阪大 基礎工学研究科 物質創成専攻 物性物理科学I 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説4項目）

[1]　$x_1,x_2$ で表したラグランジアン

ラグランジアンは運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いた $L=T-U$ である。バネの弾性エネルギーは、伸び（長さと自然長の差）の2乗に $k/2$ を掛けたもので、フックの法則 $F=-k\,(\text{伸び})$ が成り立つ範囲で使える。質量の無視できるバネは自分の運動エネルギーをもたないので、$T$ には2つの質点の項だけが入る。「滑らかで水平な床」「水平運動のみ」という条件が、重力と垂直抗力を考えなくてよいという合図になる。

確かめとして、オイラー・ラグランジュ方程式を立てると $m_1\ddot x_1=k(x_2-x_1-l)$、$m_2\ddot x_2=-k(x_2-x_1-l)$ となる。伸びが正のとき、バネは質点1を $+x$ 向きに、質点2を $-x$ 向きに同じ大きさで引き、作用・反作用の法則に合う。次元は、$k$ の ${\rm N/m}$ に長さの2乗を掛けて ${\rm N\,m}={\rm J}$ となり、エネルギーに一致する。

誤りは、自然長 $l$ を落として $U=\frac12k(x_2-x_1)^2$ と書くことである。$k=3\,{\rm N/m}$、$l=1\,{\rm m}$、質点間の距離が $1.2\,{\rm m}$ の例では、正しい弾性エネルギーは $\frac12\cdot3\cdot0.2^2=0.06\,{\rm J}$ だが、誤った式では $2.16\,{\rm J}$ になる。釣り合いの位置も $x_2-x_1=l$ から $x_2-x_1=0$ へずれてしまう。

[2]　重心座標・相対座標で表したラグランジアン

重心座標は質量で重みを付けた平均位置で、$M\dot X=m_1\dot x_1+m_2\dot x_2$ は系の全運動量にあたる。座標の組 $(x_1,x_2)\to(X,x)$ は1次の変換で、ヤコビ行列式の絶対値は1、逆変換も一意に定まる。ラグランジュの運動方程式は座標の選び方に依らず同じ形をとる（点変換に対する共変性）ので、$L$ に上の関係を代入するだけでよい。

運動エネルギーの交差項が消えるのは、$X$ が質量で重みを付けた平均だからである。単純平均 $(x_1+x_2)/2$ を使うと $\frac12(m_2-m_1)\dot Y\dot x$ が残り、$m_1\neq m_2$ のとき2つの座標が分離しない。$\mu$ は換算質量で、$1/\mu=1/m_1+1/m_2$ と書ける。

極限で確かめる。$m_1=m_2=m$ では $M=2m$、$\mu=m/2$ となる。$m_2\to\infty$ では $\mu\to m_1$、$X\to x_2$ で、重い質点が止まったまま軽い質点だけが動く1個のバネ振り子になる。

誤りは、$\mu$ を $(m_1+m_2)/(m_1m_2)$ と逆さに書くことである。$m_1=1\,{\rm kg}$、$m_2=2\,{\rm kg}$ で正しい $\mu$ は $2/3\,{\rm kg}$ だが、逆さにした式は $1.5\,{\rm kg^{-1}}$ となり、質量の次元に合わない。この値を [4] の $\omega=\sqrt{k/\mu}$ に入れると $k=3\,{\rm N/m}$ で $\omega=1.414\,{\rm rad/s}$ となり、正しい $2.121\,{\rm rad/s}$ から外れる。

[3]　重心座標と相対座標の運動方程式

$L$ が $X$ に陽に依らないので、$X$ に共役な運動量 $P=M\dot X$ は保存する。外力が働かず、バネの力が内力であることの現れで、解は等速運動 $X=X_0+Vt$ である。相対座標のほうは、質量 $\mu$ の1個の質点が自然長からの変位 $x-l$ に比例する復元力を受ける単振動になり、解は $x=l+A\cos(\omega t+\varphi)$ である。2体問題が「重心の等速運動」と「1体問題」に分かれるのが、座標を移す目的である。

確かめは、[1] の運動方程式から作れる。$\ddot x=\ddot x_2-\ddot x_1=-k\,(x-l)\,(1/m_1+1/m_2)=-(k/\mu)(x-l)$ となり一致する。$m_1\ddot x_1+m_2\ddot x_2=0$ も同じ式から出る。

誤りは、相対座標の式で自然長を落として $\mu\ddot x=-kx$ と書くことである。$x=1.1\,{\rm m}$、$l=1\,{\rm m}$、$k=3\,{\rm N/m}$ のとき、復元力は正しくは $-k(x-l)=-0.3\,{\rm N}$ だが、誤った式では $-3.3\,{\rm N}$ になり、振動の中心が $x=l$ でなく $x=0$ になってしまう。

[4]　相対運動の角振動数

単振動の方程式 $\ddot\xi=-\omega^2\xi$ の一般解は $\xi=A\cos(\omega t+\varphi)$ で、周期は $2\pi/\omega$ である。$\omega$ は運動方程式の係数 $k/\mu$ の平方根として決まり、振幅 $A$ と位相 $\varphi$ には依らない。

