# 留数定理と実積分への応用｜留数の求め方・有理関数・三角関数・ジョルダンの補題

> 留数定理と留数の求め方（1位の極、m位の極、ローラン展開）を整理し、有理関数の積分、三角関数の周期積分、ジョルダンの補題を使うフーリエ型積分、実軸上の極を避ける主値積分を計算例で解説します。

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- 科目: [複素関数論](https://inshihub.com/basics/complex-analysis)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [ローラン展開と孤立特異点](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/laurent-series-singularities)

留数定理は、正の向きの単純閉曲線 $C$ の内部に有限個の孤立特異点 $a_1, \dots, a_k$ をもつ関数について、$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_j \operatorname{Res}(f, a_j)$ が成り立つという定理である。実積分を求めるには、実軸の区間に半円などを付けた閉曲線で留数定理を使い、半円の寄与が $0$ に近づくことを評価式やジョルダンの補題で示す。三角関数の周期積分は $z = e^{i\theta}$ と置き換えて単位円での積分に直す。

## 留数定理

### 定理・法則：留数定理

条件：

$C$ は正の向きの単純閉曲線。$f$ は $C$ とその内部を含む開集合で、内部の有限個の点 $a_1, \dots, a_k$ を除いて正則。$C$ 上には特異点が無い。

主張：

$$\oint_C f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{k} \operatorname{Res}(f, a_j)$$

要点：

各 $a_j$ を小さな円で囲み、積分路の変形で円ごとの積分の和にする。円の上ではローラン展開を項別に積分し、$(z - a_j)^{-1}$ の項だけが $2\pi i\, a_{-1}$ を残す。$C$ の外部にある特異点は数えない。$C$ の上に特異点があるときはそのままでは使えない（[主値の節](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/residue-theorem-real-integrals#principal-value)を参照）。

### 留数の求め方

- ローラン展開から

  $$\operatorname{Res}(f, a) = a_{-1}$$

  真性特異点ではこの方法を使う。

- 1位の極

  $$\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z)$$

- 1位の極（$f = p/q$）

  $$\operatorname{Res}\left(\frac{p}{q}, a\right) = \frac{p(a)}{q'(a)}$$

  $p, q$ は $a$ で正則、$p(a) \neq 0$、$q(a) = 0$、$q'(a) \neq 0$。例：$\operatorname{Res}\left(\frac{e^z}{z^2 - 1}, 1\right) = \frac{e}{2}$。

- $m$ 位の極

  $$\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - a)^m f(z) \right]$$

  位数を実際より大きくとっても正しい値が出るが、小さくとると誤る。例：$\frac{1}{z^2(z - 1)}$ の $z = 0$（2位の極）では $\frac{d}{dz}\frac{1}{z - 1}\Big|_{z=0} = -1$。

## 有理関数の実積分

### 定理・法則：半円の寄与が消える条件

条件：

$P, Q$ は多項式で、$\deg Q \ge \deg P + 2$。$Q$ は実軸上に零点をもたない。$C_R$ は上半平面の半円 $z = Re^{i\theta}$（$0 \le \theta \le \pi$）。

主張：

$\lim_{R\to\infty}\int_{C_R} \frac{P(z)}{Q(z)}\,dz = 0$ であり、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx = 2\pi i \sum_{\operatorname{Im} a > 0} \operatorname{Res}\left(\frac{P}{Q}, a\right)$$

要点：

$|z| = R$ で $|P/Q| \le K/R^2$ となる定数 $K$ があり、ML不等式から $|\int_{C_R}| \le \pi R \cdot K/R^2 \to 0$。$\deg Q = \deg P + 1$ では $\pi R \cdot K/R$ が $0$ に近づかず、この評価は使えない。

### 計算例：2位の極をもつ有理関数

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ を求めよ。

解答：

$f(z) = \dfrac{1}{(z^2 + 1)^2} = \dfrac{1}{(z - i)^2(z + i)^2}$ の上半平面の特異点は $z = i$（2位の極）だけ。$\deg Q - \deg P = 4 \ge 2$ なので半円の寄与は消える。

$$\operatorname{Res}(f, i) = \frac{d}{dz}\frac{1}{(z + i)^2}\Big|_{z=i} = \frac{-2}{(2i)^3} = \frac{-2}{-8i} = -\frac{i}{4}$$

よって $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} = 2\pi i \cdot \left(-\frac{i}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$。

検算：

$x = \tan\theta$ と置換すると $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \dfrac{\pi}{2}$ で一致する。被積分関数は正なので、結果が正の実数になることも確かめられる。同じ方法で $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 1} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$（上半平面の極 $e^{i\pi/4}$、$e^{3i\pi/4}$）も求まる。

