EJU数学新大纲
期望与概率分布的六道练习

1. 四种等可能结果为：反反、正反、反正、正正。中间两种都对应X=1，因此不能把0、1、2当成三个等可能结果。
2. E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1。
3. E(100X−80)=100E(X)−80=20。平均得分为20；一次实验的得分仍可能是−80、20或120。

若你算出概率都是1/3，应先检查等可能的是基本结果，还是合并后的数值。

1. 共有C(5,2)=10种等可能的取法。没有红球有C(3,2)=3种；一个红球有2×3=6种；两个红球只有1种。
2. 先检查3/10+6/10+1/10=1，再计算E(X)=0×3/10+1×6/10+2×1/10=4/5。
3. 也可分两次抽，令I₁、I₂表示每次是否抽到红球。每次边际概率均为2/5，所以E(X)=E(I₁)+E(I₂)=4/5。期望的可加性不要求两次抽取独立。

4/5不是一次能抽到的红球个数，而是多次重复实验的平均值。

1. 由上表得到E(X²)=1；第2题已经求得E(X)=4/5。
2. V(X)=E(X²)−{E(X)}²=1−16/25=9/25。标准差为√V(X)=3/5。
3. 用定义复核：(0−4/5)²×3/10+(1−4/5)²×6/10+(2−4/5)²×1/10=9/25。两条路线应得到同一个结果。

E(X²)与{E(X)}²不同。先求平方的平均，再减去平均的平方。

1. E(Y)=50E(X)+20=50×4/5+20=60。
2. 每个值都加20，只把分布平移，不改变它们到均值的距离。乘50则把距离放大50倍，平方距离放大2500倍。
3. 因此V(Y)=50²V(X)=2500×9/25=900，标准差为30。一般地，V(aX+b)=a²V(X)，标准差变为|a|倍。

不能写成V(50X+20)=50V(X)+20；这个形式只适用于期望。

1. E(X)=E(Y)=1/2。因为X²=X、Y²=Y，两个变量的方差均为1/2−1/4=1/4。
2. XY只有在点数为4或6时等于1，所以E(XY)=2/6=1/3。协方差Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=1/3−1/4=1/12。
3. 相关系数为Cov(X,Y)/{σ(X)σ(Y)}=(1/12)/(1/2×1/2)=1/3。两事件不独立，因为P(X=1,Y=1)=1/3≠1/2×1/2。

“掷的是均匀骰子”不能推出两个由同一次结果定义的变量独立。先列联合分布。

1. 无论哪一种结果，X+Y总为1。因此E(X+Y)=1，V(X+Y)=0。
2. 单独看，V(X)=V(Y)=1/4。但XY总为0，所以Cov(X,Y)=0−1/2×1/2=−1/4。
3. 一般公式给出V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)=1/4+1/4−1/2=0。只有协方差为0时才能直接相加；独立是保证协方差为0的一种充分条件。

期望总能相加；方差需要额外条件。把这两条分开记。