九州大学工学府化学工学専攻

2027年度院試数学の解答と途中式

2026年8月実施 · 問題1〜3の全8小問 · 無料解説

2027年度入学者向け、2026年8月実施の数学です。公式問題、公式解答例、出題意図と照合しながら、全3問・8小問の計算を説明します。問題1は極座標の面積、問題2は共鳴する非同次微分方程式、問題3は正規直交化とQR分解です。

問題1：接線への垂足を極座標で表す

放物線の接点をP＝(1＋t²/4, t)、−2＜t＜2とおきます。垂足Hは、接線上にあり、原点からHへのベクトルが接線に垂直になる点です。この2条件から座標を決めます。

(1.1) 接線の法線ベクトルからrを求める

放物線をx＝1＋y²/4とみると、接点でdx/dy＝t/2です。接線を整理すると次の式になり、法線ベクトルはn＝(1, −t/2)と読めます。

\begin{aligned}x-\left(1+\frac{t^2}{4}\right)&=\frac t2(y-t),\\\therefore\quad x-\frac t2 y&=1-\frac{t^2}{4}.\end{aligned}

H＝λnを接線の式へ代入してλを決めます。|t|＜2なのでλは正で、Hはnと同じ向きです。

\begin{aligned}\lambda\left(1+\frac{t^2}{4}\right)&=1-\frac{t^2}{4},\\H&=\frac{1-t^2/4}{1+t^2/4}\left(1,-\frac t2\right).\end{aligned}

したがってtan θ＝−t/2です。指定された角度範囲ではcos θ＞0なので、平方根の符号も確定できます。

\begin{aligned}r&=\frac{1-t^2/4}{\sqrt{1+t^2/4}}\\&=(1-\tan^2\theta)\cos\theta\\&=\boxed{2\cos\theta-\frac1{\cos\theta}},\qquad -\frac\pi4<\theta<\frac\pi4.\end{aligned}

接点の位置ベクトルと、垂足の位置ベクトルは異なります。ここでrはOHの長さです。t＝0なら接線はx＝1、H＝(1,0)なのでr＝1となり、式とも一致します。

接点のy座標をt＝1とした例。緑色の領域の面積を求めます。

(1.2) 原点を加えて閉じた領域の面積

区間内ではr＞0、両端でr→0です。θがこの区間を1回動くと曲線を一周するので、極座標の面積公式をそのまま使えます。

\begin{aligned}S&=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(2\cos\theta-\frac1{\cos\theta}\right)^2d\theta\\&=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(4\cos^2\theta-4+\sec^2\theta\right)d\theta\\&=\frac12\left[-2\theta+\sin2\theta+\tan\theta\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}\\&=\boxed{2-\frac\pi2}.\end{aligned}

rだけを積分したり、上下対称を理由に2倍したあと同じ区間を積分したりすると面積がずれます。上式は上下両方を含んでいます。

問題2：3つの非同次微分方程式

一般解は「同次方程式の一般解＋特解」です。右辺と同じ形が同次解に含まれるとき、その形をそのまま特解にしても左辺が0になります。重複する回数に応じてxを掛けるか、指数関数をくくって解きます。以下の定数C₁、C₂は各小問で独立です。

(2.1) 重根2に対する共鳴

y''-4y'+4y=x+e^{2x}.

特性方程式は(m−2)²＝0なので、同次解は(C₁＋C₂x)e²ˣです。右辺のxには特解ax＋bを対応させます。代入後の係数比較で4a＝1、4b−4a＝0となり、a＝b＝1/4です。

右辺のe²ˣに対してはy＝e²ˣzとおくと、左辺がe²ˣz″になります。z″＝1の特解はx²/2なので、求める一般解は次のとおりです。

\boxed{y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{x+1}{4}+\frac{x^2}{2}e^{2x}}

e²ˣだけでなくxe²ˣも同次解です。そのため、特解ではx²e²ˣまで次数を上げる必要があります。

(2.2) 同じ振動数の余弦による共鳴

y''+9y=\cos3x.