## 三角関数の周期積分

### $z = e^{i\theta}$ による置き換え

- 置き換えの式

  $$\cos\theta = \frac{1}{2}\left( z + \frac{1}{z} \right), \quad \sin\theta = \frac{1}{2i}\left( z - \frac{1}{z} \right), \quad d\theta = \frac{dz}{iz}$$

  $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと、$z$ は単位円を正の向きに一周する。

- 一般の形

  $$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \oint_{|z|=1} R\left( \frac{z + z^{-1}}{2}, \frac{z - z^{-1}}{2i} \right) \frac{dz}{iz}$$

  $R$ は2変数の有理関数で、単位円上に分母の零点が無いとする。単位円の内部の極の留数だけを足す。

- よく出る結果

  $$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a + b\cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}} \qquad (a > |b|)$$

### 計算例：周期積分を単位円の積分に直す

$\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta}$ を求めよ。

解答：

$z = e^{i\theta}$ とおくと

$$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{2 + \frac{1}{2}(z + z^{-1})}\cdot\frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{-2i}{z^2 + 4z + 1}\, dz$$

分母の零点は $z = -2 \pm \sqrt{3}$。$|-2 + \sqrt{3}| \approx 0.27 < 1$ が内部、$|-2 - \sqrt{3}| > 1$ は外部。内部の1位の極での留数は $\dfrac{-2i}{2z + 4}\Big|_{z = -2+\sqrt{3}} = \dfrac{-2i}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{i}{\sqrt{3}}$。よって積分は $2\pi i\cdot\left(-\dfrac{i}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}$。

検算：

一般の結果で $a = 2$、$b = 1$ とおくと $2\pi/\sqrt{3}$。被積分関数は $1/3$ と $1$ の間にあるので、積分は $2\pi/3 \approx 2.09$ と $2\pi \approx 6.28$ の間に入るはずで、$2\pi/\sqrt{3} \approx 3.63$ はその範囲にある。

## フーリエ型積分とジョルダンの補題

### 定理・法則：ジョルダンの補題

条件：

$a > 0$。$f$ は十分大きい $R$ について上半平面の半円 $C_R: z = Re^{i\theta}$（$0 \le \theta \le \pi$）上で連続で、$M(R) = \max_{z \in C_R} |f(z)| \to 0$（$R \to \infty$）。

主張：

$$\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\, e^{iaz}\, dz = 0$$

要点：

$|e^{iaz}| = e^{-aR\sin\theta}$ と、$0 \le \theta \le \pi/2$ での $\sin\theta \ge 2\theta/\pi$ から $\left|\int_{C_R}\right| \le M(R)\, R\int_0^{\pi} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta < \dfrac{\pi}{a} M(R)$。ML不等式と違い、$M(R)$ が $1/R$ 程度でゆっくり $0$ に近づくだけでよい。$a < 0$ なら上半平面で $e^{iaz}$ が大きくなるので、下半平面の半円で閉じる。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\cos ax\,dx$ や $\sin ax$ の積分は、$\cos az$ のままでは上半平面で $|\cos az|$ が大きくなるので扱えない。$\frac{P(z)}{Q(z)} e^{iaz}$ を積分して留数定理を使い、実部と虚部をとる。$\deg Q \ge \deg P + 1$ で $Q$ が実軸上に零点をもたなければ、ジョルダンの補題により半円の寄与は消える。このような積分は[フーリエ変換](https://inshihub.com/basics/fourier-laplace/fourier-transform)の計算にそのまま現れる。

### 計算例：ジョルダンの補題が必要な積分

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin x}{x^2 + 1}\, dx$ を求めよ。

解答：

$f(z) = \dfrac{z e^{iz}}{z^2 + 1}$ を、区間 $[-R, R]$ と上半平面の半円 $C_R$ からなる閉曲線で積分する。内部の特異点は $z = i$（1位の極）で

$$\operatorname{Res}(f, i) = \frac{i e^{i\cdot i}}{2i} = \frac{e^{-1}}{2}$$

$C_R$ 上で $\left|\dfrac{z}{z^2 + 1}\right| \le \dfrac{R}{R^2 - 1} \to 0$ なので、ジョルダンの補題（$a = 1$）から半円の寄与は消える。よって

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{ix}}{x^2 + 1}\, dx = 2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2} = \frac{\pi i}{e}$$

虚部をとって $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin x}{x^2 + 1}\, dx = \frac{\pi}{e}$。

検算：

実部 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\cos x}{x^2 + 1}\,dx$ は被積分関数が奇関数なので $0$ になり、計算結果の実部 $0$ と合う。ML不等式だけでは $\pi R\cdot\dfrac{R}{R^2 - 1} \to \pi$ となり、半円の寄与が消えることを示せない。数値積分でも $\pi/e \approx 1.1557$ になる。一般に $a, b > 0$ で $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin ax}{x^2 + b^2}\,dx = \pi e^{-ab}$。

