k-1}$ を等比級数の微分から求めるか，$T=\sum k2^{k-1}$ と $2T$ の差をとって導く）。成分を書き下すと本解と一致する。

検算

$n=1$ では $S=A$ でなければならない。公式に $n=1$ を入れると $\begin{pmatrix}2\cdot2-1&2\cdot0-1\\ 2\cdot0+1&2\cdot2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}=A$ で一致する。 $n=2$ では $A^{2}=2\begin{pmatrix}4&-2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}$ だから $S=A+A^{2}=\begin{pmatrix}11&-5\\5&1\end{pmatrix}$ で，公式の値 $\begin{pmatrix}4\cdot3-1&4\cdot(-1)-1\\ 4\cdot1+1&4\cdot1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&-5\\5&1\end{pmatrix}$ とも一致する。対角和で確かめてもよく，$\operatorname{tr}A^{k}=2^{\,k-1}\{(k+2)+(-k+2)\}=2^{\,k+1}$ より $\operatorname{tr}S=\sum_{k=1}^{n}2^{\,k+1}=2^{\,n+2}-4$ で，上の $S$ の対角和 $\{2^{\,n}(n+1)-1\}+\{2^{\,n}(3-n)-3\}=2^{\,n+2}-4$ と一致する。

失点しやすい点

1) で「固有値が重解だから固有ベクトルも2本ある」と誤解しないこと。$\operatorname{rank}(A-2E_2)=1$ なので固有空間は1次元で，独立な固有ベクトルは1本しかとれない。4) では，スカラーの等比数列の和の公式 $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ を行列にそのまま持ち込むと「行列で割る」ことになり不正確である。$A-E_2$ が正則であることを 3) で確かめたうえで，右から逆行列を掛ける，と書くのが正しい。3) がわざわざ独立の小問として置かれているのは，この一手を用意させるためである。

置換の選び方

$\sqrt{1-x^{2}}$ があるので $x=\sin\theta$ が第一候補だが，本問はさらに $(x+1)$ という1次因子で割られている。この形は $\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ を新変数にとると分母・分子がきれいに消える。より一般に $\dfrac{1}{(x-\alpha)\sqrt{\text{2次式}}}$ の形は $u=\dfrac{1}{x-\alpha}$ とおくと有理化される（オイラーの置換の一種）。実際 $u=\dfrac{1}{x+1}$ とおくと $2u-1=\dfrac{1-x}{1+x}$，被積分関数は $-\dfrac{du}{\sqrt{2u-1}}$ に化け，同じ答え $-\sqrt{2u-1}+C$ を得る。

別解（三角置換）

$x=\sin\theta$（$-\pi/2<\theta<\pi/2$）とすると $dx=\cos\theta\,d\theta$，$\sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta>0$ なので $$\int\frac{\cos\theta\,d\theta}{(1+\sin\theta)\cos\theta}=\int\frac{d\theta}{1+\sin\theta} .$$ 分母を $1-\sin\theta$ で有理化すると $$\int\frac{1-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\,d\theta =\int\bigl(\sec^{2}\theta-\sec\theta\tan\theta\bigr)d\theta=\tan\theta-\sec\theta+C =\frac{\sin\theta-1}{\cos\theta}+C=\frac{x-1}{\sqrt{1-x^{2}}}+C$$ となり，本解と一致する。半角の置換 $s=\tan(\theta/2)$ を使うと $\int\frac{2\,ds}{(1+s)^{2}}=-\frac{2}{1+s}+C$ となるが，これは上の答えと定数 $1$ だけ違う同じ原始関数である。

検算（微分して戻す）

$F(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ を商の微分で確かめる。 $$\begin{align*} F'(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}-(x-1)\cdot\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} &=\frac{(1-x^{2})+x(x-1)}{(1-x^{2})^{3/2}}\\[1mm] &=\frac{1-x}{(1-x)^{3/2}(1+x)^{3/2}} =\frac{1}{(x+1)\sqrt{1-x^{2}}} \end{align*}$$ で被積分関数に戻る。ここで $(1-x^{2})^{3/2}=(1-x)^{3/2}(1+x)^{3/2}$，$(x+1)\sqrt{1-x^{2}}=(1+x)^{3/2}(1-x)^{1/2}$ を用いた。

失点しやすい点

定義域 $-1<x<1$ を書かずに $\sqrt{1-x^{2}}$ を $\pm$ 両方に開いてしまうと符号を誤る。置換 $t=\sqrt{(1-x)/(1+x)}$ では $t>0$ を明示しておくと $\sqrt{4t^{2}}=2t$ とできる。また，答えを $-\sqrt{(1-x)/(1+x)}$ のままにするか $\dfrac{x-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ に直すかは自由だが，どちらかに揃えて積分定数 $C$ を書き忘れないこと。

