阪大 基礎工学研究科 物質創成専攻 物性物理科学I 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説3項目）

[1]　主慣性モーメント

軸のまわりの慣性モーメントの定義は $I=\int\rho\,r_\perp^2\,dV$（$r_\perp$ は質量要素から軸までの距離）である。軸が主軸かどうかは慣性乗積で決まる。直方体は重心を通る面について対称なので、$\xi\to-\xi$ の反転で自分自身に重なり、$\xi$ の奇数次を含む積分は零になる。主軸のまわりの回転では角運動量が角速度と平行になり、[2] の回転エネルギーは $\frac12I_\zeta\dot\theta^2$ の1項で書ける。

辺の全長 $w,d$ の直方体が、重心を通り $w,d$ の辺を含む面に垂直な軸のまわりに持つ慣性モーメントは $M(w^2+d^2)/12$ である。この問題の $a,b$ は辺の半分なので全長は $2a,2b$ で、$w=2a,\ d=2b$ を入れると $M(4a^2+4b^2)/12=M(a^2+b^2)/3$ となり、上の積分と一致する。教科書の式の $w,d$ に、問題の $a,b$ をそのまま入れない。

極限で確かめる。$a=b$ の立方体（一辺 $2a$）では3軸とも $\frac23Ma^2$ で、立方体の $Ms^2/6$（$s=2a$）と一致する。$b\to0$ の正方形の板では $I_\xi=\frac23Ma^2$、$I_\eta=I_\zeta=\frac13Ma^2$ となり、直交軸の定理 $I_\xi=I_\eta+I_\zeta$ を満たす。$a\to0$ の細い棒（長さ $2b$）では $I_\zeta=\frac13Mb^2=M(2b)^2/12$、$I_\xi\to0$ である。次元は ${\rm kg\,m^2}$ である。数値例で $\rho=2.70\times10^3\ {\rm kg/m^3}$（アルミニウム相当）とすると、$M=10.8\ {\rm kg}$、$I_\zeta=0.153\ {\rm kg\,m^2}$、$I_\xi=0.0180\ {\rm kg\,m^2}$ である。この数値を [5] まで使う。

辺の半分を全長と読み違えて $M(a^2+b^2)/12$ とすると $0.0383\ {\rm kg\,m^2}$ で、正しい値の1/4になり、[5] の周期は半分の $0.341\ {\rm s}$ になる。$I_\zeta$ の代わりに $I_\xi=\frac23Ma^2$ を使う誤りもあり、この場合の周期は $0.234\ {\rm s}$ になる（正しい値は $0.683\ {\rm s}$）。

[2]　運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、ラグランジアン

使う知識は、ケーニッヒの定理と、主軸まわりの回転エネルギーである。剛体の運動エネルギーは、重心の速度 $\boldsymbol v_G$ による $\frac12Mv_G^2$ と、重心まわりの回転 $\frac12\boldsymbol\omega\cdot\mathsf I\boldsymbol\omega$ の和になる。質量要素の速度を $\boldsymbol v_G+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r'$（$\boldsymbol r'$ は重心から測った位置）と書いて2乗すると、$\boldsymbol v_G\cdot\bigl(\boldsymbol\omega\times\int\rho\boldsymbol r'dV\bigr)$ の交差項が出るが、重心の定義から $\int\rho\boldsymbol r'dV=0$ なので消える。この問題は $\zeta$ 軸まわりの回転だけを考えるので $\boldsymbol\omega=\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\zeta}$ であり、[1] で主軸と確かめた $\zeta$ 軸の $I_\zeta$ がそのまま使える。

糸の張力は剛体に働くが、ラグランジアンには入らない。糸は伸びないので、P の速度は A から P への糸と垂直な成分しか持たず（P は A を中心とする半径 $l$ の球面上を動く）、張力は仕事をしない。糸の効果は [3] の拘束条件で $Z$ と $\theta$ を結びつける形で入る。

