# フェルミ統計とボース統計｜分布関数・フェルミエネルギー・ボース凝縮

> フェルミ・ディラック分布とボース・アインシュタイン分布の導き方、化学ポテンシャルの決め方、自由電子気体のフェルミエネルギーと低温比熱、ボース凝縮の転移温度、光子気体を計算例とともに解説します。

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- 最終更新: 2026-11-16
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同種粒子の量子統計では、エネルギー $\varepsilon$ の1粒子状態を占める平均粒子数が、フェルミ粒子なら $1/(e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1)$、ボース粒子なら $1/(e^{\beta(\varepsilon - \mu)} - 1)$ になる。化学ポテンシャル $\mu$ は、全粒子数 $N$ が与えられた値になる条件から決める。絶対零度の電子気体はフェルミエネルギー $\varepsilon_F$ まで下から順に状態を埋め、ボース気体は転移温度より下で最低準位に巨視的な数の粒子が集まる（ボース・アインシュタイン凝縮）。

## フェルミ粒子とボース粒子

### 定義：フェルミ粒子とボース粒子

同種粒子の多粒子波動関数は、2粒子を入れ替えると符号が変わる（反対称）か、変わらない（対称）かのどちらかである。反対称なものをフェルミ粒子、対称なものをボース粒子という。スピンが半整数の粒子（電子・陽子・中性子）はフェルミ粒子、整数の粒子（光子、$^4\mathrm{He}$ 原子）はボース粒子である。反対称性から、同じ1粒子状態に2個以上のフェルミ粒子は入れない（パウリの排他律）。

### 計算例：2粒子を2状態に入れる場合の数

2つの1粒子状態 $a, b$ に2粒子を入れる。区別できる古典粒子、ボース粒子、フェルミ粒子のそれぞれについて、とりうる多粒子状態の数を求めよ（スピンは考えない）。

解答：

- 区別できる粒子：各粒子が $a$ か $b$ に入るので $2^2 = 4$ 通り。
- ボース粒子：粒子を区別せず、占有数 $(n_a, n_b)$ が $(2, 0), (1, 1), (0, 2)$ の3通り。
- フェルミ粒子：占有数は $0$ か $1$ なので $(1, 1)$ の1通り。

検算：

一般に $M$ 状態に $N$ 粒子を入れると、ボース粒子は $\binom{M + N - 1}{N}$ 通り、フェルミ粒子は $\binom{M}{N}$ 通りで、$M = N = 2$ を入れると $3$ と $1$ になる。$M \gg N$ ではどちらも $M^N/N!$ に近づき、古典的な数え方 $M^N$ を $N!$ で割ったものと一致する。

## グランドカノニカル分布と占有数の分布関数

### 定義：グランドカノニカル分布

温度 $T$、化学ポテンシャル $\mu$ の熱浴とエネルギーと粒子をやりとりする系では、粒子数 $N$、エネルギー $E$ の微視状態の確率が $e^{-\beta(E - \mu N)}/\Xi$ になる。$\Xi = \sum e^{-\beta(E - \mu N)}$ を大分配関数といい、$J = -k_BT\ln\Xi$ をグランドポテンシャルという。一様な系では $J = -pV$ である。

### 定理・法則：占有数の分布関数

条件：

相互作用のない同種粒子の系をグランドカノニカル分布で扱う。1粒子状態 $j$ のエネルギーを $\varepsilon_j$ とし、占有数 $n_j$ について独立に和をとる。

主張：

$$\langle n_j\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j - \mu)} + 1} \quad (\text{フェルミ・ディラック分布})$$

$$\langle n_j\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j - \mu)} - 1} \quad (\text{ボース・アインシュタイン分布})$$

ボース粒子では占有数が負にならないよう、$\mu$ は最低の1粒子エネルギーより小さい。

要点：

状態 $j$ だけの大分配関数は、フェルミ粒子で $1 + e^{-\beta(\varepsilon_j - \mu)}$、ボース粒子で等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\beta(\varepsilon_j - \mu)} = 1/(1 - e^{-\beta(\varepsilon_j - \mu)})$ になり、$\langle n_j\rangle = k_BT\,\partial\ln\Xi_j/\partial\mu$ から分布が出る。$e^{\beta(\varepsilon - \mu)} \gg 1$ ではどちらもマクスウェル・ボルツマン分布 $e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}$ に近づく。

### 状態密度と粒子数の条件

- 3次元の状態密度

  $$D(\varepsilon) = \frac{gV}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2}$$

