京大 経営管理教育部（専門職学位課程） 数学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

方針

「定義にしたがって」という指定があるので，差分商の極限を実際に計算する。加法定理で分解すると必要な極限が $\dfrac{\sin h}{h}$ と $\dfrac{\cos h-1}{h}$ の2つになり，後者は前者に帰着する。この見通しを最初に一行書いてから計算に入ると，採点者が流れを追いやすい。

別解

和と差の公式 $\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$ を使うと $$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\frac{2\cos\!\left(x+\frac h2\right)\sin\frac h2}{h} =\cos\!\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2} \xrightarrow[h\to0]{}\cos x\cdot1=\cos x$$ と一息で書ける。$\dfrac{\cos h-1}{h}$ を扱わずに済むぶん短く，時間がないときはこちらが有利である。

循環論法への注意

$\dfrac{\sin x}{x}\to1$ をロピタルの定理で示すのは循環論法である。ロピタルの適用には $(\sin x)'=\cos x$ が必要で，その導出にこの極限を使っているからである。同じ理由でマクローリン展開 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$ を根拠にするのも避ける。面積（または弧長）の不等式から出発するのが安全で，本問が「示した上で」と書いているのはこの順序を守らせるためである。

失点しやすい点

不等式 $\sin x<x<\tan x$ を $0<x<\pi/2$ でしか示さず，$x\to-0$ の側に触れない答案が多い。偶関数であることを一行書けば足りる。また，扇形の面積を $\frac12x$ と書けるのは $x$ を弧度法で測っているからで，度数法では成り立たない。この設問は公式の暗記ではなく，定義と極限の扱い方を見るものである。

定義に戻った確認

$C^1$ の定理を引用せずに，全微分の定義（1次近似の誤差が $\sqrt{h^2+k^2}$ より高位の無限小になること）を直接確かめることもできる。$(a,b)\ne(0,0)$，$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$，$S=\sqrt{(a+h)^2+(b+k)^2}$ とおくと，分子の有理化により $$f(a+h,b+k)-f(a,b)=S-\rho=\frac{2ah+2bk+h^2+k^2}{S+\rho}$$ であるから，1次近似 $\dfrac{ah+bk}{\rho}$ との差は $$(S-\rho)-\frac{ah+bk}{\rho} =\frac{(ah+bk)(\rho-S)+\rho(h^2+k^2)}{\rho(S+\rho)} .$$ 三角不等式から $|S-\rho|\le\sqrt{h^2+k^2}$，コーシー・シュワルツの不等式から $|ah+bk|\le\rho\sqrt{h^2+k^2}$ なので，分子の絶対値は $2\rho(h^2+k^2)$ 以下，分母は $\rho^2$ 以上である。よって誤差は $\dfrac{2(h^2+k^2)}{\rho}$ 以下で，これを $\sqrt{h^2+k^2}$ で割ると $h,k\to0$ で $0$ に収束する。したがって定義の意味でも全微分可能である。

幾何的な意味

$z=\sqrt{x^2+y^2}$ は原点を頂点とする円錐面である。極座標では $f=r$ そのもので，全微分は $dz=dr$，つまり動径方向の変化だけが $z$ を動かす。勾配 $\nabla f=\left(\dfrac{x}{r},\dfrac{y}{r}\right)$ は長さ1の単位ベクトルなので，どの点でも最急勾配の傾きは1（円錐の母線の傾き）である。原点は円錐の頂点で接平面が定まらず，全微分可能でないことと符合する。

検算

$f$ は1次同次関数（$t>0$ に対し $f(tx,ty)=tf(x,y)$）なので，オイラーの関係式 $xf_x+yf_y=f$ が成り立つはずである。実際 $$x\cdot\frac{x}{r}+y\cdot\frac{y}{r}=\frac{x^2+y^2}{r}=r=f$$ で一致する。あわせて $f_x^2+f_y^2=1$ も確かめておくと，分母の取り違えや符号の誤りに気づける。

失点しやすい点

「偏導関数が存在するから全微分可能」と書くのは誤りである。偏微分可能でも全微分可能とは限らず，$(x,y)\ne(0,0)$ で $g=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$，$g(0,0)=0$ とおくと原点で両偏導関数が存在するのに $g$ は連続ですらない，という反例がある。偏導関数の連続性まで確かめて初めて結論できる。また，定義域を断らずに全微分の式だけを書くと，原点で分母が $0$ になることを見落としたと判断されうるので，除外を明記する。

