# 遺伝子発現の調節｜lacオペロン・trpオペロン・真核生物の転写調節・mRNA量の式

> lacオペロンの負と正の制御、部分二倍体での変異の読み方、trpオペロンの抑制と転写減衰、真核生物のエンハンサーとクロマチン、mRNAの合成と分解の速度式を計算例と典型的な誤りで解説します。

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- 最終更新: 2026-11-16
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遺伝子発現は主に転写の開始で調節され、調節タンパク質がプロモーター付近の DNA 配列に結合して転写を抑える（負の制御）か促す（正の制御）。大腸菌の lac オペロンは、ラクトースがあるとリプレッサーが外れ、グルコースがないと cAMP–CAP 複合体が転写を促すので、ラクトースがありグルコースがないときに最も強く発現する。mRNA の量は合成速度 $k$ と分解速度定数 $\gamma$ で決まり、定常状態では $k/\gamma$、変化に追いつく時間は半減期 $\ln 2/\gamma$ の数倍である。

## オペロンと調節因子の定義

### 定義：オペロン

1つのプロモーターから1本の mRNA として転写される、細菌の遺伝子のまとまり。lac オペロンは lacZ（β-ガラクトシダーゼ）、lacY（パーミアーゼ）、lacA（アセチルトランスフェラーゼ）をもち、プロモーターとオペレーターがその上流にある。リプレッサーをコードする lacI は別のプロモーターから常に少しずつ発現している。

### 定義：シス作用とトランス作用

オペレーターやプロモーターのような DNA 配列は、同じ DNA 分子の上にある遺伝子にしか作用しない（シス作用）。リプレッサーや活性化因子のような拡散するタンパク質は、どの DNA 分子の上の標的にも作用する（トランス作用）。部分二倍体の実験では、この違いから変異がどちらに属するかを判定する。

## lacオペロンの負の制御と正の制御

### 定理・法則：lac オペロンの発現の条件

条件：

野生型の lacI、オペレーター、プロモーター、CAP 結合部位をもつ大腸菌で、グルコースとラクトースの有無だけを変える。

主張：

- ラクトースがないと、LacI リプレッサーがオペレーターに結合し、転写はほとんど起こらない（負の制御）。
- ラクトースがあると、細胞内でできるアロラクトースがリプレッサーに結合して形を変え、オペレーターから外す（誘導）。
- グルコースがないと cAMP が増え、cAMP–CAP 複合体がプロモーターの上流に結合して RNA ポリメラーゼの結合を促す（正の制御）。グルコースがあると cAMP が少なく、この促進がない。

したがって発現が強いのは、ラクトースあり・グルコースなしの組み合わせだけで、ラクトースあり・グルコースありでは弱く、ラクトースなしでは糖の組み合わせによらずほぼ発現しない。

要点：

グルコースによる抑制（カタボライト抑制）には cAMP の低下に加えて、グルコースの取り込みがラクトースの取り込みを妨げる誘導物質排除も関わる。実験では誘導物質として、分解されない IPTG がよく使われる。

### 代表的な変異と表現型（グルコースなしの条件）

- $lacI^-$

  $$\text{リプレッサーがない} \Rightarrow \text{構成的発現（誘導物質がなくても発現）}$$

  トランス作用。野生型 $lacI^+$ を別の DNA に加えると誘導可能に戻る（$lacI^+$ が優性）。

- $lacO^c$

  $$\text{オペレーターにリプレッサーが結合できない} \Rightarrow \text{同じ DNA 上の遺伝子だけ構成的発現}$$

  シス作用。別の DNA 上の遺伝子は野生型どおり誘導可能。

- $lacI^s$

  $$\text{誘導物質が結合できないリプレッサー} \Rightarrow \text{誘導されない}$$

  トランス作用で、$lacI^+$ に対しても優性。

### 計算例：部分二倍体の表現型

染色体が $lacI^+\,lacO^c\,lacZ^-$、F' プラスミドが $lacI^+\,lacO^+\,lacZ^+$ の部分二倍体がある。グルコースのない培地で、誘導物質がないとき・あるときに β-ガラクトシダーゼは作られるか。

解答：

β-ガラクトシダーゼを作れる $lacZ^+$ は F' 上にあり、その隣のオペレーターは野生型 $lacO^+$ である。リプレッサーは両方の $lacI^+$ から作られ、トランスに働いて F' のオペレーターに結合する。したがって誘導物質がないと作られず、誘導物質があると作られる（誘導可能）。染色体側は $lacO^c$ で構成的に転写されるが、$lacZ^-$ なので活性のある酵素はできない。

検算：

染色体を $lacI^+\,lacO^c\,lacZ^+$、F' を $lacI^+\,lacO^+\,lacZ^-$ に入れ替えると、構成的に転写される側に $lacZ^+$ があるので構成的発現になる。結果がオペレーターと $lacZ^+$ が同じ DNA にあるかで変わることが、$lacO^c$ のシス作用を示す。