  体積 $V$ の箱に入った質量 $m$ の自由粒子（周期境界条件）。$g$ はスピンによる縮退度で、電子は $g = 2$。

- 粒子数とエネルギー

  $$N = \int_0^{\infty}D(\varepsilon)f(\varepsilon)\,d\varepsilon, \qquad U = \int_0^{\infty}\varepsilon D(\varepsilon)f(\varepsilon)\,d\varepsilon$$

  $f$ は上の分布関数。$N$ の式から $\mu$ を $T$ の関数として決める。

## フェルミ気体のフェルミエネルギーと低温比熱

### 自由電子気体の公式

- フェルミエネルギー

  $$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(3\pi^2n\right)^{2/3}, \qquad n = \frac{N}{V}$$

  $g = 2$ の場合。$T = 0$ では分布関数が $\varepsilon < \varepsilon_F$ で $1$、$\varepsilon > \varepsilon_F$ で $0$ の階段関数になり、$\mu(T = 0) = \varepsilon_F$。

- 基底状態のエネルギーと圧力

  $$U_0 = \frac{3}{5}N\varepsilon_F, \qquad p_0 = \frac{2}{5}n\varepsilon_F$$

  $T = 0$ でも圧力が残る（縮退圧）。

- 低温の比熱

  $$C_V \approx \frac{\pi^2}{2}Nk_B\frac{k_BT}{\varepsilon_F}$$

  $k_BT \ll \varepsilon_F$ のときのゾンマーフェルト展開の主要項。フェルミエネルギー付近の幅 $k_BT$ 程度の電子だけが励起されるので、$T$ に比例して小さい。

### 計算例：金属のフェルミエネルギーの見積もり

電子密度 $n = 8.5 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ の金属を自由電子気体とみなし、フェルミエネルギーとフェルミ温度 $T_F = \varepsilon_F/k_B$ を求めよ。電子の質量 $m = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$、$\hbar = 1.0546 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$、$1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$ とする。

解答：

$3\pi^2n \approx 2.517 \times 10^{30}\ \mathrm{m^{-3}}$、$(3\pi^2n)^{2/3} \approx 1.850 \times 10^{20}\ \mathrm{m^{-2}}$ より

$$\varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3} \approx 1.13 \times 10^{-18}\ \mathrm{J} \approx 7.05\ \mathrm{eV}$$

$T_F = \varepsilon_F/k_B \approx 8.2 \times 10^4\ \mathrm{K}$。

検算：

室温 $300\ \mathrm{K}$ は $T_F$ の約 $0.4\%$ で、$k_BT \ll \varepsilon_F$ が成り立つ。このため金属の電子比熱は古典値 $\frac{3}{2}Nk_B$ よりはるかに小さい。次元は $\hbar^2/m$ が $\mathrm{J\,m^2}$、$(3\pi^2n)^{2/3}$ が $\mathrm{m^{-2}}$ で、積がエネルギーになる。

### 計算例：絶対零度の平均エネルギー

$T = 0$ の自由電子気体で、1電子あたりの平均エネルギーが $\frac{3}{5}\varepsilon_F$ になることを示せ。

解答：

$D(\varepsilon) = A\varepsilon^{1/2}$ と書くと

$$N = \int_0^{\varepsilon_F}A\varepsilon^{1/2}\,d\varepsilon = \frac{2}{3}A\varepsilon_F^{3/2}, \qquad U_0 = \int_0^{\varepsilon_F}A\varepsilon^{3/2}\,d\varepsilon = \frac{2}{5}A\varepsilon_F^{5/2}$$

比をとって $U_0/N = \frac{3}{5}\varepsilon_F$。

検算：

$N$ の式に $A = \frac{2V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{3/2}$ を入れると $N = \frac{V}{3\pi^2}(2m\varepsilon_F/\hbar^2)^{3/2}$ となり、フェルミエネルギーの式に戻る。平均が $\varepsilon_F/2$ より大きいのは、状態密度が $\varepsilon^{1/2}$ で増え、高いエネルギーの状態が多いためである。

## ボース・アインシュタイン凝縮と光子気体

### 定理・法則：ボース・アインシュタイン凝縮

条件：

スピン $0$（$g = 1$）、質量 $m$ の相互作用のないボース粒子が、3次元の体積 $V$ の箱に入っている。粒子数 $N$ は一定で、$n = N/V$。

主張：

温度を下げると $\mu$ が下から $0$ に近づき、

$$k_BT_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}, \qquad \zeta(3/2) \approx 2.612$$

で $\mu = 0$ に達する。$T < T_c$ では励起状態に入れる粒子数が $N(T/T_c)^{3/2}$ に限られ、残りの $N_0 = N[1 - (T/T_c)^{3/2}]$ 個が最低準位に入る。