方針

「停留点を求める $\to$ ヘッセ行列式で分類」という手順は決まっている。手が止まるとすれば連立方程式 $y=x^2$，$x=y^2$ の部分で，$x=x^4$ を $x(x-1)(x^2+x+1)=0$ と因数分解し，実数の範囲で考えていることを明示して $x=0,1$ に絞る。$x^3=1$ とだけ書いて $x=1$ とするのは，実数解が1つしかない理由を書き添えれば同じことである。

鞍点であることの直接確認

$(0,0)$ の近くで $y=x$ とおくと $f(t,t)=2t^3-3t^2$ で，$|t|$ が小さいとき負である。一方 $y=-x$ とおくと $f(t,-t)=t^3+3t^2-t^3=3t^2>0$（$t\ne0$）。同じ点のいくらでも近くで $f$ が $f(0,0)=0$ より大きくも小さくもなるので，確かに極値ではない。ヘッセ行列式が $0$ になって判定できない場合は，このように方向を選んで直接調べる。

検算

$f$ は $x$ と $y$ の入れ替えについて対称なので，停留点の集合も対称でなければならない。得られた $(0,0)$ と $(1,1)$ はどちらも直線 $y=x$ 上にあり整合する。また $f(x,0)=x^3$ は $x\to-\infty$ で $-\infty$ に発散するから最小値は存在せず，$-1$ はあくまで局所的な極小値である。この区別を一言添えると，極値と最小値を混同していないことが伝わる。

失点しやすい点

$H>0$ だけで極小と断定してはいけない。$f_{xx}$（または $f_{yy}$）の符号で極大と極小を分ける。$H<0$ なら鞍点，$H=0$ なら判定不能である。設問は「極値を求めよ」なので，極値をとる点と極値の両方を書き，極大がないことも明記する。停留点を求める段階で $(0,0)$ を落とす答案も目立つ。

方針

$D$ の定義式そのものが $u=x+y$，$v=x-y$ で書かれているので，この2つを新しい変数にとれば積分範囲が単位正方形になり，累次積分の上端・下端が定数になる。$45^\circ$ 傾いた正方形を $xy$ のまま扱うと $x$ の値によって $y$ の範囲が変わり，場合分けが必要になる。

別解（$xy$ 平面のまま計算する）

$x$ を固定して $y$ で積分すると，$0\le x\le\frac12$ では $-x\le y\le x$（幅 $2x$），$\frac12\le x\le1$ では $x-1\le y\le 1-x$（幅 $2-2x$）である。したがって $$\iint_D x^2\,dx\,dy =\int_0^{1/2}2x^3\,dx+\int_{1/2}^{1}(2x^2-2x^3)\,dx =\frac{1}{32}+\frac{11}{96} =\frac{3}{96}+\frac{11}{96}=\frac{7}{48}$$ となり，同じ答えを得る。場合分けが2つで済むので，ヤコビアンが不安なときはこちらでも書ける。

検算

$u,v$ が独立に $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数と見ると $x=\dfrac{u+v}{2}$ で，$E[x]=\dfrac12$，$V[x]=\dfrac14\left(\dfrac1{12}+\dfrac1{12}\right)=\dfrac1{24}$ だから $E[x^2]=\dfrac1{24}+\dfrac14=\dfrac{7}{24}$ である。$D$ の面積は $\frac12$ なので，積分値は $\dfrac{7}{24}\cdot\dfrac12=\dfrac{7}{48}$ となり一致する。同じ見方で $\iint_D y^2\,dx\,dy=\dfrac1{24}\cdot\dfrac12=\dfrac1{48}$，したがって $\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy=\dfrac16$ も直ちに分かる。

失点しやすい点

ヤコビアンを $\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-2$ の側で計算し，そのまま $2$ を掛けてしまう誤りが多い。置換積分で必要なのは $dx\,dy=\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv$ であり，逆行列の行列式 $\frac12$ を使う。絶対値を取り忘れて符号を残すのも減点される。$D$ が正方形に写るので $u$ と $v$ の積分範囲が互いに独立になる，という点も一言書いておくと，累次積分に直した根拠が示せる。

方針

(1) さえできれば (2)〜(5) は三角行列の性質だけで片づく。$P$ の $(i,j)$ 成分が二項係数 $\binom{i+j-2}{i-1}$ であり，パスカルの三角形の漸化式が「隣り合う行の差」に対応することに気づけば，掃き出しの手順で迷わない。5つの小問が階段状につながっているので，$L$ と $U$ を書き間違えると以降すべてが崩れる。$LU$ を1回展開して $P$ に戻ることを確かめてから先へ進むとよい。