次元を確かめる。$M\dot Z^2$ は ${\rm kg\,(m/s)^2}={\rm J}$、$I_\zeta\dot\theta^2$ は ${\rm kg\,m^2\,s^{-2}}={\rm J}$（$\theta$ は無次元）、$MgZ$ は ${\rm kg\cdot m/s^2\cdot m}={\rm J}$ で、3つの項はすべてエネルギーである。$Z$ の原点を平衡位置の重心に置いたことは $U$ に定数が加わるかどうかだけに関わり、運動方程式を変えない。

誤りは、$U$ の符号を逆にして $-MgZ$ とすることである。[3] 以降の計算で、数値例の $\omega^2$ が $+84.7\ {\rm s^{-2}}$ ではなく $-84.7\ {\rm s^{-2}}$ になり、振動解が得られない。

[3]　$\theta$ だけを座標とするラグランジアン

使う知識は、拘束による自由度の削減と、微小振動の近似の次数である。剛体の座標 $(\theta,Z)$ のうち、糸の長さが一定という条件 $|{\rm Q}-{\rm B}|=l$ が $Z$ を $\theta$ の関数に決める。自由度は2から1に減り、拘束力である張力は消える。問題文のヒントが、点Qが点Bを中心とする半径 $l$ の球面上にあることを指摘しており、これがこの条件を使う合図である。

微小振動では、ラグランジアンを $\theta,\dot\theta$ の2次まで残せば、運動方程式が線形になる。拘束の式から $Z$ は $\theta^2$ のオーダーなので、$Z^2\sim\theta^4$ は $Zh\sim\theta^2$ に比べて落とせる。$\dot Z^2$ も $\theta^2\dot\theta^2$ で4次であり、2次の項 $\dot\theta^2$ と $\theta^2$ だけが残る。数値例で $\theta=0.02\ {\rm rad}$ とすると、拘束の式を厳密に解いた $Z=h-\sqrt{h^2-2bc(1-\cos\theta)}$ は $0.02449\ {\rm mm}$、近似式は $bc\theta^2/(2h)=0.02449\ {\rm mm}$ で一致する。落とした $Z^2$ の項の相対的な大きさ $Z/(2h)$ は $2.5\times10^{-5}$、$\dot Z^2$ の項は $\dot\theta=1\ {\rm rad/s}$ のとき回転の項の $4.2\times10^{-4}$ 倍である。

物理的な意味は、図の上面図から読める。棒が $\theta$ だけねじれると、糸の水平方向の投影が長くなる。糸の長さは変わらないので鉛直方向の成分が縮み、剛体が持ち上がる（$Z>0$）。ねじれの向きによらず $\theta^2$ に比例して持ち上がるので、$\theta=0$ が位置エネルギーの極小になり、復元力が働く。

誤りは、$1-\cos\theta\simeq\theta^2/2$ の係数 $1/2$ を落とすことである。$Z=bc\theta^2/h$ となって位置エネルギーが2倍になり、[5] の周期は $0.483\ {\rm s}$ と、正しい値の $1/\sqrt2$ 倍になる。

[4]　$\theta$ に関するラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式は、作用 $\int L\,dt$ が停留する条件から出る。座標 $\theta$ が拘束を満たす形で選ばれているので、拘束力である張力は方程式に現れない。力学の原理は同じだが、力を1つずつ数える方法に比べて、張力のような未知の拘束力を計算せずに済む。

張力のトルクから別に導いて確かめる。2本の糸の張力の大きさを同じ $f$ とする。Q にかかる張力は Q から B へ向き、成分は $\frac fl(c-b\cos\theta,\ -b\sin\theta,\ h-Z)$ である。鉛直方向の釣り合い（微小量で $Z$ を無視）から $2f\,h/l=Mg$、すなわち $f/l=Mg/(2h)$ である。Q の水平成分による $\zeta$ 軸まわりのトルクは、位置 $(b\cos\theta,\ b\sin\theta)$ との外積で $-\frac fl\,bc\sin\theta$ となり、P 側も同じ値を持つ。2本の合計は $$K_\zeta=-2\cdot\frac fl\,bc\sin\theta=-\frac{Mgbc}{h}\sin\theta\simeq-\frac{Mgbc}{h}\,\theta$$ で、$I_\zeta\ddot\theta=K_\zeta$ から [4] の式と一致する。

