阪大 基礎工学研究科 物質創成専攻 物性物理科学I 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説3項目）

[1]　電位 $V(\boldsymbol r)$

クーロンの法則から出る点電荷の電位 $Q/(4\pi\epsilon_0 R)$（$R$ は電荷から観測点までの距離）は、真空中で電荷が静止している静電場の式である。複数の電荷には線形性により各電位の和が成り立つ。問題では真空の誘電率 $\epsilon_0$ が与えられているので、この式をそのまま使う。モーメントの定義「負電荷から正電荷へ向かう」は、$+q$ を $z=+d/2$ に置くことと対応する。したがって $\boldsymbol p$ は $+z$ 向きである。

数値で確かめると、$d=1$（単位は任意）として $z$ 軸上の $z=10$ では $V=\dfrac q{4\pi\epsilon_0}\Bigl(\dfrac1{9.5}-\dfrac1{10.5}\Bigr)=0.01003\,\dfrac q{4\pi\epsilon_0}$ で、[2] の近似式の値 $qd/(4\pi\epsilon_0z^2)=0.01\,q/(4\pi\epsilon_0)$ とほぼ等しい。

確かめを3つ行う。（i）$z=0$ の面上では2つの電荷までの距離が等しく、$V=0$ である。（ii）$z\to-z$ で $V$ の符号が変わる。（iii）$d\to0$ で $V\to0$、$r\to\infty$ で $V\to0$ である。さらに $+q$ に近い $z>0$ の側で $V>0$ になり、電荷の配置と合う。

誤りは、$+q$ と $-q$ の位置を取り違えて符号を逆にすることである。そうすると [2] で得る式が $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r$ の符号と合わず、$\boldsymbol p$ が負電荷から正電荷へ向かうという定義に反する。また、距離を $\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mp d/2$ と書く誤りもある。これは軸上でしか正しくない。

[2]　$d\ll r$ での電位

展開に使うのは、$|\varepsilon|<1$ で成り立つ二項展開 $(1+\varepsilon)^{-1/2}=1-\tfrac12\varepsilon+\tfrac38\varepsilon^2-\cdots$ である。$d\ll r$ のとき $|u|\ll1$ となり、この条件が成立する。問題文の「$d/r$ の2次以上の項を無視する」は、上の展開で $d/r$ の1次の項だけを残す指示である。

2次の項が消えるのは偶然でなく、$d\to-d$（2つの電荷を入れ替える）で $V$ が符号を変えるからである。奇数次の項だけが残り、最初に切り捨てられる項は3次になる。符号つきの3次の項を計算すると $-\dfrac{q\,z\,(3x^2+3y^2-2z^2)}{32\pi\epsilon_0r^7}d^3$ である。軸上（$x=y=0$）で厳密な式を整理すると $V=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{d}{r^2-d^2/4}=\dfrac{qd}{4\pi\epsilon_0r^2}\bigl[1+\dfrac{d^2}{4r^2}+\cdots\bigr]$ なので、相対誤差は $(d/2r)^2$ である。$d/r=0.1$ なら $0.25\%$ にすぎない。

電位が $1/r$ でなく $1/r^2$ に比例する理由は、全電荷が零で、$1/r$ の項（単極子）が消えるためである。$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r=pr\cos\Theta$（$\Theta$ は $\boldsymbol p$ と $\boldsymbol r$ のなす角）なので、$V=p\cos\Theta/(4\pi\epsilon_0r^2)$ となり、$\Theta=\pi/2$ の面で $V=0$ になる。これは [1] の確かめ（i）と一致する。

誤りの例は、展開の係数 $-u/2$ の $1/2$ を落とすことである。そのとき $V=qdz/(2\pi\epsilon_0r^3)$ と2倍の大きさになり、$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r/(4\pi\epsilon_0r^3)$ とは一致しない。軸上の厳密式 $d/(r^2-d^2/4)\simeq d/r^2$ とも合わないので、検算で気づける。

[3]　電場 $\boldsymbol E(\boldsymbol r)$

静電場が保存場で、電位の勾配の符号を反転したものが電場になる $\boldsymbol E=-\nabla V$ を使う。$\nabla(\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r)=\boldsymbol p$ は成分で書くと $\partial_i(p_jx_j)=p_i$ という確認ができる。$r$ の関数の勾配は $\nabla f(r)=f'(r)\boldsymbol r/r$ で、$f=r^{-3}$ なら $f'=-3r^{-4}$ から上の式になる。この式は原点を除いて成り立つ。