$P=LL^{\top}$ の背景

$L_{ij}=\binom{i-1}{j-1}$ とすると，ヴァンデルモンドの畳み込みにより $$(LL^{\top})_{ij}=\sum_{k}\binom{i-1}{k-1}\binom{j-1}{k-1}=\binom{i+j-2}{i-1}=P_{ij}$$ が成り立つ。つまり本問の分解は，対称正定値行列 $P$ のコレスキー分解にほかならない。$L$ の対角成分を $1$ に固定すれば正則行列のLU分解は一意なので，「1組求めよ」と言われても事実上この組しかない。

$P$ の固有値と混同しない

(2) で問われているのは $L$ と $U$ の固有値であって $P$ の固有値ではない。$P=LU$ でも固有値は積にならない。$P$ は対称で $P=LL^{\top}$，$L$ が正則だから正定値であり，固有値はすべて正である。その積は $\det P=1$，和はトレース $1+2+6+20=29$ で，$1$ 以外の値をとることが分かる。$L,U$ の情報から確定するのは積が $1$ という点だけである。

$L$ は対角化できない

$L$ の固有値は $1$ だけだが $L\ne I$ なので，$L$ は対角化可能でない。実際 $L-I$ の階数は3で固有空間の次元は1しかなく，ジョルダン標準形は固有値 $1$ の4次のジョルダン細胞1個になる。「固有値がすべて $1$ だから単位行列」と書かないよう注意する。

逆行列を速く出す

$P^{-1}$ を4次の余因子行列から求めると，3次の行列式を16個計算することになり時間が足りない。$P=LL^{\top}$ から $P^{-1}=(L^{-1})^{\top}L^{-1}$ と書けば，符号付きパスカル行列 $L^{-1}$ を書き下して1回の積で済む。得られた $P^{-1}$ が対称行列になっていること（$P$ が対称だから当然）と，成分がすべて整数であること（$\det P=1$ の整数行列だから当然）が，そのまま検算になる。

計算の型

「事前確率 $\times$ 尤度 $=$ 同時確率」を工場ごとに1行ずつ並べ，その合計で割る。表にすると見通しがよく，計算ミスも減る。 $$\begin{array}{l|ccc|c} & \text{工場A} & \text{工場B} & \text{工場C} & \text{合計}\\\hline \text{生産比率}\ P(\cdot) & 0.5 & 0.3 & 0.2 & 1\\ \text{不良率}\ P(X\mid\cdot) & 0.01 & 0.02 & 0.05 & \text{---}\\ \text{同時確率}\ P(\cdot\cap X) & 0.005 & 0.006 & 0.010 & 0.021\\ \text{事後確率}\ P(\cdot\mid X) & 5/21 & 6/21 & 10/21 & 1 \end{array}$$

検算

事後確率の合計が $\dfrac{5}{21}+\dfrac{6}{21}+\dfrac{10}{21}=1$ になることを確かめる。ここが $1$ にならなければ，分母の $P(X)$ か同時確率のどこかが誤っている。$P(X)=0.021$ が3つの不良率 $0.01,0.02,0.05$ の間（加重平均だから最小値と最大値の間）に入っていることも簡単な確認になる。

経営的な意味

工場Cの生産比率は $20\%$ で3工場のうち最小だが，不良品の出所としては約 $48\%$ と最大である。不良率が他の2工場の $2.5$〜$5$ 倍あるためで，品質改善の投資先は生産量ではなく「不良品への寄与」で優先順位をつけるべきだ，という読み方ができる。生産の半分を担う工場Aの寄与は約 $24\%$ にとどまる。

失点しやすい点

$P(C\mid X)$ と $P(X\mid C)=0.05$ を取り違える（基準率の無視）のが典型的な誤りである。また分母を不良率の単純合計 $0.01+0.02+0.05=0.08$ としてはいけない。生産比率で重み付けした $P(X)=0.021$ が分母である。1) では「互いに排反」と「全体を覆う」の両方を書くこと。片方だけでは全確率の定理が使えない。この設問は，公式の暗記ではなく，条件付き確率の向きを取り違えずに数え上げられるかを見ている。

