# 確率空間と確率変数｜条件付き確率・ベイズの定理・分布関数と密度

> 確率空間の公理、条件付き確率とベイズの定理、事象と確率変数の独立、分布関数と確率密度関数、変数変換の公式を数式で解説。検査の陽性的中率などの計算例と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16

確率は標本空間 $\Omega$ の事象に $0$ 以上 $1$ 以下の数を割り当てる関数 $P$ で、$P(\Omega)=1$ と可算加法性を満たす。条件付き確率は $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ で定め、結果から原因の確率を逆算するときはベイズの定理を使う。確率変数は $\Omega$ 上の実数値関数で、その分布は分布関数 $F(x)=P(X\le x)$ で決まる。連続型なら密度 $f=F'$ を区間で積分して確率を求め、$Y=g(X)$ の密度は変数変換の公式で出す。

## 確率空間の公理と基本性質

### 定義：確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

$\Omega$ を標本空間、$\mathcal{F}$ を $\Omega$ の部分集合の族で、$\Omega \in \mathcal{F}$ を含み、補集合と可算個の和集合で閉じたもの（$\sigma$ 加法族）とする。$\mathcal{F}$ の元を事象という。関数 $P:\mathcal{F}\to[0,1]$ が次を満たすとき確率という。

- $P(\Omega) = 1$。
- 互いに排反な事象 $A_1, A_2, \dots$ について $P\left(\bigcup_{i} A_i\right) = \sum_{i} P(A_i)$（可算加法性）。

$\Omega$ が有限集合で各根元事象が同様に確からしいときは $P(A) = |A|/|\Omega|$ で、高校の確率はこの特別な場合である。

### 公理から出る性質

- 余事象

  $$P(A^c) = 1 - P(A)$$

- 単調性

  $$A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B)$$

- 和事象（包除原理）

  $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

  3個なら $P(A\cup B\cup C) = \sum P(A) - \sum P(A\cap B) + P(A\cap B\cap C)$。

- 連続性

  $$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \Rightarrow P\left(\bigcup_{n} A_n\right) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$$

  減少列 $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ なら共通部分の確率が極限になる。可算加法性から出る。

## 条件付き確率とベイズの定理

### 定義：条件付き確率

$P(B) > 0$ のとき、$B$ が起きたという条件のもとでの $A$ の確率を

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

で定める。$A \mapsto P(A\mid B)$ はそれ自体が確率になる。変形すると乗法定理 $P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B)$ が得られる。

### 定理・法則：全確率の公式とベイズの定理

条件：

$B_1, B_2, \dots$ は互いに排反で和が $\Omega$（$\Omega$ の分割）、各 $P(B_i) > 0$。ベイズの定理ではさらに $P(A) > 0$ とする。

主張：

$$P(A) = \sum_{i} P(A \mid B_i)\,P(B_i), \qquad P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i} P(A \mid B_i)\,P(B_i)}$$

要点：

$A = \bigcup_i (A\cap B_i)$ が排反な和であることと乗法定理から全確率の公式が出る。ベイズの定理は $P(B_j\mid A) = P(A\cap B_j)/P(A)$ の分子に乗法定理、分母に全確率の公式を入れたものである。$B_i$ が分割でないと全確率の公式は成り立たない。

### 計算例：検査の陽性的中率

ある病気の有病率は $1\%$ である。検査は、病気の人の $99\%$ を陽性と判定し、病気でない人の $5\%$ も陽性と判定する。陽性と判定された人が実際に病気である確率を求めよ。

解答：

病気である事象を $D$、陽性の事象を $+$ とする。$P(D) = 0.01$、$P(+\mid D) = 0.99$、$P(+\mid D^c) = 0.05$。全確率の公式から

$$P(+) = 0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594$$

ベイズの定理から

$$P(D \mid +) = \frac{0.0099}{0.0594} = \frac{1}{6} \approx 0.167$$

検算：

10000人で数えると、病気の100人のうち陽性は99人、病気でない9900人のうち陽性は495人。陽性594人のうち病気は99人で、$99/594 = 1/6$ に一致する。有病率が低いと、検査の精度が高くても陽性的中率は低くなる。

## 事象の独立と確率変数の独立

### 定義：事象の独立

$P(A\cap B) = P(A)P(B)$ のとき $A$ と $B$ は独立という。$P(B)>0$ なら $P(A\mid B) = P(A)$ と同値である。

$A_1, \dots, A_n$ が独立であるとは、添字の任意の部分集合 $\{i_1, \dots, i_k\}$（$k \ge 2$）について $P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ が成り立つことをいう。2個ずつの積の式だけでは足りない。

2つずつ独立でも3つが独立とは限らない。公平な硬貨を2回投げ、$A$ を「1回目が表」、$B$ を「2回目が表」、$C$ を「2回の面が同じ」とする。$P(A) = P(B) = P(C) = 1/2$ で、$A\cap B$、$A\cap C$、$B\cap C$ はどれも「表表」だけなので確率 $1/4$ になり、2つずつは独立である。一方 $P(A\cap B\cap C) = 1/4 \ne 1/8$ なので、3つは独立でない。

### 定義：確率変数の独立

確率変数 $X, Y$ が独立であるとは、任意の $x, y$ で $P(X\le x, Y\le y) = P(X\le x)P(Y\le y)$ が成り立つことをいう。離散型では $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$、同時密度をもつ連続型では $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ と同値である。独立なら $g(X)$ と $h(Y)$ も独立になる。

