京大 経営管理教育部（専門職学位課程） 経済学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全2問）

1. 可変費用 生産量に応じて変化する費用。総費用 $c(q)$ は，生産量に依存しない固定費用 $f$ と可変費用 $\mathrm{VC}(q)$ に分けられ $$c(q)=f+\mathrm{VC}(q),\qquad \mathrm{VC}(0)=0$$ と書ける。たとえば $c=f+4q+q^{2}$ なら $\mathrm{VC}(q)=4q+q^{2}$ である。限界費用 $\mathrm{MC}=\mathrm{VC}'(q)$ は固定費用に依存せず，短期の操業停止の判断も価格と平均可変費用 $\mathrm{VC}(q)/q$ の比較で決まる。

2. 限界生産性の逓減 他の生産要素の投入量を一定に保ったまま，ある生産要素の投入量を増やしていくと，その要素の限界生産物が次第に小さくなること。労働 $L$ についてなら $$\mathrm{MP}_L=\frac{\partial F}{\partial L}>0,\qquad \frac{\partial^{2}F}{\partial L^{2}}<0$$ と表される。$F=AK^{\alpha}L^{1-\alpha}$（$0<\alpha<1$）では $\mathrm{MP}_L=(1-\alpha)AK^{\alpha}L^{-\alpha}$ となり，$L$ が増えるほど小さくなる。要素価格が一定なら，限界生産性の逓減は限界費用の逓増と表裏一体である。

3. 危険中立的 不確実な結果に対する評価が，その期待値だけで決まる態度。所得についての効用関数が線形 $u(x)=a+bx$（$b>0$）であることと同値で，任意のくじ $\tilde{x}$ について $$E\bigl[u(\tilde{x})\bigr]=u\bigl(E[\tilde{x}]\bigr)$$ が成り立つ。したがって確実性等価が期待値に一致し，リスク・プレミアムは0になる。$u''<0$ なら危険回避的，$u''>0$ なら危険愛好的であり，危険中立はその境目にあたる。

4. パレート効率的 実行可能な配分のうち，誰の効用も下げることなく少なくとも1人の効用を高めるような別の実行可能な配分が存在しない状態。2人2財の交換経済の内点では，両者の限界代替率が一致する条件 $$\mathrm{MRS}^{A}_{xy}=\mathrm{MRS}^{B}_{xy}$$ を満たす点（契約曲線上の点）である。厚生経済学の第一基本定理により，完全競争市場の均衡配分はパレート効率的になる。ただし効率性は分配の公平さについて何も述べない。

5. モラル・ハザード 契約を結んだ後に，一方の当事者の行動が他方から観察できないために，その行動が契約時に望ましいとされた水準から乖離すること（隠された行動）。たとえば火災保険の加入後に，加入者が防火の努力 $e$ を下げても保険会社には $e$ が観察できないため，均衡の努力水準は社会的に最適な水準を下回る。報酬を観察可能な成果に連動させれば緩和できるが，エージェントが危険回避的なら危険分担とインセンティブの間にトレードオフが生じる。契約前の情報の非対称性から生じる逆選択とは，非対称性が現れる時点で区別する。

1) 効用関数が強凹であること

定義域は $C_1>0$，$C_2>0$ であり，これは凸集合なので，2点を結ぶ線分上の点も定義域に入る。異なる2点 $(C_1',C_2')$，$(C_1'',C_2'')$ と $\lambda\in(0,1)$ をとる。

第1項について，$C_1'\neq C_1''$ なら与えられた性質より $$\log\bigl(\lambda C_1'+(1-\lambda)C_1''\bigr)>\lambda\log C_1'+(1-\lambda)\log C_1''$$ であり，$C_1'=C_1''$ なら両辺とも $\log C_1'$ に等しい。いずれの場合も $\ge$ が成り立つ。第2項も同様で，$\beta>0$ を掛けても不等号の向きは変わらないから $$\beta\log\bigl(\lambda C_2'+(1-\lambda)C_2''\bigr)\ \ge\ \beta\bigl\{\lambda\log C_2'+(1-\lambda)\log C_2''\bigr\}$$ であり，$C_2'\neq C_2''$ なら狭義の不等号になる。

2点は異なるので，$C_1'\neq C_1''$ と $C_2'\neq C_2''$ の少なくとも一方が成り立ち，対応する項では狭義の不等号が成り立つ。2つの不等式を辺々加えると $$U\bigl(\lambda C_1'+(1-\lambda)C_1'',\ \lambda C_2'+(1-\lambda)C_2''\bigr) >\lambda U(C_1',C_2')+(1-\lambda)U(C_1'',C_2'')$$ を得る。$\lambda\in(0,1)$ は任意だったから，$U$ は強凹関数である。