方針

示すべき不等式は「分散が非負である」ことそのものである。$V[W]=E[W^2]-(E[W])^2$ を公式として引用するのではなく，その場で展開して導くのが証明として安全である。使う性質は，(i) 期待値の線形性，(ii) $E[W]$ が定数であること，(iii) 非負の確率変数の期待値は非負であること，の3つだけで，これらを明示しながら3行で書き切る。

別解1（イェンセンの不等式）

$\varphi(w)=w^2$ は $\varphi''(w)=2>0$ より凸関数だから，イェンセンの不等式 $\varphi(E[W])\le E[\varphi(W)]$ を適用して直ちに $(E[W])^2\le E[W^2]$ を得る。凸関数であることの根拠を1行添えるのを忘れない。

別解2（コーシー・シュワルツの不等式）

確率変数 $W$ と定数 $1$ に対して $$\bigl(E[W\cdot1]\bigr)^2\le E[W^2]\,E[1^2]=E[W^2]$$ が成り立つ。等号は $W$ が $1$ の定数倍，つまり $W$ が定数のときである。答案の余白が少ないときはこの3行で足りる。

失点しやすい点

$E[W^2]=(E[W])^2$ としてしまう誤りが根にある。期待値は和については線形だが，積については $E[W_1W_2]=E[W_1]E[W_2]$ が独立のときにしか成り立たず，$W$ は自分自身と独立ではない。また $\mu=E[W]$ を確率変数のまま扱うと展開の途中で詰まるので，$\mu$ が定数であることを明記して $E[\mu W]=\mu E[W]$，$E[\mu^2]=\mu^2$ を使う。等号成立条件まで書けると加点されやすい。

使う公式と使う場所

$E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$ は常に成り立ち，独立性を使わない。独立性が効くのは分散の交差項 $2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ を消すところだけである。答案には「独立だから共分散が $0$」と一言入れて，どこで仮定を使ったかを示す。

検算

設問1の関係から $E[Z^2]=V[Z]+(E[Z])^2=6+4=10$ になるはずである。直接計算しても確かめられる。$U=2X$ とおくと $E[U]=4$，$V[U]=4$ より $E[U^2]=4+16=20$，また $E[Y^2]=V[Y]+(E[Y])^2=2+9=11$，独立性から $E[UY]=E[U]E[Y]=12$ である。$Z=U+Y-5$ を展開して $$E[Z^2]=E[U^2]+E[Y^2]+25+2E[UY]-10E[U]-10E[Y] =20+11+25+24-40-30=10$$ となり一致する。

失点しやすい点

$V[2X]=2V[X]=2$ とする誤りが最も多い。係数は2乗して掛かるので $4V[X]=4$ である。定数 $-5$ は期待値を $5$ 下げるが分散には影響しない。逆に，独立でない場合に共分散を落とすのも誤りなので，独立性を使ったことを明示する。$V[X]$ と標準偏差 $\sqrt{V[X]}$ の取り違えにも注意する。

方針

$\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ の形を見抜くのがすべてである。ここでは $g(x)=\log x$ とすると $g'(x)=1/x$ が被積分関数にそのまま現れているので，置換1回で終わる。$\dfrac{1}{x}$ を見たら $\log x$ の微分だと思う，という反射が身についているかを試す設問である。

別解（部分積分）

$I=\displaystyle\int(\log x)\cdot\frac1x\,dx$ に部分積分を適用すると，$(\log x)'=1/x$ より $$I=(\log x)\cdot\log x-\int\frac1x\cdot\log x\,dx=(\log x)^2-I$$ となる。移項して $2I=(\log x)^2$，すなわち $I=\dfrac{(\log x)^2}{2}$（＋積分定数）を得る。同じ積分が右辺に現れて連立方程式のように解ける型で，$\int e^x\sin x\,dx$ などと同じ手筋である。

定義域の扱い

$x<0$ まで含めて考えるなら $\log$ を $\log|x|$ と読み替えて $\dfrac{(\log|x|)^2}{2}+C$ となる。ただし $x>0$ と $x<0$ は連結でないので，積分定数は各区間ごとに別に取る必要がある。本問は $\log x$ と書かれているので $x>0$ と断って答えれば十分である。

失点しやすい点

$\dfrac{(\log x)^2}{2}$ と $\dfrac{\log(x^2)}{2}=\log x$ を混同しない。書くときは $(\log x)^2$ と括弧を付ける。また $\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\log|x|$ との見た目の近さから $\log(\log x)$ と答える誤りもある。不定積分なので積分定数 $+C$ を落とすと，計算が合っていても減点される。