方針

被積分関数と領域のどちらも原点からの距離で書けるので極座標が最適である。ここで大事なのは，円の中心が原点ではなく $(1,0)$ にあるため，$r$ の上限が定数ではなく $\theta$ の関数 $2\cos\theta$ になることである。$r^{2}\le2r\cos\theta$ の両辺を $r$ で割る操作は $r>0$ でのみ許されるが，$r=0$ は面積 $0$ の集合なので積分の値には影響しない。

$\theta$ の範囲の決め方

$r\le2\cos\theta$ が意味をもつのは右辺が非負のとき，つまり $\cos\theta\ge0$ のときである。原点は円周上の点なので，原点から見て領域は右半平面側にしか広がらず，$\theta$ は $-\pi/2$ から $\pi/2$ までとなる。ここを $0$ から $2\pi$ としてしまうと $\cos^{3}\theta$ の積分が $0$ になり，答えが $0$ という明らかな誤りに至る。

検算

面積 $\pi$（半径1の円板）の上で $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ の値は $0$ から $2$ まで動き，中心 $(1,0)$ での値は $1$ である。したがって積分値はおよそ「$1\times\pi\fallingdotseq3.14$」の程度になるはずで，実際 $32/9\fallingdotseq3.56$ とほぼ整合する（原点から遠い側の面積が広いぶんだけ平均が $1$ より大きくなり，$32/(9\pi)\fallingdotseq1.13$ が平均値になる）。桁が大きく外れていればどこかで計算を誤っている。

別の解き方

$\cos^{3}\theta$ の積分は，3倍角の公式 $\cos^{3}\theta=\dfrac{3\cos\theta+\cos3\theta}{4}$ を使って $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\dfrac14\bigl[3\sin\theta+\tfrac13\sin3\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\dfrac14\bigl(6-\tfrac23\bigr)=\dfrac43$ としても同じ値になる。またウォリスの公式 $\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\dfrac{2}{3}\cdot1=\dfrac23$ を使えば即座である。

2) の別解（$u=y^{2}$ とおく）

$xyy'=\dfrac{x}{2}\bigl(y^{2}\bigr)'$ に注意して $u=y^{2}$ とおくと，方程式は $$\frac{x}{2}u'=x^{2}+u \quad\Longrightarrow\quad u'-\frac{2}{x}u=2x$$ という1階線形微分方程式になる。積分因子は $\exp\bigl(-\int\frac{2}{x}dx\bigr)=x^{-2}$ で， $$\Bigl(\frac{u}{x^{2}}\Bigr)'=\frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u}{x^{2}}=2\log|x|+C \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=x^{2}\bigl(2\log|x|+C\bigr)$$ と同じ解を得る。「同次形とみる」「$y^{2}$ を新変数にとって線形化する」のどちらでも解けるが，後者は積分因子の型どおりに進むので計算間違いが少ない。

検算

2) の解を微分して元の式に戻す。$y^{2}=x^{2}(2\log|x|+C)$ の両辺を $x$ で微分すると $$2yy'=2x\bigl(2\log|x|+C\bigr)+x^{2}\cdot\frac{2}{x}=2x\bigl(2\log|x|+C\bigr)+2x$$ なので，両辺に $\dfrac{x}{2}$ を掛けて $$xyy'=x^{2}\bigl(2\log|x|+C\bigr)+x^{2}=y^{2}+x^{2}$$ となり，元の方程式に一致する。1) についても $y=e^{-x}\cos2x$ を代入すれば $y'=e^{-x}(-\cos2x-2\sin2x)$，$y''=e^{-x}(-3\cos2x+4\sin2x)$ から $y''+2y'+5y=e^{-x}\{(-3-2+5)\cos2x+(4-4)\sin2x\}=0$ が確かめられる。

失点しやすい点

1) では，複素解 $\lambda=-1\pm2i$ から $y=C_1e^{(-1+2i)x}+C_2e^{(-1-2i)x}$ と書いて止めるのは不十分で，オイラーの公式で実数形に直すところまで書きたい。実部が減衰項 $e^{-x}$，虚部が振動の角振動数 $2$ に対応することを一言添えると理解が伝わる。2) では，$v\,dv=dx/x$ を積分する際に $\log|x|$ の絶対値を落とす，積分定数を $\frac{v^{2}}{2}=\log|x|+C$ のまま $2$ 倍せずに $y^{2}=x^{2}(\log|x|+C)$ としてしまう，といった誤りが起きやすい。$C$ は任意定数なので定数倍しても任意定数のままだが，$\log$ の係数 $2$ は本質的なので必ず残す。また $x>0$ に限れば絶対値は不要になるので，答案で範囲を断ってもよい。

この設問が試していること

微分方程式の分類ができるかどうかである。1) は「定数係数・線形・同次」なので特性方程式，2) は右辺が $y/x$ の関数なので「同次形（斉次形）」で $v=y/x$ の置換，という対応を即座に選べるかが問われている。分類さえ間違えなければ，あとは定型の手順で解ける。