## trpオペロンと真核生物の転写調節

trp オペロンはトリプトファン合成酵素の遺伝子群で、産物による抑制を受ける。トリプトファンが多いと、トリプトファンがリプレッサーに結合して活性型にし、オペレーターに結合させる（コリプレッサー）。さらに転写減衰がある。先導配列にはトリプトファンのコドンが続く部分があり、トリプトファンが多いとリボソームがそこを速く通過して、RNA が終結のヘアピンを作り転写が途中で止まる。トリプトファンが少ないとリボソームが止まり、別の対合ができて終結のヘアピンができず、転写が続く。転写と翻訳が同時に進む細菌でだけ働く仕組みである。

### 定義：真核生物の転写調節の要素

- 転写因子：DNA 結合ドメインで特定の配列に結合し、活性化ドメインでメディエーターや基本転写因子に働きかける。
- エンハンサー：プロモーターから数千塩基以上離れていても、向きによらず転写を強める配列。DNA がループを作って転写因子がプロモーターに近づく。
- クロマチン：DNA はヌクレオソーム（ヒストン八量体に約147塩基対が巻き付いたもの）として折りたたまれる。ヒストンのリシンのアセチル化は正電荷を減らしてクロマチンをゆるめ、転写を促しやすい。脱アセチル化はその逆に働く。
- DNA メチル化：脊椎動物ではプロモーター付近の CpG のシトシンのメチル化が転写の抑制と関係し、細胞分裂を越えて受け継がれる。
- 転写後の調節：選択的スプライシング、mRNA の分解速度、マイクロ RNA による翻訳抑制と分解。

## mRNA量の時間変化と半減期

### 定理・法則：合成と1次分解の釣り合い

条件：

mRNA が一定の速さ $k$（分子/時間）で合成され、分子1個あたり一定の確率 $\gamma$（1/時間）で分解される。細胞が増殖する場合は、分裂による希釈の速さ $\ln 2/T_d$（$T_d$ は倍加時間）を $\gamma$ に加える。

主張：

$$\frac{dm}{dt} = k - \gamma m, \qquad m(t) = \frac{k}{\gamma}\left(1 - e^{-\gamma t}\right) \ (m(0) = 0), \qquad m^{*} = \frac{k}{\gamma}$$

半減期は $t_{1/2} = \ln 2/\gamma$ で、新しい定常状態の半分に達する時間も $t_{1/2}$ に等しい。

要点：

合成を止めると $m(t) = m(0)e^{-\gamma t}$ で減る。分解の速い mRNA ほど、合成速度の変化に速く追いつく。タンパク質にも同じ式が当てはまるが、多くのタンパク質は安定なので、希釈が主な減少要因になる。

### 計算例：定常状態の分子数と、転写を止めたあとの減り方

ある mRNA が毎分2分子合成され、半減期が5分である。(1) 定常状態の分子数を求めよ。(2) 定常状態で転写を止めたとき、10%に減るまでの時間を求めよ。

解答：

(1) $\gamma = \ln 2/5 \approx 0.139\ \mathrm{min^{-1}}$ なので $m^{*} = k/\gamma = 2/0.139 \approx 14.4$ 分子。

(2) $e^{-\gamma t} = 0.1$ から $t = \ln 10/\gamma = 5\ln 10/\ln 2 \approx 16.6$ 分。

検算：

(2) は半減期の $\log_2 10 \approx 3.32$ 倍で、半分を3回くり返すと $1/8 = 12.5\%$、4回で $6.25\%$ なので、10%はその間にある。次元も $k/\gamma$ が（分子/分）/（1/分）＝分子数で合う。

### 計算例：分解と希釈が両方あるとき

細胞の倍加時間が60分で、タンパク質の分解の半減期が30分である。細胞あたりの量の実効的な半減期を求めよ。

解答：

実効的な減少の速さは分解と希釈の和なので

$$\gamma_{\text{実効}} = \frac{\ln 2}{30} + \frac{\ln 2}{60} = \frac{\ln 2}{20}$$

で、実効的な半減期は20分である。

検算：

半減期の逆数が足し算になる：$1/30 + 1/60 = 1/20$。分解しない安定なタンパク質（分解の半減期が無限大）なら、実効的な半減期は倍加時間60分に一致する。

## 答案でよくある誤り

1. ラクトースが直接リプレッサーに結合すると書く。リプレッサーに結合する誘導物質は、ラクトースから作られるアロラクトース（実験では IPTG）である。
2. グルコースがあると cAMP が増えるとする。グルコースがあると cAMP は減り、cAMP–CAP による促進が弱まる。
3. $lacO^c$ を、別の DNA 上の遺伝子まで構成的にする変異と扱う。オペレーターはシス作用なので、同じ DNA 上の遺伝子だけに効く。トランスに働くのは $lacI$ の産物である。
4. エンハンサーはプロモーターの直前にしか働かないとする。エンハンサーは遠く離れていても、向きを逆にしても働く。
5. 定常状態の mRNA 量を合成速度だけで比べる。量は $k/\gamma$ なので、合成が速くても分解が速ければ少ない。