## 分布関数と確率密度関数

### 定義：確率変数と分布関数

確率変数 $X$ は $\Omega$ 上の実数値関数で、任意の $x$ について $\{X \le x\}$ が事象になるものをいう。$F(x) = P(X \le x)$ を分布関数という。$F$ は単調非減少、右連続で、$\lim_{x\to-\infty}F(x) = 0$、$\lim_{x\to\infty}F(x) = 1$ を満たす。

$X$ のとる値が高々可算個のとき離散型といい、確率関数 $p(x) = P(X = x)$ で分布を表す。$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ となる $f \ge 0$ があるとき連続型といい、$f$ を確率密度関数という。

- 区間の確率

  $$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$$

- 1点の確率

  $$P(X = a) = F(a) - \lim_{x \to a-0} F(x)$$

  連続型では $0$ になるので、$<$ と $\le$ を区別しなくてよい。

- 密度と確率

  $$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$

- 密度と分布関数

  $$f(x) = F'(x) \quad (F \text{ が微分可能な点で})$$

  $f(x)$ 自体は確率ではなく、$1$ を超えてもよい。

### 計算例：2個のさいころの大きいほうの目

公平なさいころを2個投げ、大きいほうの目を $M$ とする。$M$ の確率関数を求めよ。

解答：

2個が独立なので $P(M \le k) = P(\text{両方} \le k) = (k/6)^2$。よって

$$P(M = k) = \left(\frac{k}{6}\right)^2 - \left(\frac{k-1}{6}\right)^2 = \frac{2k - 1}{36} \quad (k = 1, \dots, 6)$$

検算：

$\sum_{k=1}^{6}(2k-1) = 36$ なので確率の和は $1$。$k = 6$ なら $11/36$ で、36通りを数えると6が少なくとも1つ出るのは $36 - 25 = 11$ 通りである。

## 確率変数の変数変換

### 定理・法則：1変数の変数変換

条件：

$X$ は密度 $f_X$ をもつ。$g$ は $X$ のとる値の範囲を含む開区間で狭義単調かつ $C^1$ 級で、$g'$ が $0$ にならない。$Y = g(X)$。

主張：

$$f_Y(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{d}{dy} g^{-1}(y)\right|$$

要点：

増加なら $F_Y(y) = P(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))$ を微分すれば出る。減少なら不等号の向きが逆になり、絶対値が付く。$g$ が単調でないときは、$g(x) = y$ の解 $x_k$ ごとに $f_X(x_k)/|g'(x_k)|$ を足し合わせる。

- 2変数（ヤコビアン）

  $$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}\bigl(x(u,v), y(u,v)\bigr)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$$

  $(x,y) \mapsto (u,v)$ が1対1で、逆写像が $C^1$ 級のとき。

- 独立な和（たたみ込み）

  $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z - x)\,dx$$

  $X, Y$ が独立で密度をもつとき。

### 計算例：一様乱数の対数

$X$ が区間 $(0,1)$ の一様分布に従うとき、$Y = -\log X$ の分布を求めよ。

解答：

$y > 0$ で $F_Y(y) = P(-\log X \le y) = P(X \ge e^{-y}) = 1 - e^{-y}$。微分して $f_Y(y) = e^{-y}$（$y>0$）。$Y$ は平均 $1$ の指数分布に従う。

検算：

公式で確かめる。$g(x) = -\log x$ は減少で $g^{-1}(y) = e^{-y}$、$|dg^{-1}/dy| = e^{-y}$、$f_X = 1$ なので $f_Y(y) = e^{-y}$。$\int_0^\infty y e^{-y}\,dy = 1$ も成り立つ。

### 計算例：単調でない変換

$X$ が区間 $(-1,1)$ の一様分布に従うとき、$Y = X^2$ の密度を求めよ。

解答：

$0 < y < 1$ で $F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) = \sqrt{y}$。よって $f_Y(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}$（$0<y<1$）。

検算：

解の和で確かめる。$x^2 = y$ の解は $\pm\sqrt{y}$、$f_X = 1/2$、$|g'(\pm\sqrt{y})| = 2\sqrt{y}$ なので $2 \times \dfrac{1/2}{2\sqrt{y}} = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}$。$\int_0^1 \dfrac{dy}{2\sqrt{y}} = 1$ になる。

## 答案でよくある誤り

1. $P(A\mid B)$ と $P(B\mid A)$ を取り違える。検査の例では $P(+\mid D) = 0.99$ でも $P(D\mid +) = 1/6$ である。逆向きの確率はベイズの定理で事前確率 $P(D)$ を入れて計算する。
2. 排反と独立を混同する。$P(A), P(B) > 0$ で排反なら $P(A\cap B) = 0 \ne P(A)P(B)$ なので独立ではない。排反は和の確率、独立は積の確率についての条件である。
3. 3つ以上の事象の独立を、2つずつの積の式だけで確かめる。全部の組合せ（3つなら $A\cap B\cap C$ を含む4本の式）を確かめる。
4. 連続型の密度 $f(x)$ を確率と読む。$f(x)$ は $1$ を超えることがあり、確率は区間で積分して求める。
5. 変数変換で絶対値 $|dg^{-1}/dy|$ を落とす、または単調でない $g$ で片方の解だけを使う。結果の密度を積分して $1$ になるかを確かめる。