要点：

$\mu = 0$ のとき $\int_0^{\infty}D(\varepsilon)\,d\varepsilon/(e^{\beta\varepsilon} - 1) = V\zeta(3/2)/\lambda^3$（$\lambda$ は熱的ド・ブロイ波長）となることから出る。2次元以下の自由粒子では状態密度が $\varepsilon = 0$ の近くで小さくならず、この積分が発散するので、有限温度での凝縮は起きない。

### 計算例：光子気体のエネルギー密度

温度 $T$ の空洞内の光子気体（$\mu = 0$、偏光2つ、$\varepsilon = \hbar\omega$、$\omega = ck$）のエネルギー密度が $u = \frac{\pi^2k_B^4}{15\hbar^3c^3}T^4$ になることを示せ。

解答：

単位体積あたりの状態数は、角振動数 $\omega$ から $\omega + d\omega$ の間で $2 \times \frac{4\pi k^2\,dk}{(2\pi)^3} = \frac{\omega^2}{\pi^2c^3}d\omega$。各状態の平均エネルギーは $\hbar\omega/(e^{\beta\hbar\omega} - 1)$ なので、$x = \beta\hbar\omega$ とおいて

$$u = \int_0^{\infty}\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}\frac{d\omega}{e^{\beta\hbar\omega} - 1} = \frac{(k_BT)^4}{\pi^2\hbar^3c^3}\int_0^{\infty}\frac{x^3}{e^x - 1}\,dx = \frac{\pi^2k_B^4}{15\hbar^3c^3}T^4$$

ここで $\int_0^{\infty}x^3/(e^x - 1)\,dx = \pi^4/15$ を使った。

検算：

被積分関数はプランクの放射公式である。次元は $(k_BT)^4/(\hbar c)^3$ がエネルギー/体積になる。光子数は保存しないので $\mu = 0$ で、壁の小さな穴から出る放射の強さ $\frac{c}{4}u = \sigma T^4$ がシュテファン・ボルツマンの法則を与える。

## 量子統計でよくある誤り

1. フェルミ分布とボース分布の分母の符号を取り違える。フェルミ粒子は $+1$ で $0 \le f \le 1$、ボース粒子は $-1$ で、$\varepsilon \to \mu$ で発散する。
2. 化学ポテンシャル $\mu$ を定数として扱う。粒子数が一定の系では $N = \int Df\,d\varepsilon$ から $\mu$ が $T$ の関数として決まる。3次元のフェルミ気体では、温度が上がると $\mu$ は $\varepsilon_F$ からわずかに下がる。
3. 電子の状態密度でスピンの縮退 $g = 2$ を落とす。落とすと同じ密度で $\varepsilon_F$ が $2^{2/3}$ 倍に大きくなる。
4. ボース凝縮の計算で、最低準位の粒子も積分 $\int Df\,d\varepsilon$ に含まれていると考える。$D(\varepsilon) \propto \varepsilon^{1/2}$ は $\varepsilon = 0$ で $0$ なので、凝縮した粒子は積分に入らない。$N = N_0 + \int Df\,d\varepsilon$ と分けて書く。
5. 古典的なマクスウェル・ボルツマン分布を金属の伝導電子に使う。古典近似が成り立つのは $n\lambda^3 \ll 1$ のときで、$n = 8.5 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ の電子は $300\ \mathrm{K}$ で $n\lambda^3 \approx 7 \times 10^3$ になる。

## フェルミ統計とボース統計が出た院試の過去問

### [フェルミ・ボース統計](https://inshihub.com/exam-themes/fermi-dirac-statistics)（13大学・29問）

- [九州工業大学大学院 専門科目（物理情報工学） 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/physical-informatics-engineering/2026#problem-5): 現代物理学
- [名古屋工業大学 材料機能プログラム 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/materials-function-program/2026#problem-1): 量子物性
- [東京都立大学大学院 物理 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/physics/2026-winter#problem-4): 統計力学
- [東北大学大学院 マテリアル・開発系 数学・専門科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-engineering/materials-science-and-engineering/2026#problem-3): 物理-1：光子気体と黒体輻射
- [筑波大学大学院 物理 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-physics/physics/2026#problem-5): 熱統計力学
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2025年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2025#problem-6): 半導体バンドと水素拡散

解答まで無料で読める演習問題:

- [名古屋工業大学 材料機能プログラム 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/materials-function-program/2026#problem-1): 量子物性
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2025年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2025#problem-6): 半導体バンドと水素拡散
- [東京大学 専門科目（物理学） 2014年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2014#problem-2): 統計力学：二次元フェルミ粒子とギャップをもつ二帯模型
- [東京大学 専門科目（物理学） 2013年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2013#problem-2): 統計力学：理想ボース気体と断熱磁化