次元は、$I_\zeta\ddot\theta$ が ${\rm kg\,m^2\,s^{-2}}$、$(Mgbc/h)\theta$ が ${\rm kg\cdot m/s^2\cdot m}$ で、どちらもトルクの単位 ${\rm N\,m}$ である。

誤りは、$\partial L/\partial\theta$ の符号を落として $I_\zeta\ddot\theta-(Mgbc/h)\theta=0$ とすることである。数値例では $\ddot\theta=+84.7\ {\rm s^{-2}}\,\theta$ となり、$\theta$ が指数関数的に増える解になる。[3] で位置エネルギーが $\theta^2$ に比例して増えることと矛盾するので、符号は確かめられる。

[5]　微小振動の周期

$\ddot\theta=-\omega^2\theta$ の一般解は $\theta_0\cos(\omega t+\varphi)$ で、周期 $2\pi/\omega$ は振幅 $\theta_0$ によらない。この等時性は、位置エネルギーが $\theta^2$ に比例する（ラグランジアンを2次で打ち切った）ことから出る。振幅が大きくなれば、落とした4次の項の影響で周期が変わる。数値例で、厳密な拘束 $Z(\theta)$ と $\dot Z$ の項を含む1自由度のラグランジアンを数値積分すると、振幅 $0.002\ {\rm rad}$ の周期は $0.682619\ {\rm s}$ で、公式の $0.682618\ {\rm s}$ と一致する。振幅 $0.30\ {\rm rad}$ では $0.6997\ {\rm s}$ で、約2.5\%長い。

当てはめでは、数値例の $h=\sqrt{0.50^2-0.10^2}\ {\rm m}=0.4899\ {\rm m}$、$I_\zeta/M=(0.05^2+0.20^2)/3\ {\rm m^2}=0.014167\ {\rm m^2}$ から $\omega=\sqrt{9.8\times0.20\times0.30/(0.4899\times0.014167)}\ {\rm s^{-1}}=9.205\ {\rm rad/s}$、$T=0.683\ {\rm s}$ である。

次元は $(I_\zeta/M)\,h/(g\,bc)$ が ${\rm m^2\cdot m/(m/s^2\cdot m^2)}={\rm s^2}$ で、平方根が時間になる。質量 $M$ が消えるのは、慣性（$I_\zeta\propto M$）と復元力（$\propto Mg$）がともに $M$ に比例するためである。極限として、糸が鉛直な $c=b$ では $h=l$ となり、$T=2\pi\sqrt{l(a^2+b^2)/(3gb^2)}$ である。これは、回転半径 $k$ の物体を間隔 $2r$ の2本の糸（長さ $l$）で吊る二本吊りの標準式 $T=2\pi\sqrt{k^2l/(gr^2)}$ に、$r=b$、$k^2=(a^2+b^2)/3$ を入れたものになる。$a\to0$ の細い棒では $T=2\pi\sqrt{hb/(3gc)}$ である。糸が水平に近づく $c-b\to l$（$h\to0$）では、$T\to0$ となる。下の図は、$b=0.20\ {\rm m}$、$l=0.50\ {\rm m}$ を固定して $c$ を変えた周期である。$c$ が大きいほど糸が斜めになって復元力が強まり、周期が短くなる。

誤りは、慣性モーメントと高さの取り違えに集中する。$I_\zeta$ の代わりに $I_\xi=\frac23Ma^2$ を使うと $T=0.234\ {\rm s}$ となり、正しい値の約0.34倍である。糸が斜めであることを見落とし、$h$ を糸の長さ $l$ に置き換えると $T=0.690\ {\rm s}$ で、約1.0\%長い。慣性モーメントを $M(a^2+b^2)/12$（辺の半分を全長と読み違え）にすると $0.341\ {\rm s}$、[3] で係数 $1/2$ を落とすと $0.483\ {\rm s}$ になる。これらの値は、いずれも同じ数値例から計算した。