## 実軸上の極と主値積分

### 定理・法則：小さな半円の寄与

条件：

$f$ は実軸上の点 $x_0$ で1位の極をもち、その近くで他に特異点が無い。$\gamma_\varepsilon$ は $x_0$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の上半平面の半円で、$x_0 - \varepsilon$ から $x_0 + \varepsilon$ へ向かう（時計回り）。

主張：

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\gamma_\varepsilon} f(z)\, dz = -\pi i \operatorname{Res}(f, x_0)$$

要点：

$f = \frac{c}{z - x_0} + g(z)$（$g$ は正則）と分けると、第1項の積分はちょうど $-\pi i c$、第2項は ML不等式で $0$ に近づく。2位以上の極では成り立たない。実軸上の積分は $\varepsilon \to 0$ の主値 $\mathrm{P}\!\int = \lim_{\varepsilon\to 0}\left(\int_{-\infty}^{x_0 - \varepsilon} + \int_{x_0 + \varepsilon}^{\infty}\right)$ の意味になる。

### 計算例：実軸上の極を避ける

$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx$ を求めよ。

解答：

$f(z) = \dfrac{e^{iz}}{z}$ を、$[-R, -\varepsilon]$、半円 $\gamma_\varepsilon$（時計回り）、$[\varepsilon, R]$、半円 $C_R$ をつないだ閉曲線で積分する。内部に特異点は無いので、合計は $0$。

$C_R$ ではジョルダンの補題（$M(R) = 1/R \to 0$）から寄与が消え、$\gamma_\varepsilon$ では $\operatorname{Res}(f, 0) = 1$ から $-\pi i$ に近づく。よって

$$\mathrm{P}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x}\, dx - \pi i = 0$$

虚部をとると $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \pi$ で、被積分関数は偶関数だから $\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$。

検算：

$\sin x / x$ は $x = 0$ で連続（値 $1$）なので、虚部の積分は主値をとらなくても通常の広義積分として収束する。実部 $\mathrm{P}\!\int \frac{\cos x}{x}\,dx$ は奇関数の主値で $0$ となり、計算結果の実部 $0$ と合う。

## 答案でよくある誤り

1. $\int \frac{\cos x}{x^2 + 1}\,dx$ で $\frac{\cos z}{z^2 + 1}$ をそのまま上半平面で積分する。$|\cos(iy)| = \cosh y$ は大きくなり半円の寄与が消えないので、$e^{iz}$ に置き換えてから実部をとる。
2. 下半平面の極の留数も足す。上半平面の半円で閉じたら、上半平面の極だけを数える。$e^{-iaz}$（$a > 0$）を含む場合は下半平面で閉じ、向きが負になるので $-2\pi i$ を掛ける。
3. 2位以上の極に1位の極の公式 $\lim (z - a)f(z)$ や $p/q'$ を使う。位数を確かめてから $m$ 位の極の公式を使う。
4. 三角関数の周期積分で $d\theta = \frac{dz}{iz}$ の $\frac{1}{iz}$ を落とす。置き換えたら、単位円の内部にある極を、$z = 0$ を含めて確かめる。
5. 実軸上に極があるのに通常の積分として留数定理を使う。小さな半円で極を避け、その寄与 $-\pi i \operatorname{Res}$ を加えて主値として扱う。
6. $\deg Q = \deg P + 1$ の有理関数だけ（$e^{iaz}$ が無い場合）で半円の寄与が消えるとする。$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1}\,dx$ は収束せず、主値でも半円の寄与は $\pi i$ に近づき $0$ にならない。

## 留数定理と実積分への応用が出た院試の過去問

### [留数定理](https://inshihub.com/exam-themes/residue-theorem)（20大学・137問）

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-2): 解析学・微積分
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-2): 留数定理と半円積分
- [京都大学 専門科目（物理学） 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2026#problem-10): II-4 物理数学(線積分・留数定理・テイラー展開)
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2026#problem-1): 応用数学
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026-summer#problem-2): I-2 複素数と留数
- [名古屋工業大学 情報工学系 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/information-engineering/2026#problem-5): 数理科学1

解答まで無料で読める演習問題:

- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化
- [早稲田大学大学院 機械科学・航空宇宙専攻 専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mechanical-and-aerospace-engineering/2025#problem-1): 数学：逐次近似と複素積分
- [東京都立大学大学院 物理 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/physics/2025-summer#problem-1): 複素積分
- [東北大学大学院 マテリアル・開発系 数学・専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-engineering/materials-science-and-engineering/2025#problem-1): 数学-1：留数定理と楕円領域の積分