2) 無差別曲線が原点に対して強く凸であること

異なる2点 $(C_1',C_2')$ と $(C_1'',C_2'')$ がともに効用水準 $\bar U$ を与えるとする。すなわち $$U(C_1',C_2')=U(C_1'',C_2'')=\bar U$$ である。1) で示した強凹性をこの2点と任意の $\lambda\in(0,1)$ に適用すると $$U\bigl(\lambda C_1'+(1-\lambda)C_1'',\ \lambda C_2'+(1-\lambda)C_2''\bigr) >\lambda\bar U+(1-\lambda)\bar U=\bar U$$ が成り立つ。これは，同じ無差別曲線上の異なる2点を結ぶ線分の内点がすべて効用水準 $\bar U$ を超えること，つまり無差別曲線より原点から見て外側にあることを意味する。よって無差別曲線は原点Oに対して強く凸である。

3) 最適消費の組み合わせ

$S_1=Y_1-C_1$ と $C_2=(1+r)S_1+Y_2$ から $C_2=(1+r)(Y_1-C_1)+Y_2$ であり，両辺を $(1+r)>0$ で割って整理すると生涯予算制約 $$C_1+\frac{C_2}{1+r}=Y_1+\frac{Y_2}{1+r}\equiv W$$ を得る。$C_2=(1+r)(Y_1-C_1)+Y_2$ を効用関数に代入すると，$C_1$ だけの最大化問題 $$\max_{C_1}\ \log C_1+\beta\log\bigl\{(1+r)(Y_1-C_1)+Y_2\bigr\}$$ になる。$\log x$ の微分が $1/x$ であることを使うと，一階条件は $$\frac{1}{C_1}-\frac{\beta(1+r)}{C_2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad C_2=\beta(1+r)\,C_1$$ である。これは異時点間の限界代替率が $1+r$ に等しいという条件にほかならない。目的関数の2階微分は $$-\frac{1}{C_1^{2}}-\frac{\beta(1+r)^{2}}{C_2^{2}}<0$$ なので目的関数は狭義凹であり，一階条件を満たす内点は唯一の最大点である。$C_2=\beta(1+r)C_1$ を生涯予算制約に代入すると $C_1+\beta C_1=W$，すなわち $C_1^{*}=W/(1+\beta)$ となり $$C_1^{*}=\frac{(1+r)Y_1+Y_2}{(1+\beta)(1+r)},\qquad C_2^{*}=\beta(1+r)C_1^{*}=\frac{\beta\bigl\{(1+r)Y_1+Y_2\bigr\}}{1+\beta}$$ を得る。$Y_1>0$，$Y_2>0$ より $C_1^{*}>0$，$C_2^{*}>0$ であり，たしかに内点解になっている。

4) 正の貯蓄となる所得の範囲と借入制約

$S_1=Y_1-C_1^{*}>0$ を書き下すと $$Y_1-\frac{(1+r)Y_1+Y_2}{(1+\beta)(1+r)}>0$$ である。両辺に $(1+\beta)(1+r)>0$ を掛けて整理すると $$(1+\beta)(1+r)Y_1-(1+r)Y_1-Y_2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \beta(1+r)\,Y_1>Y_2$$ となるから，求める範囲は $$Y_1>\frac{Y_2}{\beta(1+r)}$$ である。若年期の所得が，老年期の所得を $\beta(1+r)$ で割った水準を超えるとき，この消費者は貯蓄する。

借金が不可能になるとは，選択に $S_1\ge0$ という制約が加わることである。いま考えているのは $S_1>0$ となる場合なので，制約を課しても $(C_1^{*},C_2^{*})$ はそのまま実行可能であり，制約は拘束しない。制約付き最大化の解は制約なしの解と一致するから，最適消費も効用も変化しない。

1) 長期均衡における各企業の生産量

限界費用と平均費用は $$\mathrm{MC}(q)=4+2q,\qquad \mathrm{AC}(q)=\frac{f}{q}+4+q \quad(q>0)$$ である。参入・退出が自由な完全競争の長期均衡では，各企業は価格受容者として $p=\mathrm{MC}(q)$ を満たす量を選び，かつ参入・退出が止まるところまで利潤がゼロになるので $p=\mathrm{AC}(q)$ も成り立つ。両者が同時に成り立つのは平均費用が最小になる点である。 $$\mathrm{AC}'(q)=-\frac{f}{q^{2}}+1=0 \quad\Longrightarrow\quad q^{*}=\sqrt{f}$$ であり，$\mathrm{AC}''(q)=2f/q^{3}>0$ なのでこれは最小点である。このとき $$p^{*}=\mathrm{AC}(q^{*})=\frac{f}{\sqrt{f}}+4+\sqrt{f}=4+2\sqrt{f} =4+2q^{*}=\mathrm{MC}(q^{*})$$ となり，$p=\mathrm{MC}=\mathrm{AC}$ が同時に成立することが確かめられる。