確かめは3つある。まず $\boldsymbol p=p\hat{\boldsymbol z}$ で、$z$ 軸上（$\boldsymbol r=z\hat{\boldsymbol z}$）の電場は $(3-1)p/(4\pi\epsilon_0|z|^3)=2p/(4\pi\epsilon_0|z|^3)$ で $\boldsymbol p$ と同じ向き、赤道面（$xy$ 平面）では $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r=0$ より $\boldsymbol E=-\boldsymbol p/(4\pi\epsilon_0r^3)$ で $\boldsymbol p$ と逆向きである。2つの点電荷から直接求めても、軸上の電場は $\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\Bigl[\dfrac1{(z-d/2)^2}-\dfrac1{(z+d/2)^2}\Bigr]\simeq\dfrac{2qd}{4\pi\epsilon_0z^3}$ となり、一致する。次に、$r\neq0$ で $\nabla\cdot\boldsymbol E=0$（電荷がない）を成分で計算して確かめた。最後に次元で、$p/(\epsilon_0r^3)$ は ${\rm C\,m}/({\rm C\,V^{-1}m^{-1}\cdot m^3})={\rm V/m}$ である。

成分で書くと、$\boldsymbol p=p\hat{\boldsymbol z}$ のとき $E_z=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{3z^2-r^2}{r^5}$、$E_x=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{3xz}{r^5}$ である。$\boldsymbol r$ と $z$ 軸のなす角 $\Theta$ を使った球座標では、動径成分が $E_r=\dfrac{2p\cos\Theta}{4\pi\epsilon_0r^3}$、角度方向の成分が $E_\Theta=\dfrac{p\sin\Theta}{4\pi\epsilon_0r^3}$ となり、$\Theta=0$ で軸方向、$\Theta=\pi/2$ で逆向きの大きさ $p/(4\pi\epsilon_0r^3)$ の電場になる。

誤りは、$\nabla r^{-3}$ の係数 $3$ を落として $\boldsymbol E=\dfrac1{4\pi\epsilon_0}\Bigl[\dfrac{(\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r)\boldsymbol r}{r^5}-\dfrac{\boldsymbol p}{r^3}\Bigr]$ と書くことである。$z$ 軸上で2つの項が打ち消し合って $\boldsymbol E=0$ となり、電荷の近くの軸上に電場がないという矛盾が生じる。また $\nabla r^{-3}$ の結果からベクトル $\boldsymbol r$ を落として $-3r^{-4}$ と書く誤りは、次元が合わないので検算で見つかる。

[4]　2つの電気双極子の相互作用エネルギー

点電荷系の静電エネルギーは、全対の和 $W=\sum_{i<j}q_iq_j/(4\pi\epsilon_0r_{ij})$ である。この和は、原点の双極子の内部の対、$\mathrm P_1$ の内部の対、2つの双極子の間の対の3種類に分けられる。$\mathrm P_1$ を置く前後で変わるのは後ろ2種類で、$\mathrm P_1$ の内部の対は $\boldsymbol r$ によらない定数である。したがって位置と向きの依存性を持つのは、2つの双極子の間の4つの対だけで、そのエネルギーが $q_1V(\boldsymbol r+\boldsymbol d_1/2)-q_1V(\boldsymbol r-\boldsymbol d_1/2)$ に等しい。問題文の仮定（電荷間距離が $r$ より十分小さい、電場は式 (1) で書ける）は、この差をテイラー展開の1次で打ち切るところで使う。

確かめとして、$\boldsymbol p$ と $\boldsymbol p_1$ を入れ替えても式が変わらない対称性がある。これは、2つの双極子の役割が対等であることに対応する。4つの点電荷の厳密なクーロンエネルギーと比べると、$d$、$d_1$ が $r$ の約 $1/120$ のときの相対誤差は $8\times10^{-5}$、約 $1/1200$ のときは $8\times10^{-7}$ で、$(d/r)^2$ に比例して小さくなる。次元は、$p\,p_1/(\epsilon_0r^3)$ が ${\rm (C\,m)^2/(C\,V^{-1}m^{-1}\cdot m^3)}={\rm C\,V}={\rm J}$ でエネルギーになる。

向きの例を挙げる。2つとも $z$ 軸に平行で、$\boldsymbol r$ が $z$ 軸上にある（頭と尾がつながる）ときは $U=-2pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)<0$ となり、引き合う。$\boldsymbol r$ が $xy$ 平面内にある（横に並ぶ）ときは $U=+pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)>0$ で、反発する。電荷の配置から直感する、$+$ と $-$ が近いほどエネルギーが低いという結果と合う。

