# 確率分布と期待値・分散｜主な分布の平均と分散・共分散・計算例

> 期待値の線形性、分散と共分散、相関係数の定義と公式に加え、二項分布・ポアソン分布・幾何分布・指数分布・正規分布・ガンマ分布の平均と分散を一覧にしました。計算例と典型的な誤りも載せています。

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- 科目: [確率・統計](https://inshihub.com/basics/probability-statistics)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [確率空間と確率変数](https://inshihub.com/basics/probability-statistics/probability-random-variables)

確率変数 $X$ の期待値は、離散型なら $\sum x\,p(x)$、連続型なら $\int x f(x)\,dx$ で、絶対収束するときに定める。分散は $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X-\mu)^2] = \operatorname{E}[X^2] - \mu^2$ で、ばらつきの大きさを表す。期待値は独立性がなくても和に分けられるが、和の分散には共分散の項 $2\operatorname{Cov}(X,Y)$ が加わる。主な分布の平均と分散は、定義の和や積分、または指示関数への分解で求める。

## 期待値の定義と線形性

### 定義：期待値

離散型なら $\operatorname{E}[X] = \sum_x x\,p(x)$、密度 $f$ をもつ連続型なら $\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$ とする。和や積分が絶対収束する（$\operatorname{E}|X| < \infty$）ときだけ期待値が存在するという。関数 $g(X)$ の期待値は、$g(X)$ の分布を求めなくても $\operatorname{E}[g(X)] = \int g(x) f(x)\,dx$（離散型なら $\sum g(x)p(x)$）で計算できる。

### 定理・法則：期待値の線形性

条件：

$\operatorname{E}|X|$ と $\operatorname{E}|Y|$ が有限、$a, b, c$ は定数。$X$ と $Y$ の独立は仮定しない。

主張：

$$\operatorname{E}[aX + bY + c] = a\operatorname{E}[X] + b\operatorname{E}[Y] + c$$

要点：

積については、$X, Y$ が独立で $\operatorname{E}|X|, \operatorname{E}|Y| < \infty$ のとき $\operatorname{E}[XY] = \operatorname{E}[X]\operatorname{E}[Y]$ が成り立つ。独立でなければ一般に成り立たない。

## 分散・共分散・相関係数

### 定義：分散と共分散

$\mu_X = \operatorname{E}[X]$ として、分散 $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X-\mu_X)^2]$、標準偏差 $\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$、共分散 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$、相関係数 $\rho = \operatorname{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$ と定める（$\operatorname{E}[X^2], \operatorname{E}[Y^2] < \infty$、$\sigma_X, \sigma_Y > 0$）。

- 分散の計算式

  $$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2$$

- 1次変換

  $$\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$$

- 和の分散

  $$\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$$

  一般に $\operatorname{Var}\left(\sum a_i X_i\right) = \sum_{i,j} a_i a_j \operatorname{Cov}(X_i, X_j)$。

- 共分散の計算式

  $$\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}[XY] - \operatorname{E}[X]\operatorname{E}[Y]$$

- 相関係数の範囲

  $$-1 \le \rho \le 1$$

  コーシー・シュワルツの不等式から出る。$|\rho| = 1$ は $Y = aX + b$（確率1で）と同値。

### 定理・法則：独立なら無相関

条件：

$X, Y$ は独立で、$\operatorname{E}[X^2], \operatorname{E}[Y^2] < \infty$。

主張：

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$。したがって $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$。

要点：

逆は成り立たない。$X$ が $-1, 0, 1$ を確率 $1/3$ ずつとり $Y = X^2$ なら、$\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}[X^3] - \operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X^2] = 0$ だが、$Y$ は $X$ で決まるので独立でない。2変量正規分布に限り、無相関と独立が同値になる。

## 離散型の主な分布

### 確率関数・平均・分散

- ベルヌーイ分布 $\mathrm{Be}(p)$

  $$P(X=1) = p,\ P(X=0) = 1-p; \quad \operatorname{E}[X] = p,\ \operatorname{Var}(X) = p(1-p)$$

- 二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$

  $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}; \quad \operatorname{E}[X] = np,\ \operatorname{Var}(X) = np(1-p)$$

  $k = 0, 1, \dots, n$。独立な $\mathrm{Be}(p)$ の $n$ 個の和。

- ポアソン分布 $\mathrm{Po}(\lambda)$

  $$P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}; \quad \operatorname{E}[X] = \operatorname{Var}(X) = \lambda$$