$n$ で割るか $n-1$ で割るか

問題文に「10個のデータを母集団とするとき」とあるので，母分散の定義どおり $n=10$ で割る。標本から母分散を推定する場面であれば不偏分散として $n-1=9$ で割り $22.5/9=2.5$ となるが，本問はそれではない。ここが最初の分岐点で，割る数を誤ると3つの答えのうち2つが崩れる。この設問が本当に試しているのは計算力ではなく，母集団と標本の区別である。

別の計算法（2乗の平均から）

$\sigma^2=E[x^2]-\mu^2$ を使う方法もある。 $$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=9+16+25\times4+36\times2+64\times2=9+16+100+72+128=325$$ より $E[x^2]=32.5$ であり，$\sigma^2=32.5-5.5^2=32.5-30.25=2.25$ となって一致する。設問1で示した $E[W^2]\ge(E[W])^2$ が，ここでは $32.5>30.25$ という形で確かめられる。

検算

標準偏差 $1.5$ が散らばりとして妥当か見ておく。データの範囲は $3$ から $8$ までの $5$ で，経験的に標準偏差は範囲の $1/4$ 前後（ここでは $1.25$）になることが多いから，$1.5$ は同じ桁で整合する。また偏差の和 $\sum(x_i-\mu)$ が $0$ になることを確かめると，母平均の計算ミスに気づける。

答案の書き方

10個の値をそのまま足すより，度数分布表を作ってから $\sum f_kx_k$，$\sum f_k(x_k-\mu)^2$ を計算するほうがミスが減り，採点者にも過程が伝わる。問われているのは母平均・母分散・標準偏差の3つなので，最後に3つを並べて書く。分散が $2.25$ と平方数になっているのは出題者が標準偏差を割り切れる値にしているためで，$\sqrt{\sigma^2}$ が中途半端な値になったときは計算ミスを疑うとよい。

図で確かめる

変数が2つなので，実行可能領域を図示して端点の利益を比べれば答えの正しさを確認できる。実行可能領域は5つの端点 $(0,0)$，$(15,0)$，$(12.5,10)$，$(5,20)$，$(0,22)$ をもつ凸多角形で，等利益線 $3x_A+4x_B=Y$ を右上に平行移動していくと，最後に接するのが $(5,20)$ である。

検算

最適解を制約に代入すると，Lは $2\cdot5+5\cdot20=110$ で在庫をちょうど使い切り，Mは $4\cdot5+3\cdot20=80$ でこれも使い切り，Nは $8\cdot5+2\cdot20=80\le120$ で $40$ 余る。最終表の $s_1=s_2=0$，$s_3=40$ と一致する。利益も $3\cdot5+4\cdot20=95$ で最終表の右下の値に等しい。他の端点の利益は $(0,22)$ で $88$，$(12.5,10)$ で $77.5$，$(15,0)$ で $45$ であり，いずれも $95$ を下回る。

最終表から読める限界価値

最終表の $Y$ 行に残った $s_1,s_2,s_3$ の係数はそれぞれ $\frac12,\frac12,0$ である。これは原料LまたはMの在庫を1単位増やすと利益が $0.5$ 増え，余っている原料Nを増やしても利益は変わらないことを意味する（双対変数，シャドウプライス）。追加調達をするならLかMで，1単位あたり $0.5$ までなら払う価値がある，という経営判断に直結する。制約が等号で成立している原料だけが正の限界価値をもつ，という対応関係も確認できる。

失点しやすい点

比の計算では，ピボット列の成分が正の行だけを対象にする（$0$ や負の行は除く）。これを守らないと次の基底解が非負でなくなる。また，目的関数の行を $Y-3x_A-4x_B=0$ の形（係数が負）で書くか $Y=3x_A+4x_B$ の形で書くかによって「最も負の列を選ぶ」か「最も正の列を選ぶ」かが変わるので，どちらの流儀かを最初に断っておく。本問はたまたま整数の最適解になるが，一般に端点は整数とは限らないので，整数解を前提に探してはいけない。

答案の分量と書く順序

定式化に4〜5行，シンプレックス表を3枚，各ピボットの選び方を1〜2行ずつ，最後に最適解と最適値，で1ページ強が目安である。図だけで答えると「シンプレックス法を用いて」という指示に応えたことにならず，逆に表だけ並べてピボットの選択理由を書かないのも「計算過程も示すこと」に反する。表と一行の説明を交互に置くのが最も点になりやすい。