2) 固定費用の増加と企業数の変化

1) より長期均衡価格は $f$ だけで決まる。逆需要 $p=10-Q$ に $p^{*}=4+2\sqrt{f}$ を代入すると総取引量は $$Q^{*}=10-p^{*}=6-2\sqrt{f}$$ であり，$Q=n\cdot q$ から企業数は $$n^{*}=\frac{Q^{*}}{q^{*}}=\frac{6-2\sqrt{f}}{\sqrt{f}}$$ となる。$f=1/4$ のときは $q^{*}=1/2$，$p^{*}=5$，$Q^{*}=5$ で $n^{*}=10$，$f=1$ のときは $q^{*}=1$，$p^{*}=6$，$Q^{*}=4$ で $n^{*}=4$ である。いずれも整数になるので，企業数はちょうど $10$ から $4$ へ6社減少する。

理由は2つの方向から説明できる。固定費用が上がると平均費用の最小点が右に動いて1社あたりの生産量が増え（$1/2\to1$），同時に最小平均費用が上がるので均衡価格が上がり総需要が減る（$5\to4$）。分子の $Q^{*}$ が減り分母の $q^{*}$ が増えるため，企業数は両方向から押し下げられる。

3) クールノー競争にした場合の利潤

企業数を $n=4$，固定費用を $f=1$ に固定する。企業 $i$ の利潤は $$\pi_i=(10-Q)\,q_i-\bigl(1+4q_i+q_i^{2}\bigr), \qquad Q=q_i+\sum_{j\neq i}q_j$$ である。$\partial Q/\partial q_i=1$ に注意して $q_i$ で微分すると，一階条件は $$10-Q-q_i-4-2q_i=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 6-4q_i-\sum_{j\neq i}q_j=0$$ となる。2階微分は $-4<0$ なので最大化の条件である。対称均衡 $q_i=q$ では $\sum_{j\neq i}q_j=3q$ だから $$6-4q-3q=0 \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{6}{7},\qquad Q=\frac{24}{7},\qquad p=10-\frac{24}{7}=\frac{46}{7}.$$ このときの各企業の利潤は $$\pi=\frac{46}{7}\cdot\frac{6}{7} -\left(1+4\cdot\frac{6}{7}+\frac{36}{49}\right) =\frac{276}{49}-\frac{168}{49}-\frac{36}{49}-1 =\frac{72}{49}-1=\frac{23}{49}$$ である。一方 2) の $f=1$ の場合は価格受容者として行動しており，$p=6$，$q=1$，費用 $1+4+1=6$ で利潤はちょうど0であった。したがって各企業の利潤は $23/49$ だけ増加する。

1) 需要の価格弾力性

各企業は固定費用がなく限界費用が一定 $2$ なので，完全競争市場の供給曲線は $p=2$ の水平線である。したがって課税前の均衡価格は両市場とも $p_A=p_B=2$ であり，均衡数量は $$Q_A=8-2=6,\qquad Q_B=7-0.5\times2=6$$ となる。需要の価格弾力性を $$\varepsilon=-\frac{dQ}{dp}\cdot\frac{p}{Q}$$ と定義し，$dQ_A/dp_A=-1$，$dQ_B/dp_B=-0.5$ を代入すると $$\varepsilon_A=1\times\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad \varepsilon_B=0.5\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$$ である。取引量はどちらも $6$ で等しいが，財Bの需要のほうが価格に鈍感で，弾力性は財Aの半分である。

2) どちらの税率を大きくするべきか

供給が水平なので，従量税 $t$ を課すと消費者価格はちょうど $2+t$ に上がり，税負担は全額が消費者に帰着する。課税後の取引量は $$Q_A=8-(2+t_A)=6-t_A,\qquad Q_B=7-0.5(2+t_B)=6-0.5\,t_B$$ である。死荷重は，税額を高さ，取引量の減少を底辺とする三角形なので $$\mathrm{DWL}_A=\frac12\,t_A\cdot t_A=\frac{t_A^{2}}{2},\qquad \mathrm{DWL}_B=\frac12\,t_B\cdot 0.5\,t_B=\frac{t_B^{2}}{4}$$ であり，税収は $$R_A=t_A(6-t_A),\qquad R_B=t_B(6-0.5\,t_B)$$ である。一定の税収 $R=R_A+R_B$ を最小の死荷重で調達するには，税収を限界的に1単位増やしたときの死荷重の増分が両市場で等しくなければならない。 $$\frac{d\mathrm{DWL}_A/dt_A}{dR_A/dt_A} =\frac{d\mathrm{DWL}_B/dt_B}{dR_B/dt_B} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{t_A}{6-2t_A}=\frac{t_B/2}{6-t_B}$$ 右の等式の分母を払うと $$t_A(6-t_B)=\frac{t_B}{2}(6-2t_A) \ \Longleftrightarrow\ 6t_A-t_At_B=3t_B-t_At_B \ \Longleftrightarrow\ t_B=2t_A$$ となる（税収が税率について増加している内点，すなわち $0<t_A<3$，$0<t_B<6$ を考えている）。したがって効率性の観点からは $t_B$ のほうを大きく設定するべきであり，最適には財Bの税率を財Aの2倍にする。