同次解はC₁cos 3x＋C₂sin 3xです。特解をAx sin 3xとおくと、左辺は6A cos 3xになるのでA＝1/6です。

\boxed{y=C_1\cos3x+C_2\sin3x+\frac{x}{6}\sin3x}

xを掛けることで、微分したときに右辺の余弦が残ります。xを掛けないA cos 3x＋B sin 3xでは左辺が0となり、特解になりません。

(2.3) 指数関数をくくってから共鳴を処理する

y''-2y'+5y=e^x\sin2x.

y＝eˣzとおけば、左辺はeˣ(z″＋4z)です。z″＋4z＝sin 2xを解けばよく、同次解はC₁cos 2x＋C₂sin 2xになります。特解をAx cos 2xとすると左辺は−4A sin 2xなのでA＝−1/4です。

\boxed{y=e^x\left(C_1\cos2x+C_2\sin2x-\frac{x}{4}\cos2x\right)}

最後にeˣを掛け戻すことと、余弦の微分で生じる負号が要点です。3問とも、得た特解だけを元の左辺へ代入すると右辺が再現されます。

問題3：グラム・シュミット法からQR分解へ

与えられたベクトルはv₁＝(1,1,0)、v₂＝(1,3,1)、v₃＝(2,−1,1)です。以下では計算しやすいように列ベクトルとして書き、Aの第i列をvᵢとします。

(3.1) 射影を順番に引き、長さを1にする

q_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}.

次にv₂からq₁方向の成分を引きます。内積q₁ᵀv₂＝2√2なので、残りのベクトルとその正規化は次のようになります。

\begin{aligned}u_2&=v_2-(q_1^Tv_2)q_1\\&=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},\\q_2&=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.\end{aligned}

v₃については、q₁・q₂の両方向の成分を引きます。q₂ᵀv₃が負なので、その成分を引く項の符号に注意します。

\begin{aligned}q_1^Tv_3&=\frac1{\sqrt2},\qquad q_2^Tv_3=-\frac2{\sqrt3},\\u_3&=v_3-\frac1{\sqrt2}q_1+\frac2{\sqrt3}q_2\\&=\frac56\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},\\q_3&=\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}.\end{aligned}

3本の内積は互いに0、長さはすべて1です。q₂はv₁を引いただけのベクトルではなく、v₂からv₁方向への射影を引いて作ります。

(3.2) Rの各列は、元のベクトルのq基底での係数

Q＝(q₁,q₂,q₃)は直交行列なので、A＝QRの左からQᵀを掛けるとR＝QᵀAです。直交化で計算した内積がそのままRの成分になります。

\begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&3&-1\\0&1&1\end{pmatrix},\\R&=\boxed{\begin{pmatrix}\sqrt2&2\sqrt2&1/\sqrt2\\0&\sqrt3&-2/\sqrt3\\0&0&5/\sqrt6\end{pmatrix}}.\end{aligned}

例えば第3列はv₃＝q₁/√2−2q₂/√3＋5q₃/√6を表しています。これを計算して(2,−1,1)に戻ることを確かめれば、射影係数の符号も検算できます。

(3.3) 直交行列の行列式の符号も確認する

上三角行列Rの行列式は対角成分の積で5です。一方、直交行列の行列式は±1なので、直交していることだけでdet Q＝1とは決められません。今回の列ベクトルではq₁×q₂＝q₃となるため、det Q＝1です。

\det A=\det Q\,\det R=1\cdot\sqrt2\sqrt3\frac5{\sqrt6}=\boxed{5}.

Aを直接展開しても、1(3＋1)−1(1−0)＋2(1−0)＝5と確認できます。正規直交基底の符号を変えて答える場合は、Rの対応する行の符号も合わせて変更する必要があります。

九大の学府・専攻別の公式過去問を探す

行列分解の別の例は、機械系2026年度の特異値分解で解説しています。

2027年度 院試数学の解答と途中式