次元は $[k/\mu]={\rm N\,m^{-1}\,kg^{-1}}={\rm s^{-2}}$ で、$\omega$ の次元 ${\rm s^{-1}}$ に合う。極限では、$m_2\to\infty$ で $\omega\to\sqrt{k/m_1}$、すなわち片側を固定した通常のバネ振り子に一致する。$m_1=m_2=m$ では $\omega=\sqrt{2k/m}$ となり、片側固定の場合の $\sqrt2$ 倍である。両方の質点が動いて、バネが実質的に半分の長さのバネ2本として働くことに対応する。

数値は $m_1=1\,{\rm kg}$、$m_2=2\,{\rm kg}$、$k=3\,{\rm N/m}$ で確かめる。$\mu=2/3\,{\rm kg}$、$\omega=\sqrt{4.5}=2.121\,{\rm rad/s}$、周期は $2.962\,{\rm s}$ である。元の運動方程式を4次のルンゲ・クッタ法で数値積分し、相対座標の周期を測ると $2.96192\,{\rm s}$ で、公式の $2\pi/\omega=2.96192\,{\rm s}$ と一致した。

誤りは、全質量 $M$ を使った $\omega=\sqrt{k/(m_1+m_2)}$（上の数値で $1.000\,{\rm rad/s}$）や、片方の質点だけが動くとした $\sqrt{k/m_2}$（$1.225\,{\rm rad/s}$）を答えることである。どちらも換算質量でなく単独の質量を使っており、正しい $2.121\,{\rm rad/s}$ より小さい。

[5]　鉛直方向の相対運動の方程式と角振動数

一様な重力のもとでは、質点にかかる重力 $m_ig$ が質量に比例するので、2つの質点の加速度への寄与は共通の $-g$ になる。相対加速度 $\ddot y=\ddot y_2-\ddot y_1$ を作ると、この共通の $-g$ が引き算で消える。ラグランジアンでは、$\sum_im_iy_i=MY$ という関係が同じことを表している。重心だけが重力を感じ、相対運動は無重力のときと変わらない。問題文の「重力加速度は一定」が、この打ち消しを使う合図である。

別の導き方として、力から直接 $m_1\ddot y_1=k(y-l)-m_1g$、$m_2\ddot y_2=-k(y-l)-m_2g$ を作る。両辺を質量で割って引くと $\ddot y=-k(y-l)(1/m_1+1/m_2)-g+g=-(k/\mu)(y-l)$ となる。

数値でも確かめた。$m_1=1\,{\rm kg}$、$m_2=2\,{\rm kg}$、$k=3\,{\rm N/m}$、$l=1\,{\rm m}$ の2質点を、自然長から $0.1\,{\rm m}$ 縮めて静止の状態から放し、運動方程式を数値積分した。$g=0$ と $g=9.8\,{\rm m/s^2}$ のどちらでも、$y$ の周期は $2.96192\,{\rm s}$、振動の中心は $y=l=1\,{\rm m}$ になった。自由に落下する系の釣り合いの長さは、重力があってもバネの自然長のままである。

誤りの一つは、重力を片方の質点にしか入れず $\ddot y=-(k/\mu)(y-l)-g$ とすることである。この式の釣り合いは $y=l-\mu g/k$ で、上の数値では $-1.178\,{\rm m}$ になり、$y_2>y_1$ の前提と矛盾する。もう一つは、重力でバネが伸びたまま釣り合うと考えることである。バネの上端を固定して吊るす場合は静的な伸びが生じるが、固定点のない系では両方の質点が同じ加速度で落ちるので、バネは伸びない。

[6]　水素原子のエネルギー準位と重力

一様な重力場では、各粒子の重力ポテンシャルが $m_igz_i$ で、総和は重心の高さだけで決まる。2体系の運動が重心と相対座標に分かれることは、[5] の古典の議論をそのまま量子力学に移したものである。粒子間の相互作用が相対座標だけに依ること、外場のポテンシャルが粒子の位置の1次式であることの2つが、変数分離できる条件になる。問題文は相対論効果の無視を指定しているので、重力はニュートン力学の一様な重力ポテンシャルとして扱ってよい。

エネルギー準位は相対運動の固有値で、水素原子の値 $E_n=-\mu_{\rm H}e^4/\bigl(2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2n^2\bigr)$ に等しい。無限に重い陽子として計算した値は $13.606\,{\rm eV}/n^2$、換算質量 $\mu_{\rm H}=0.999456\,m_{\rm e}$ を入れると基底準位は $-13.598\,{\rm eV}$ で、励起エネルギー（$n=1\to2$）は $10.199\,{\rm eV}$ である。全体のエネルギーは相対運動の $E_n$ に重心の運動のエネルギーを加えたものだが、重心の部分は自由落下の連続的なエネルギーで、原子の内部状態の準位には関わらない。

重力の影響を見積もるときの誤りは、電子だけに重力ポテンシャル $m_{\rm e}gz$ を加え、摂動として準位が動くと考えることである。ボーア半径 $a_0=5.29\times10^{-11}\,{\rm m}$ を使うと、その大きさは $m_{\rm e}ga_0=2.95\times10^{-21}\,{\rm eV}$ で、結合エネルギーの $2\times10^{-22}$ 倍にすぎない。そもそも陽子にも同じ加速度で重力が働くので、相対座標には効かず、この摂動項は存在しない。厳密に残る効果は、重力場が一様でないことによる補正だけで、その大きさは $\mu_{\rm H}\,g\,a_0^2/R_{\rm E}\approx2.5\times10^{-38}\,{\rm eV}$（$R_{\rm E}$ は地球の半径）と、さらに桁違いに小さい。