誤りは、符号を取り違えて $U=+\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol E$ とすることである。頭と尾がつながる配置で $U>0$ となり、引き合う配置で正のエネルギーになる矛盾が生じる。$\boldsymbol r\pm\boldsymbol d_1/2$ での電位の差を $q_1V(\boldsymbol r-\boldsymbol d_1/2)-q_1V(\boldsymbol r+\boldsymbol d_1/2)$ と書く誤りも、同じ符号の逆転を引き起こす。

[5]　相互作用が最小となる $\boldsymbol p_1$ の向き

[4] の $U=-\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol E$ は、$\boldsymbol p_1$ が $\mathrm P_1$ の位置の電場 $\boldsymbol E$ に平行なとき最小になることを意味する。大きさ $p_1$ が与えられているので、$\boldsymbol p_1$ の向きだけを動かす。(a) の位置では [3] の確かめのとおり $\boldsymbol E$ は $\boldsymbol p$ と同じ向きなので $\boldsymbol p_1\parallel\boldsymbol p$ になる。(b) の位置では $\boldsymbol E$ が $\boldsymbol p$ と逆向きなので $\boldsymbol p_1\parallel-\boldsymbol p$ になる。2つの答えが逆向きになる理由は、電場の向きが位置で逆転することである。

2つの双極子がともに $z$ 軸に平行（同じ向き）な場合は、$\boldsymbol r$ と $z$ 軸のなす角を $\Theta$ として $U=\dfrac{pp_1}{4\pi\epsilon_0r^3}(1-3\cos^2\Theta)$ とまとめられる。$\Theta=0$ の係数は $-2$ で (a) の最小値に一致し、$\Theta=\pi/2$ の係数は $+1$ で、(b) の最小値 $-1$ は $\boldsymbol p_1$ を反転して符号を変えた値に当たる。また $\cos\Theta=1/\sqrt3$（$\Theta\simeq54.7^\circ$）で $U=0$ となり、縦に並べると引き合い、横に並べると反発するという関係が角度で滑らかにつながる。

条件の使い方は、(a) で $\boldsymbol p_1\cdot\boldsymbol r$ が $\boldsymbol p_1$ の $z$ 成分だけで決まるので $\boldsymbol p_1$ の横成分が $U$ に寄与せず、$\alpha=0$ がただ1つの最小になる点である。(b) では $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol r=0$ が合図になり、式が1項に簡単になる。

誤りは、(b) でも (a) と同じ向き（$\boldsymbol p_1\parallel\boldsymbol p$）と答えることである。そのとき $U=+pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)$ は最大値で、最小値 $-pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)$ との差は $2pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)$ になる。(a) の式で第2項 $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol p_1/r^3$ を落とすと最小値が $-3pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)$ となり、正しい値 $-2pp_1/(4\pi\epsilon_0r^3)$ の1.5倍に見積もる。

[6]　誘起双極子による相互作用エネルギー

無極性分子は電場がないと双極子を持たないが、電場 $\boldsymbol E$ があると電荷分布が偏り、$\boldsymbol p=\alpha\boldsymbol E$ の双極子が誘起される。比例定数 $\alpha$ が分極率で、単位は ${\rm C\,m^2/V}$ である。ここで、誘起双極子は電場に平行に向く。Aのゆらぎの向きが $\pm z$ のどちらでも、Bの双極子はそれと同じ向きに生じ、$\boldsymbol p_{\rm B}\cdot\boldsymbol E_{\rm A}=\alpha E_{\rm A}^2>0$ となる。この結果、$U$ は $p_{\rm A}$ の符号によらず必ず負（引力的）になる。$p_{\rm A}$ の平均値が零でも、$p_{\rm A}^2$ の平均は零にならず、ファンデルワールス＝ロンドン力が残る理由はここにある。

$R^{-6}$ の由来は、電場の距離依存性 $R^{-3}$ が2回現れることである。1回目はAの電場 $E_{\rm A}\propto R^{-3}$、2回目は誘起双極子 $p_{\rm B}\propto E_{\rm A}$ が $\boldsymbol E_{\rm A}$ と相互作用するときに、$U\propto p_{\rm B}E_{\rm A}\propto E_{\rm A}^2$ となる。距離が2倍になると $U$ は $1/64$ になる。

確かめとして、次元を調べる。$\alpha p_{\rm A}^2/(\epsilon_0^2R^6)$ は $({\rm C\,m^2V^{-1}})({\rm C\,m})^2/\bigl[({\rm C\,V^{-1}m^{-1}})^2{\rm m^6}\bigr]={\rm C\,V}={\rm J}$ でエネルギーの次元になる。また、$R$ が分子の大きさより十分大きいという条件が、問 [2]〜[4] の近似（点双極子、式 (1)）の使用を保証する。