  $k = 0, 1, 2, \dots$、$\lambda > 0$。$np = \lambda$ を保って $n\to\infty$ とした二項分布の極限。

- 幾何分布 $\mathrm{Geo}(p)$

  $$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p; \quad \operatorname{E}[X] = \frac{1}{p},\ \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$$

  $k = 1, 2, \dots$。初めて成功するまでの試行回数。失敗回数 $X-1$ で定める教科書もあり、そのとき平均は $(1-p)/p$。

## 連続型の主な分布

### 密度・平均・分散

- 一様分布 $U(a,b)$

  $$f(x) = \frac{1}{b-a}\ (a<x<b); \quad \operatorname{E}[X] = \frac{a+b}{2},\ \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

- 指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$

  $$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\ (x>0); \quad \operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda},\ \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

  $\lambda$ は率（単位時間あたりの発生数）。平均 $\theta = 1/\lambda$ で書く流儀もある。

- 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$

  $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right); \quad \operatorname{E}[X] = \mu,\ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$

  $Z = (X-\mu)/\sigma$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

- ガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$

  $$f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\ (x>0); \quad \operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\beta},\ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$

  $\alpha$ は形状、$\beta$ は率。$\alpha = 1$ で指数分布、$\alpha = k/2,\ \beta = 1/2$ で自由度 $k$ のカイ二乗分布。正規化には[ガンマ関数](https://inshihub.com/exam-themes/beta-gamma-function)を使う。

## 平均と分散の計算例

### 計算例：二項分布の平均と分散を指示関数で求める

$X \sim \mathrm{Bin}(n,p)$ の平均と分散を求めよ。$n = 10,\ p = 0.3$ の値も書け。

解答：

$i$ 回目が成功なら $1$、失敗なら $0$ をとる $I_i$ を使うと $X = I_1 + \cdots + I_n$ で、$I_i$ は独立な $\mathrm{Be}(p)$。線形性から $\operatorname{E}[X] = np$。独立なので分散も足せて $\operatorname{Var}(X) = np(1-p)$。$n = 10,\ p = 0.3$ なら平均 $3$、分散 $2.1$。

検算：

$n = 1$ でベルヌーイ分布の $p,\ p(1-p)$ に戻る。$p = 0$ または $1$ では分散が $0$ になり、確率1で値が決まることと合う。

### 計算例：指数分布の無記憶性

$X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ について、$s, t > 0$ のとき $P(X > s + t \mid X > s)$ を求めよ。

解答：

$P(X > x) = \int_x^\infty \lambda e^{-\lambda u}\,du = e^{-\lambda x}$ なので

$$P(X > s+t \mid X > s) = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)$$

すでに $s$ だけ待ったことは、この先の待ち時間の分布に影響しない。

検算：

平均を確かめる。$\operatorname{E}[X] = \int_0^\infty P(X>x)\,dx = \int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = 1/\lambda$ で、表の値と一致する。

### 計算例：相関のある変数の1次結合の分散

$\operatorname{Var}(X) = 4,\ \operatorname{Var}(Y) = 9,\ \operatorname{Cov}(X,Y) = -2$ のとき、$\operatorname{Var}(2X - Y)$ と相関係数 $\rho$ を求めよ。

解答：

$$\operatorname{Var}(2X - Y) = 2^2 \cdot 4 + (-1)^2 \cdot 9 + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-2) = 16 + 9 + 8 = 33$$

$\rho = -2/(2 \cdot 3) = -1/3$。

検算：

無相関なら $16 + 9 = 25$ になる。負の相関があると $2X$ と $-Y$ が同じ向きに動き、分散が大きくなる。$|\rho| \le 1$ も満たしている。

## 答案でよくある誤り

1. $\operatorname{Var}(X - Y) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Var}(Y)$ とする。独立でも $\operatorname{Var}(X-Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$ で、係数 $-1$ は2乗されて $+1$ になる。
2. $\operatorname{Var}(aX) = a\operatorname{Var}(X)$ とする。分散は2乗の期待値なので $a^2$ 倍になり、標準偏差が $|a|$ 倍になる。
3. 共分散が $0$ なら独立だと結論する。無相関は独立より弱い。独立を示すには同時分布が周辺分布の積になることを確かめる。
4. 幾何分布や指数分布のパラメータの流儀を確かめずに公式を使う。幾何分布が試行回数か失敗回数か、指数分布の $\lambda$ が率か平均かを問題文で確かめる。
5. 期待値が存在しない分布で平均を計算する。コーシー分布 $f(x) = 1/\{\pi(1+x^2)\}$ では $\int |x| f(x)\,dx = \infty$ で、期待値も分散も存在しない。