ここでの $U$ は[4]の定義 $-\boldsymbol p_{\rm B}\cdot\boldsymbol E_{\rm A}$ である。分極に要する仕事 $\tfrac12\alpha E_{\rm A}^2$ まで含めた全エネルギーは $-\tfrac12\alpha E_{\rm A}^2=-2\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^6)$ で、係数が2倍違う。教科書のロンドン力の式はこちらの形で書かれることが多く、[7]の力はこの全エネルギーを $R$ で微分した値に一致する。

誤りの例は、軸上の電場で $(3-1)=2$ を忘れて $E_{\rm A}=p_{\rm A}/(4\pi\epsilon_0R^3)$ とすることである。$E_{\rm A}$ が半分になり、$U$ は $1/4$ の $-\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^6)$ になる。もう1つは、$U$ に $p_{\rm B}$ を入れる際に $p_{\rm B}=\alpha p_{\rm A}$ と書き、$\alpha$ を無次元と取り違えることで、$U\propto R^{-3}$ となり、$R^{-6}$ にならない。

[7]　AがBに及ぼす力

一様でない電場の中にある双極子に働く力は $\boldsymbol F=(\boldsymbol p\cdot\nabla)\boldsymbol E$ で、静電場（$\nabla\times\boldsymbol E=0$）では $\boldsymbol p$ を固定して $\nabla(\boldsymbol p\cdot\boldsymbol E)$ と書ける。電場が一様なら正負の電荷に働く力が打ち消し合い、力は零である。この式は、$\boldsymbol p_{\rm B}$ を固定して $\boldsymbol E_{\rm A}$ の位置依存性だけを微分するという意味を持つ。実際、$p_{\rm B}$ を固定した $U=-2p_{\rm A}p_{\rm B}/(4\pi\epsilon_0R^3)$ から $F_z=-\partial U/\partial R=-6p_{\rm A}p_{\rm B}/(4\pi\epsilon_0R^4)$ を作り、その後に $p_{\rm B}=2\alpha p_{\rm A}/(4\pi\epsilon_0R^3)$ を入れても、上と同じ $-12\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^7)$ が得られる。

[6] で求めた $U(R)=-4\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^6)$ をそのまま $R$ で微分すると $-24\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^7)$ となり、係数が2倍になる。これは $p_{\rm B}$ が $R$ とともに変わる分まで微分に含めた結果で、Bに働く力としては過大である。電荷分布を偏らせて双極子を誘起するには、仕事 $\frac12\alpha E_{\rm A}^2$ が必要で、これを含めた系全体のエネルギーは $W(R)=-\alpha E_{\rm A}^2+\frac12\alpha E_{\rm A}^2=-\frac12\alpha E_{\rm A}^2$ になる。$-dW/dR$ は上の $-12$ を与える。まとめると、力は $F=3U/R$（負）であり、$-dU/dR=6U/R$ とは異なる。

点電荷で直接計算して確かめた。Aを $\pm q$（間隔 $d$）、Bを $\pm q_{\rm B}$ とし、間隔 $\delta$ を $q_{\rm B}\delta=\alpha E_{\rm A}$ を満たすようにとって、4つの対のクーロン力を合計した。$d=10^{-3}R$ では、予測値 $-12\alpha p_{\rm A}^2/((4\pi\epsilon_0)^2R^7)$ との相対差が $10^{-6}$ 以下であった。

力は $R^{-7}$ に比例し、$U\propto R^{-6}$ より1次だけ急に減る。距離を2倍にすると力は $1/128$ になる。力の向きは、$p_{\rm A}$ の向きによらず常にAへ向かう引力である。誘起双極子は電場に平行に生じ、電場が強い側（Aに近い側）へ引かれるからである。

$U(R)$ を機械的に微分すると係数が $24$ になるが、これは $p_{\rm B}$ の $R$ 依存まで微分した値で、Bに働く力ではない（出題者が $-dU/dR$ を想定している場合は $24$ が書かれうるので、両者の違いを答案で示せるようにしておく）。もう1つは、$dE_{\rm A}/dR$ の $R^{-3}$ の微分で係数 $3$ を落とすことで、係数が $12$ から $4$ に変わる。向きの誤りもあり、$F_z$ の符号を逆にすると斥力という結論になるが、$|\boldsymbol E_{\rm A}|$ が $R$ とともに減ることから $dE_{\rm A}/dR<0$ なので、負の力（引力）が正しい。